distancia angular

Ángulo entre las dos líneas de visión o dos objetos vistos desde un observador

Distancia angular o separación angular es la medida del ángulo entre la orientación de dos rectas , rayos o vectores en el espacio tridimensional , o el ángulo central subtendido por los radios que pasan por dos puntos de una esfera . Cuando los rayos son líneas de visión de un observador hacia dos puntos del espacio, se conoce como distancia aparente o separación aparente .

La distancia angular aparece en matemáticas (en particular geometría y trigonometría ) y en todas las ciencias naturales (p. ej., cinemática , astronomía y geofísica ). En la mecánica clásica de objetos en rotación aparece junto a la velocidad angular , la aceleración angular , el momento angular , el momento de inercia y el par .

Usar

El término distancia angular (o separación ) es técnicamente sinónimo de ángulo en sí, pero pretende sugerir la distancia lineal entre objetos (por ejemplo, un par de estrellas observadas desde la Tierra ).

Medición

Dado que la distancia (o separación) angular es conceptualmente idéntica a un ángulo, se mide en las mismas unidades , como grados o radianes , utilizando instrumentos como goniómetros o instrumentos ópticos especialmente diseñados para apuntar en direcciones bien definidas y registrar las correspondientes. ángulos (como los telescopios ).

Formulación

Separación angular entre los puntos A y B visto desde O ${\displaystyle \theta }$

Para derivar la ecuación que describe la separación angular de dos puntos ubicados en la superficie de una esfera vista desde el centro de la esfera, usamos el ejemplo de dos objetos astronómicos observados desde la Tierra. Los objetos y se definen por sus coordenadas celestes , es decir, sus ascensiones rectas (RA) , ; y declinaciones (dec) , . Indiquemos al observador en la Tierra, que se supone ubicado en el centro de la esfera celeste . El producto escalar de los vectores y es igual a: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B})\in [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle (\delta _{A},\delta _{B})\in [-\pi /2,\pi /2]}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbf {OA} }$ ${\displaystyle \mathbf {OB} }$

${\displaystyle \mathbf {OA} \cdot \mathbf {OB} =R^{2}\cos \theta }$

que equivale a:

${\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \theta }$

En el marco, los dos vectores unitarios se descomponen en: ${\displaystyle (x,y,z)}$

$${\displaystyle \mathbf {n_{A}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\\\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\\\sin \delta _{A}\end{pmatrix}}\mathrm {\qquad and\qquad } \mathbf {n_{B}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}\\\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}\\\sin \delta _{B}\end{pmatrix}}.}$$

$${\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}+\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}+\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}\equiv \cos \theta }$$

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left[\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\cos(\alpha _{A}-\alpha _{B})\right]}$

Aproximación de distancia angular pequeña

La expresión anterior es válida para cualquier posición de A y B en la esfera. En astronomía, a menudo sucede que los objetos considerados están muy cerca en el cielo: estrellas en el campo de visión de un telescopio, estrellas binarias, satélites de planetas gigantes del sistema solar, etc. En el caso de radianes, implica y , Podemos desarrollar la expresión anterior y simplificarla. En la aproximación de ángulo pequeño , de segundo orden, la expresión anterior se convierte en: ${\displaystyle \theta \ll 1}$ ${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$ ${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$

${\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\left[1-{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\right]}$

significado

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \cos(\delta _{A}-\delta _{B})-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$

por eso

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1-{\frac {(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}{2}}-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$.

Dado que y , en un desarrollo de segundo orden resulta que , de modo que ${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$ ${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$ ${\displaystyle \cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\approx \cos ^{2}\delta _{A}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\left[(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}\right]^{2}+(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}}}$

Distancia angular pequeña: aproximación plana

Aproximación plana de la distancia angular en el cielo.

Si consideramos un detector que genera imágenes de un campo de cielo pequeño (dimensión mucho menor que un radian) con el eje apuntando hacia arriba, paralelo al meridiano de ascensión recta , y el eje a lo largo del paralelo de declinación , la separación angular se puede escribir como : ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}}$

dónde y . ${\displaystyle \delta x=(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}}$ ${\displaystyle \delta y=\delta _{A}-\delta _{B}}$

Tenga en cuenta que el eje es igual a la declinación, mientras que el eje es la ascensión recta modulada porque la sección de una esfera de radio en declinación (latitud) es (ver Figura). ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos \delta _{A}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R'=R\cos \delta _{A}}$

Ver también

• Milliradián
• Gradián
• Ángulo horario
• ángulo central
• Ángulo de rotación
• Diámetro angular
• Desplazamiento angular
• Distancia del gran círculo
• Similitud del coseno § Distancia angular y similitud

Referencias

• CASTOR, autor Michael A. Earl. "La trigonometría esférica frente al análisis vectorial".
• Weisstein, Eric W. "Distancia angular". MundoMatemático .