Serpentiles es el nombre acuñado por Kurt N. Van Ness para las fichas hexagonales utilizadas en varios juegos de estrategia abstracta de conexión de acertijos de coincidencia de bordes , como Psyche-Paths , Kaliko y Tantrix . [1] Para cada ficha, se utilizan de uno a tres colores para dibujar caminos que unen los seis lados en varias configuraciones. Cada lado está conectado a otro lado por una ruta de camino y un color específicos. El juego generalmente se desarrolla de manera que los jugadores se turnan para colocar fichas. Durante cada turno, se coloca una ficha adyacente a las fichas existentes para que los caminos de colores sean contiguos a través de los bordes de las fichas.
Serpentiles es también el nombre de un juego de conexión de rompecabezas para un solo jugador desarrollado por Brett J. Gilbert y publicado por ThinkFun en 2008. El juego Serpentiles (2008) incluye fichas cuadradas (1×1) y rectangulares (2×1) y tarjetas de desafío que proporcionan una lista de fichas que deben organizarse para formar un camino contiguo.
Van Ness también acuñó una notación de tres dígitos para las categorías de mosaicos, basada en las rutas que se muestran en los mosaicos. La notación xyz se refiere a: [2]
Debe quedar claro que la adyacencia 3 es la máxima. Como hay seis lados, hay tres caminos entre los lados y la suma de los dígitos en la notación es siempre tres. Van Ness también publicó una descripción matemática: donde es el recuento de segmentos con adyacencia . [2] Hay cinco combinaciones distintas de seis lados y tres caminos, [3] ignorando por ahora la posibilidad de cambiar el color del camino:
Una rotación ortogonal que deja al hexágono en la misma orientación (con los lados planos a la izquierda y a la derecha) es de 60°. Hay seis posibles posiciones de rotación ortogonales (360°/60°) del hexágono regular de seis lados. Por examen, 300 tiene simetría rotacional: cualquier rotación de 60° dará como resultado que los mismos lados estén vinculados, por lo que 0300 tiene una única posición de rotación. De manera similar, 003 tiene dos posiciones de rotación únicas; una rotación de 60° dará como resultado que los lados diferentes estén vinculados por las trayectorias, pero una segunda rotación de 60° en la misma dirección dará como resultado que los lados originales estén vinculados nuevamente. De manera similar, 102 y 120 tienen tres posiciones de rotación únicas, y 021 tiene seis posiciones de rotación únicas.
Para describir de forma única cada posición de rotación, imaginemos que se aplica un marco de referencia en el que cada lado está numerado del 1 al 6 en sentido contrario a las agujas del reloj. Los caminos que conectan los lados se pueden describir como pares enlazados.
Por ejemplo, para el 003 anterior, procediendo en sentido antihorario desde el borde inferior derecho, la notación de ruta/par es 12-34-56. Una sola rotación ortogonal de la forma sumará uno (si es en sentido antihorario) o restará uno (si es en sentido horario) a cada número, módulo 6. De esta manera, las rutas vinculadas con una rotación ortogonal (60°) en sentido antihorario cambiarían a 23-45-67, o reescribiéndolas usando el módulo 6, 23-45-61, demostrando que diferentes lados están vinculados con una sola rotación ortogonal. El orden específico dentro de un par y el orden en el que se escriben los pares no afecta la configuración. Por ejemplo, 23-45-61 es equivalente a 23-45-16 y 16-23-45. Así, con una segunda rotación ortogonal, que da como resultado 34-56-12, es sencillo demostrar que la segunda rotación ortogonal es equivalente a 12-34-56, la orientación original.
El marco de referencia también podría numerarse secuencialmente en el sentido de las agujas del reloj. En ese caso, una rotación en el sentido de las agujas del reloj incrementaría los valores en 1, mientras que una rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj los reduciría en 1. La orientación del marco de referencia (en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj) solo afecta a la aritmética necesaria para rotar el mosaico. Asimismo, la elección del origen (qué lado se designa como el primer lado) para el marco de referencia es arbitraria, pero el marco de referencia permanece fijo durante la rotación.
