Función L de Dirichlet

Tipo de función matemática

En matemáticas , una serie L de Dirichlet es una función de la forma

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

donde es un carácter de Dirichlet y s una variable compleja con parte real mayor que 1. Es un caso especial de una serie de Dirichlet . Por continuación analítica , se puede extender a una función meromórfica en todo el plano complejo , y entonces se llama función L de Dirichlet y también se denota L ( s , χ ). ${\displaystyle \chi }$

Estas funciones reciben su nombre de Peter Gustav Lejeune Dirichlet , quien las introdujo en (Dirichlet 1837) para demostrar el teorema de los primos en progresiones aritméticas que también lleva su nombre. En el transcurso de la demostración, Dirichlet muestra que L ( s , χ ) no es cero en s = 1. Además, si χ es principal, entonces la función L de Dirichlet correspondiente tiene un polo simple en s = 1. De lo contrario, la función L es entera .

Producto de Euler

Dado que un carácter de Dirichlet χ es completamente multiplicativo , su función L también puede escribirse como un producto de Euler en el semiplano de convergencia absoluta :

${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ for }}{\text{Re}}(s)>1,}$

donde el producto es sobre todos los números primos . ^[1]

Personajes primitivos

Los resultados sobre las funciones L suelen expresarse de forma más sencilla si se supone que el carácter es primitivo, aunque los resultados normalmente pueden extenderse a caracteres imprimitivos con complicaciones menores. ^[2] Esto se debe a la relación entre un carácter imprimitivo y el carácter primitivo que lo induce: ^[3] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi ^{\star }}$

${\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\chi ^{\star }(n),&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1\\0,&\mathrm {if} \gcd(n,q)\neq 1\end{cases}}}$

(Aquí, q es el módulo de χ .) Una aplicación del producto de Euler da una relación simple entre las funciones L correspondientes : ^{[4] [5]}

${\displaystyle L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right)}$

(Esta fórmula es válida para todos los s , por continuación analítica, aunque el producto de Euler sólo es válido cuando Re( s ) > 1.) La fórmula muestra que la función L de χ es igual a la función L del carácter primitivo que induce χ , multiplicado sólo por un número finito de factores. ^[6]

Como caso especial, la función L del carácter principal módulo q se puede expresar en términos de la función zeta de Riemann : ^{[7] [8]} ${\displaystyle \chi _{0}}$

${\displaystyle L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\prod _{p\,|\,q}(1-p^{-s})}$

Ecuación funcional

Las funciones L de Dirichlet satisfacen una ecuación funcional , que proporciona una forma de continuarlas analíticamente a lo largo del plano complejo. La ecuación funcional relaciona el valor de con el valor de . Sea χ un carácter primitivo módulo q , donde q > 1. Una forma de expresar la ecuación funcional es: ^[9] ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle L(1-s,{\overline {\chi }})}$

${\displaystyle L(s,\chi )=W(\chi )2^{s}\pi ^{s-1}q^{1/2-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}(s+\delta )\right)\Gamma (1-s)L(1-s,{\overline {\chi }}).}$

En esta ecuación, Γ denota la función gamma ;

${\displaystyle \chi (-1)=(-1)^{\delta }}$ ; y

${\displaystyle W(\chi )={\frac {\tau (\chi )}{i^{\delta }{\sqrt {q}}}}}$

donde τ  (  χ ) es una suma de Gauss :

${\displaystyle \tau (\chi )=\sum _{a=1}^{q}\chi (a)\exp(2\pi ia/q).}$

Una propiedad de las sumas de Gauss es que | τ  (  χ ) | = q ^1/2 , por lo que | W  (  χ ) | = 1. ^{[10] [11]}

Otra forma de expresar la ecuación funcional es en términos de

${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=q^{s/2}\pi ^{-(s+\delta )/2}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {s+\delta }{2}}\right)L(s,\chi ).}$

La ecuación funcional se puede expresar como: ^{[9] [11]}

${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=W(\chi )\Lambda (1-s,{\overline {\chi }}).}$

La ecuación funcional implica que ( y ) son funciones enteras de s . (De nuevo, esto supone que χ es un carácter primitivo módulo q con q > 1. Si q = 1, entonces tiene un polo en s = 1.) ^{[9] [11]} ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \Lambda (s,\chi )}$ ${\displaystyle L(s,\chi )=\zeta (s)}$

Para generalizaciones, véase: Ecuación funcional (función L) .

Ceros

La función L de Dirichlet L ( s , χ ) = 1 − 3 ^{− s} + 5 ^{− s} − 7 ^{− s} + ⋅⋅⋅ (a veces se le da el nombre especial de función beta de Dirichlet ), con ceros triviales en los números enteros impares negativos

Sea χ un carácter primitivo módulo q , con q > 1.

