En teoría de números , una serie de Poincaré es una serie matemática que generaliza la serie theta clásica que está asociada a cualquier grupo discreto de simetrías de un dominio complejo , posiblemente de varias variables complejas . En particular, generalizan las series clásicas de Eisenstein . Reciben su nombre en honor a Henri Poincaré .
Si Γ es un grupo finito que actúa sobre un dominio D y H ( z ) es cualquier función meromórfica en D , entonces se obtiene una función automórfica promediando sobre Γ:
Sin embargo, si Γ es un grupo discreto , entonces se deben introducir factores adicionales para asegurar la convergencia de dicha serie. Para este fin, una serie de Poincaré es una serie de la forma
donde J γ es el determinante jacobiano del elemento del grupo γ, [1] y el asterisco denota que la suma tiene lugar solo sobre representantes de clases laterales que producen términos distintos en la serie.
La serie clásica de Poincaré de peso 2 k de un grupo fuchsiano Γ está definida por la serie
La suma que se extiende sobre clases de congruencia de transformaciones lineales fraccionarias.
perteneciente a Γ. Eligiendo H como un carácter del grupo cíclico de orden n , se obtiene la denominada serie de Poincaré de orden n :
La última serie de Poincaré converge de manera absoluta y uniforme en conjuntos compactos (en el semiplano superior), y es una forma modular de peso 2 k para Γ. Nótese que, cuando Γ es el grupo modular completo y n = 0, se obtiene la serie de Eisenstein de peso 2 k . En general, la serie de Poincaré es, para n ≥ 1, una forma de cúspide .