La descripción de las fichas por sus lados enlazados también incluye implícitamente la notación de Van Ness de tres dígitos. Para cualquier secuencia arbitraria de tres pares AB - CD - EF , la notación de Van Ness se puede recuperar mediante la siguiente fórmula:
Aunque se puede utilizar un polígono regular de seis lados (hexágono) para cubrir una superficie plana sin dejar espacios vacíos, también se puede utilizar un polígono regular de cuatro lados (cuadrado). El cuadrado con dos caminos que unen los lados se puede describir de manera similar, utilizando una notación de dos dígitos yz ; solo hay dos configuraciones posibles. [3]
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Al igual que en el caso hexagonal, el 20 (en el que todos los caminos unen lados opuestos) tiene simetría rotacional. Está claro que el 02 no tiene simetría rotacional, ya que al girar la pieza 90° en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario, se unirán lados diferentes. Compararcon la misma pieza girada 90°:_14-23.svg/1280px-Square_(02)_14-23.svg.png){kind=small}
Las baldosas cuadradas que carecen de simetría rotacional se conocen como baldosas de Truchet , como se describe en una memoria de 1704 de Sébastien Truchet titulada "Mémoire sur les combinaisons" y popularizada en 1987 por Cyril Stanley Smith . [4] [5]
De la misma manera, un polígono regular de ocho lados (octágono) puede tener cuatro caminos que emparejen los ocho lados, descritos utilizando la notación de Van Ness de manera similar con una notación de cuatro dígitos wxyz . Hay 18 combinaciones distintas: [3]
Al igual que en los ejemplos de hexágono y cuadrado anteriores, el caso que une todos los lados opuestos ( 4000 ) tiene simetría rotacional. Nótese que para el octógono, la notación ya no describe de manera única la configuración de la trayectoria. Hay dos notaciones duplicadas en la galería: 0121 y 1111. El par 1111 son imágenes especulares. La notación de posición rotacional se puede aplicar para distinguir estos mosaicos; con un marco de referencia numerado en sentido antihorario comenzando desde el borde inferior, 0121 (a) anterior se puede escribir como " 0121 12-36-47-68", que es distinto de 0121 (b): " 0121 12-38-46-57". Asimismo, 1111 (a) es " 1111 12-36-48-57", distinto de 1111 (b): " 1111 13-25-48-67". Utilizando aritmética modular (módulo 8), 1111 (a) y (b) pueden rotarse cada uno una rotación ortogonal (45°) en sentido antihorario a las posiciones "15-24-36-78" y "15-68-47-23", respectivamente, demostrando su simetría reflexiva pareada.
Estas baldosas octogonales podrían combinarse con las baldosas cuadradas descritas aquí (rotadas 45° para llenar los espacios intersticiales) para revestir completamente una superficie con caminos a lo largo de todos los bordes. [6]
En la discusión anterior se trataron los casos de polígonos regulares de 4, 6 y 8 lados con un único punto de entrada por lado, cada uno de los cuales está conectado por un camino. Como los caminos conectan dos lados diferentes, el uso de un único punto de entrada por lado requiere polígonos regulares de 2n lados con un número par de lados para garantizar que todos los puntos de entrada estén conectados por caminos. Si hay mosaicos con un número impar de lados, un número par de puntos de entrada garantizaría de manera similar que todos los puntos de entrada estén conectados por caminos.
