Conjuntos separados

Tipo de relación para subconjuntos de un espacio topológico

En topología y ramas afines de las matemáticas , los conjuntos separados son pares de subconjuntos de un espacio topológico determinado que están relacionados entre sí de cierta manera: en términos generales, ni se superponen ni se tocan. La noción de cuándo dos conjuntos están separados o no es importante tanto para la noción de espacios conexos (y sus componentes conexos) como para los axiomas de separación de espacios topológicos.

Los conjuntos separados no deben confundirse con los espacios separados (definidos a continuación), que están algo relacionados pero son diferentes. Los espacios separables son nuevamente un concepto topológico completamente diferente.

Definiciones

Hay varias formas en que se pueden considerar separados dos subconjuntos de un espacio topológico . Una forma más básica en la que se pueden separar dos conjuntos es si son disjuntos , es decir, si su intersección es el conjunto vacío . Esta propiedad no tiene nada que ver con la topología como tal, sino sólo con la teoría de conjuntos . Cada una de las propiedades siguientes es más estricta que la desunión e incorpora alguna información topológica. Las propiedades se presentan en orden creciente de especificidad, siendo cada una una noción más fuerte que la anterior. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

Una propiedad más restrictiva es que y son ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$separados encierredel otro: ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle A\cap {\bar {B}}=\varnothing ={\bar {A}}\cap B.}$$

Esta propiedad se conoce como condición de separación de Hausdorff-Lennes . ^[1] Dado que cada conjunto está contenido en su cierre, dos conjuntos separados automáticamente deben estar separados. Los cierres en sí no tienen por qué estar separados entre sí; por ejemplo, los intervalos y están separados en la recta real aunque el punto 1 pertenezca a ambos cierres. Un ejemplo más general es que en cualquier espacio métrico , dos bolas abiertas y están separadas cuando son disjuntas y cada una es disjunto del conjunto derivado del otro, es decir, (como en el caso de la primera versión de la definición, no es necesario que los conjuntos derivados y sean disjuntos entre sí). ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (1,2]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\}}$ ${\displaystyle B_{s}(q)=\{x\in X:d(q,x)<s\}}$ ${\displaystyle d(p,q)\geq r+s.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\textstyle A'\cap B=\varnothing =B'\cap A.}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle B'}$

Los conjuntos y son ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$separados por barrios si haybarrios deydetal queyson disjuntos. (A veces verá el requisito de queysean vecindarios abiertos , pero al final esto no hace ninguna diferencia). Como ejemplo dey,podría tomaryTenga en cuenta que si dos conjuntos cualesquiera están separados por vecindarios, entonces ciertamente están separados. Siyson abiertos y separados, entonces deben estar separados por vecindarios; simplemente tomeyPor esta razón, la separación se usa a menudo con conjuntos cerrados (como en elaxioma de separación normal). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A=[0,1)}$ ${\displaystyle B=(1,2],}$ ${\displaystyle U=(-1,1)}$ ${\displaystyle V=(1,3).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U=A}$ ${\displaystyle V=B.}$

Los conjuntos y son ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$separados por vecindades cerradas si hay unavecindadcerradadey una vecindad cerradadetal queyson disjuntos. Nuestros ejemplos,ynoestánseparados por barrios cerrados. Puede cerrar unoo uno al incluir el punto 1 en él, pero no puede cerrar ambos manteniéndolos separados. Tenga en cuenta que si dos conjuntos cualesquiera están separados por vecindades cerradas, entonces ciertamente están separados por vecindades. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (1,2],}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Los conjuntos y son ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$separados por una función continua si existe unafunción continua desde el espaciohasta la línea realtal quey, es decir, miembros demap a 0 y miembros demap a 1. (A vecesse usaintervalo unitarioen esta definición , pero esto no hace ninguna diferencia.) En nuestro ejemplo,yno están separados por una función, porque no hay manera de definir continuamenteen el punto 1.^[2]Si dos conjuntos están separados por una función continua, entonces también están separados por barrios cerrados; las vecindades se pueden dar en términos de lapreimagendeasydondecualquiernúmero real positivomenor que ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle B\subseteq f^{-1}(1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (1,2]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U=f^{-1}[-c,c]}$ ${\displaystyle V=f^{-1}[1-c,1+c],}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1/2.}$

Los conjuntos y son ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$separados con precisión por una función continua si existe una función continuatal quey(Nuevamente, también puede ver el intervalo unitario en lugar dey nuevamente, no hay diferencia). Tenga en cuenta que si dos conjuntos cualesquiera están separados con precisión por una función, entonces están separados por una función. Dado queyestán cerrados,solo los conjuntos cerrados pueden ser separados con precisión por una función, pero el hecho de que dos conjuntos estén cerrados y separados por una función no significa que estén automáticamente separados con precisión por una función (incluso una función diferente). ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A=f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle B=f^{-1}(1).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Relación con los axiomas de separación y los espacios separados.

Los axiomas de separación son diversas condiciones que a veces se imponen a los espacios topológicos, muchas de las cuales pueden describirse en términos de diversos tipos de conjuntos separados. Como ejemplo definiremos el axioma T ₂ , que es la condición impuesta a los espacios separados. Específicamente, un espacio topológico está separado si, dados dos puntos distintos x e y , los conjuntos singleton { x } y { y } están separados por vecindades.

Los espacios separados suelen denominarse espacios de Hausdorff o espacios T ₂ .

Relación con espacios conectados

Dado un espacio topológico X , a veces resulta útil considerar si es posible separar un subconjunto A de su complemento . Esto es ciertamente cierto si A es el conjunto vacío o el espacio completo X , pero puede haber otras posibilidades. Un espacio topológico X es conexo si estas son las dos únicas posibilidades. Por el contrario, si un subconjunto no vacío A está separado de su propio complemento, y si el único subconjunto de A que comparte esta propiedad es el conjunto vacío, entonces A es un componente conexo abierto de X. (En el caso degenerado en el que X es en sí mismo el conjunto vacío , las autoridades difieren sobre si es conexo y si es un componente de sí mismo conexo abierto). ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$

Relación con puntos topológicamente distinguibles

Dado un espacio topológico X , dos puntos x e y son topológicamente distinguibles si existe un conjunto abierto al que pertenece un punto pero no el otro. Si xey son topológicamente distinguibles, entonces los conjuntos singleton { x } y { y } deben ser disjuntos. Por otro lado, si los singletons { x } y { y} están separados, entonces los puntos xey deben ser topológicamente distinguibles . Por lo tanto, para los singletons, la distinguibilidad topológica es una condición entre la desunión y la separación.

Ver también

• Espacio de Hausdorff  - Tipo de espacio topológico
• Espacio localmente Hausdorff
• Axioma de separación  : axiomas en topología que definen nociones de "separación"

Citas

1. Pervin 1964, pag. 51
2. Munkres, James R. (2000). Topología (2 ed.). Prentice Hall. pag. 211.ISBN​ 0-13-181629-2.

Fuentes

• Munkres, James R. (2000). Topología . Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Willard, Stephen (2004). Topología general . Addison-Wesley . ISBN 0-486-43479-6.
• Pervin, William J. (1964), Fundamentos de topología general , Academic Press