No hay ceros de L ( s , χ ) con Re( s ) > 1. Para Re( s ) < 0, hay ceros en ciertos enteros negativos s :

• Si χ (−1) = 1, los únicos ceros de L ( s , χ ) con Re( s ) < 0 son ceros simples en −2, −4, −6, .... (También hay un cero en s = 0). Estos corresponden a los polos de . ^[12] ${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s}{2}})}$
• Si χ (−1) = −1, entonces los únicos ceros de L ( s , χ ) con Re( s ) < 0 son ceros simples en −1, −3, −5, .... Estos corresponden a los polos de . ^[12] ${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s+1}{2}})}$

Estos se llaman ceros triviales. ^[9]

Los ceros restantes se encuentran en la franja crítica 0 ≤ Re( s ) ≤ 1, y se denominan ceros no triviales. Los ceros no triviales son simétricos respecto de la línea crítica Re( s ) = 1/2. Es decir, si entonces también, debido a la ecuación funcional. Si χ es un carácter real, entonces los ceros no triviales también son simétricos respecto del eje real, pero no si χ es un carácter complejo. La hipótesis de Riemann generalizada es la conjetura de que todos los ceros no triviales se encuentran en la línea crítica Re( s ) = 1/2. ^[9] ${\displaystyle L(\rho ,\chi )=0}$ ${\displaystyle L(1-{\overline {\rho }},\chi )=0}$

Hasta la posible existencia de un cero de Siegel , se sabe que existen regiones libres de ceros que incluyen y superan la línea Re( s ) = 1 similares a la de la función zeta de Riemann para todas las funciones L de Dirichlet : por ejemplo, para χ un carácter no real de módulo q , tenemos

${\displaystyle \beta <1-{\frac {c}{\log \!\!\;{\big (}q(2+|\gamma |){\big )}}}\ }$

para β + iγ un cero no real. ^[13]

Relación con la función zeta de Hurwitz

Las funciones L de Dirichlet pueden escribirse como una combinación lineal de la función zeta de Hurwitz en valores racionales. Fijando un entero k ≥ 1, las funciones L de Dirichlet para caracteres módulo k son combinaciones lineales, con coeficientes constantes, de ζ ( s , a ) donde a = r / k y r = 1, 2, ..., k . Esto significa que la función zeta de Hurwitz para el racional a tiene propiedades analíticas que están estrechamente relacionadas con las funciones L de Dirichlet. Específicamente, sea χ un carácter módulo k . Entonces podemos escribir su función L de Dirichlet como: ^[14]

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{r=1}^{k}\chi (r)\operatorname {\zeta } \left(s,{\frac {r}{k}}\right).}$

Véase también

• Hipótesis generalizada de Riemann
• Función L
• Teorema de modularidad
• Conjetura de Artin
• Valores especiales de las funciones L

Notas

1. Apostol 1976, Teorema 11.7
2. Davenport 2000, capítulo 5
3. Davenport 2000, capítulo 5, ecuación (2)
4. Davenport 2000, capítulo 5, ecuación (3)
5. Montgomery y Vaughan 2006, pág. 282
6. Apóstol 1976, pág. 262
7. Ireland & Rosen 1990, capítulo 16, sección 4
8. Montgomery y Vaughan 2006, pág. 121
9. Montgomery y Vaughan 2006, pág. 333
10. Montgomery y Vaughan 2006, pág. 332
11. Iwaniec y Kowalski 2004, pag. 84
12. Davenport 2000, capítulo 9
13. Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de conferencias regionales sobre matemáticas. Vol. 84. Providence, RI: American Mathematical Society . pág. 163. ISBN. 0-8218-0737-4.Zbl 0814.11001  .
14. Apóstol 1976, pág. 249

Referencias

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• Apostol, TM (2010), "Función L de Dirichlet", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Davenport, H. (2000). Teoría de números multiplicativos (3.ª ed.). Springer. ISBN 0-387-95097-4.
• Dirichlet, PGL (1837). "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält". Abhand. Alaska. Wiss. Berlín . 48 .
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Una introducción clásica a la teoría de números moderna (2.ª ed.). Springer-Verlag.
• Montgomery, Hugh L. ; Vaughan, Robert C. (2006). Teoría de números multiplicativos. I. Teoría clásica . Cambridge Tracts in Advanced Mathematics. Vol. 97. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004). Teoría analítica de números . Publicaciones del Colloquium de la American Mathematical Society. Vol. 53. Providence, RI: American Mathematical Society.
• "Función L de Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]