Por ejemplo, un polígono regular de 3 lados (triángulo equilátero) podría tener 2 puntos de entrada por lado. Hay 7 combinaciones posibles que utilizan 3 rutas por mosaico, como se muestra arriba. [3] Aunque la notación de Van Ness se puede aplicar modificándola para que cuente la adyacencia en lugar de los lados, cada mosaico no se describe de forma única mediante la notación de Van Ness, aunque la relación entre los casos 003 (a) y (b) se puede ver inscribiendo un triángulo, como en el ejemplo que se muestra aquí. Se podría inscribir un triángulo similar para el caso 021 (a) para demostrar su relación con 021 (b).
Puede resultar más sencillo describir la ficha mediante pares de caminos. En el conjunto de fichas de tres lados con dos puntos de entrada por lado y tres caminos, la numeración comienza desde el punto izquierdo del borde inferior y continúa secuencialmente en sentido contrario a las agujas del reloj.
Una rotación completa hace girar la pieza 120° (=360°/3 lados). La aritmética de rotación se realiza sumando dos, módulo seis. Considere la pieza (12-34-56). Al girar la pieza una o más rotaciones completas, por inspección, no se cambiarán los puntos que están vinculados. Para demostrar esto, una rotación en sentido antihorario da como resultado la configuración (34-56-78), o, después de realizar la aritmética de módulo, (34-56-12), que se puede reorganizar en (12-34-56), lo que demuestra que una rotación no afecta a las trayectorias vinculadas y, por lo tanto, hay una posición de rotación distinta para esta pieza. Por otro lado, considere la pieza (13-26-45). Las dos primeras rotaciones en sentido antihorario de esta pieza dan como resultado las configuraciones (16-24-35) y (15-23-46), respectivamente, por lo que esta pieza tiene tres posiciones de rotación distintas.
De manera similar, un polígono regular de 4 lados (cuadrado) con 2 puntos de entrada por lado tiene 35 combinaciones potenciales utilizando 4 caminos por pieza. [3] La rotación completa es de 90° y la simetría rotacional se puede determinar sumando 2, módulo 8 de una manera similar a la del caso del triángulo equilátero anterior. Este conjunto de polígonos de cuatro lados con dos puntos de entrada por lado y cuatro caminos por pieza se utiliza en el juego de mesa comercial Tsuro .
En algunos casos, los pares (a) y (b) [o (a) y (x)] se pueden recuperar inscribiendo un cuadrado de manera similar. En otros casos, los conjuntos [(a) y (b)] o [(x) y (y)] son pares de imágenes especulares.
Para el caso general donde las fichas son polígonos regulares de n lados con m puntos de entrada por lado, de modo que el producto de n y m es par, el número de combinaciones distintas se puede calcular como . [3]
Por ejemplo, un decágono de 10 lados con un solo camino por lado (5 caminos en total) tiene 105 combinaciones. [3]
(Muchos de los valores de la fuente original son N/C, es decir, no calculados) [3]
Un juego de Psyche-Paths requiere de uno a seis jugadores. Los jugadores se turnan para colocar las fichas. Cada ficha colocada junto a las fichas que ya se han colocado debe continuar el color del camino o caminos en el borde o los bordes adyacentes existentes. Se proporcionan seis fichas en blanco como "comodines" y se considera que continúan cualquier camino adyacente. Se extrae una ficha al comienzo del juego y se coloca en el medio del campo de juego para "sembrar" el juego. [7]
En los caminos psíquicos para principiantes, los jugadores extraen una ficha de un grupo de fichas boca abajo cuando es su turno. Se otorga un punto por cada camino conectado. Si el jugador no puede jugar la ficha o realiza una jugada ilegal, la conserva y el jugador es penalizado con una cantidad de puntos igual a la cantidad de caminos que pasan por la ficha conservada al final del juego. [7]
En los caminos psíquicos "estándar", de dos a cuatro jugadores toman una mano de seis fichas al comienzo del juego. Durante cada turno, los jugadores pueden jugar cualquiera o todas sus fichas, reponiendo una mano de seis fichas al final de su turno desde el grupo de fichas boca abajo. Al colocar fichas, se otorgan puntos solo cuando se conectan dos o más extremos de un camino existente. El jugador obtiene una cantidad de puntos igual a la cantidad de fichas que contienen el camino de color conectado. Se otorgan tres puntos si el camino se cruza consigo mismo y la puntuación se duplica si el camino está cerrado. No se aplican penalizaciones por las fichas sobrantes. [7] Los caminos psíquicos "clásicos" son similares a los "estándar", pero agregan una regla según la cual cada movimiento debe dar como resultado un solo camino a través de todas las fichas en ese movimiento. [7]
"Solitario" Psyche-Paths no tiene reglas específicas, sino más bien sugerencias, como construir filas alternadas de ocho y nueve piezas de longitud utilizando movimientos legales. [7]
Las fichas cuadradas se utilizan en juegos de conexión como el Black Path Game (con un camino de un solo color) y Trax (con dos caminos de colores). Las fichas octagonales con un solo color de camino se utilizan con espacios intersticiales y un tablero de juego con enlaces preimpresos para el juego Octiles . [8] [9]
El juego Serpentiles (2008) fue desarrollado por Brett J. Gilbert [10] y publicado por ThinkFun en 2008. [11] El juego Serpentiles (2008) incluye 19 fichas de plástico: 4 fichas cuadradas (1×1) y 12 fichas rectangulares (2×1) con un camino verde o azul impreso en cada una, y 3 fichas cuadradas (1×1) con extremos de camino azul y verde coincidentes. El juego de 2008 también incluye 40 tarjetas de desafío que proporcionan una lista de fichas (incluidos dos de los nodos) que se deben organizar de modo que se forme un camino contiguo de cada color. [12]
El juego original de conexión de fichas hexagonales por sus bordes, Psyche-Paths, fue diseñado por Charles Titus y Craige Schensted y publicado en la década de 1960 [13] con 85 combinaciones de fichas únicas y 6 "comodines" en blanco sobre fichas de cartón. [7] En una reseña, los investigadores señalaron que el juego "se adapta a una amplia variedad de edades, intereses y estilos de juego... [lo que implica] una serie de habilidades que son de especial interés para profesores y padres". [14] Steve Titus, el hijo de Charles, reeditó el juego en la década de 1980 como Kaliko utilizando fichas acrílicas serigrafiadas bajo la empresa familiar Future Games. Kaliko fue licenciado a Kadon en 1986 y pasó a ser de madera después de 2001. [15]
Tantrix fue lanzado en 1988 por el inventor Mike McManaway usando cuatro de las cinco combinaciones de caminos posibles (usando la notación de Van Ness: 003 , 021 , 102 y 120 , excluyendo 300 ) para crear 56 fichas únicas, cada una con tres colores diferentes elegidos de una paleta de cuatro. La principal innovación de Tantrix es la codificación de números en el reverso de las fichas, lo que permite que se utilicen subconjuntos de las 56 para rompecabezas en solitario. [16]
El conjunto completo de 85 mosaicos, asumiendo una combinación de hasta tres colores de ruta distintos por mosaico, se muestra en la siguiente tabla, organizado por notación y número de colores.
Tantrix utiliza exclusivamente el subconjunto de fichas con tres colores de ruta diferentes y excluye la serie 300 Triple Cross. Con cuatro colores de ruta posibles en Tantrix, hay cuatro combinaciones de colores diferentes con tres colores de ruta diferentes, lo que da 56 fichas de Tantrix únicas en un conjunto completo:
![{\displaystyle 10^{[min(\left\vert BA\right\vert ,6-\left\vert BA\right\vert )-1]{\bmod {3}}}+10^{[min(\ left\vert DC\right\vert ,6-\left\vert DC\right\vert )-1]{\bmod {3}}}+10^{[min(\left\vert FE\right\vert ,6 -\left\vert FE\right\vert )-1]{\bmod {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7e2aa49fcde53816c9f668bd39d59a7eddaebc)
