variograma

Función de estadística espacial

En estadística espacial, el variograma teórico , denotado , es una función que describe el grado de dependencia espacial de un campo aleatorio espacial o proceso estocástico . El semivariograma es la mitad del variograma. ${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$ ${\displaystyle Z(\mathbf {s} )}$ ${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

Esquematización de un variograma. Los puntos representan los puntos de datos medidos (observados) y la curva representa la función del modelo utilizada (empírica). Range representa el alcance buscado, sill el valor de meseta alcanzado en el alcance máximo, pepita el efecto pepita.

En el caso de un ejemplo concreto del campo de la minería de oro , un variograma dará una medida de cuánto variará el porcentaje de oro de dos muestras tomadas del área minera dependiendo de la distancia entre esas muestras. Las muestras tomadas muy separadas variarán más que las muestras tomadas cerca unas de otras.

Definición

El semivariograma fue definido por primera vez por Matheron (1963) como la mitad de la diferencia al cuadrado promedio entre los valores en puntos ( y ) separados por una distancia . ^{[1] [2]} Formalmente ${\displaystyle \gamma (h)}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2V}}\iiint _{V}\left[f(M+h)-f(M)\right]^{2}dV,}$

donde es un punto en el campo geométrico y es el valor en ese punto. La integral triple tiene más de 3 dimensiones. es la distancia de separación (por ejemplo, en metros o km) de interés. Por ejemplo, el valor podría representar el contenido de hierro en el suelo, en algún lugar (con coordenadas geográficas de latitud, longitud y elevación) sobre alguna región con elemento de volumen . Para obtener el semivariograma de un determinado , se tomarían muestras de todos los pares de puntos a esa distancia exacta. En la práctica, es imposible tomar muestras en todas partes, por lo que se utiliza en su lugar el variograma empírico. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(M)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle dV}$ ${\displaystyle \gamma (h)}$

El variograma es el doble del semivariograma y puede definirse, de manera equivalente, como la varianza de la diferencia entre los valores de campo en dos ubicaciones ( y , nótese el cambio de notación de a y a ) entre realizaciones del campo (Cressie 1993): ${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})={\text{var}}\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right)=E\left[((Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))-E[Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})])^{2}\right].}$

Si el campo aleatorio espacial tiene una media constante , esto es equivalente a la expectativa del incremento al cuadrado de los valores entre ubicaciones y (Wackernagel 2003) (donde y son puntos en el espacio y posiblemente en el tiempo): ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right)^{2}\right].}$

En el caso de un proceso estacionario , el variograma y el semivariograma se pueden representar únicamente como función de la diferencia entre ubicaciones, mediante la siguiente relación (Cressie 1993): ${\displaystyle \gamma _{s}(h)=\gamma (0,0+h)}$ ${\displaystyle h=\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{s}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}).}$

Si el proceso es además isotrópico , entonces el variograma y el semivariograma pueden representarse únicamente en función de la distancia (Cressie 1993): ${\displaystyle \gamma _{i}(h):=\gamma _{s}(he_{1})}$ ${\displaystyle h=\|\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}\|}$

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{i}(h).}$

Los índices o normalmente no están escritos. Los términos se utilizan para las tres formas de la función. Además, el término "variograma" se utiliza a veces para indicar el semivariograma y el símbolo a veces se utiliza para el variograma, lo que genera cierta confusión. ^[3] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \gamma }$

Propiedades

Según (Cressie 1993, Chiles y Delfiner 1999, Wackernagel 2003) el variograma teórico tiene las siguientes propiedades:

• El semivariograma no es negativo , ya que es la expectativa de un cuadrado. ${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})\geq 0}$
• El semivariograma a la distancia 0 es siempre 0, ya que . ${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})=\gamma _{i}(0)=E\left((Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1}))^{2}\right)=0}$ ${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1})=0}$
• Una función es un semivariograma si y sólo si es una función definida condicionalmente negativa, es decir, para todos los pesos sujetos y ubicaciones que cumple: ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{N}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=0}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{N}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}\gamma (\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j})w_{j}\leq 0}$

lo cual corresponde a que la varianza de está dada por el negativo de esta doble suma y debe ser no negativa. ^{[ disputado – discutir ]} ${\displaystyle var(X)}$ ${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})}$

• Si existe la función de covarianza de un proceso estacionario, se relaciona con el variograma por

  ${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})+C(\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{2})-2C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

• Si un campo aleatorio estacionario no tiene dependencia espacial (es decir, si ), el semivariograma es la constante en todas partes excepto en el origen, donde es cero. ${\displaystyle C(h)=0}$ ${\displaystyle h\not =0}$ ${\displaystyle var(Z(\mathbf {s} ))}$
• ${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{2}\right]=\gamma (\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{1})}$es una función simétrica.
• En consecuencia, es una función par . ${\displaystyle \gamma _{s}(h)=\gamma _{s}(-h)}$
• Si el campo aleatorio es estacionario y ergódico , corresponde a la varianza del campo. El límite del semivariograma también se llama umbral . ${\displaystyle \lim _{h\to \infty }\gamma _{s}(h)=var(Z(\mathbf {s} ))}$
• Como consecuencia, el semivariograma podría ser no continuo sólo en el origen. La altura del salto en el origen a veces se denomina efecto pepita o pepita.

Parámetros

En resumen, los siguientes parámetros se utilizan a menudo para describir variogramas:

• pepita : La altura del salto del semivariograma en la discontinuidad en el origen. ${\displaystyle n}$
• umbral : Límite del variograma que tiende al infinito de distancias de desfase. ${\displaystyle s}$
• rango : La distancia en la que la diferencia entre el variograma y el alféizar se vuelve insignificante. En los modelos con umbral fijo, es la distancia a la que se alcanza éste por primera vez; para los modelos con alféizar asintótico, convencionalmente se considera la distancia cuando la semivarianza alcanza por primera vez el 95% del alféizar. ${\displaystyle r}$

Variograma empírico

Generalmente, se necesita un variograma empírico para los datos medidos, porque la información de la muestra no está disponible para todas las ubicaciones. La información de la muestra, por ejemplo, podría ser la concentración de hierro en muestras de suelo o la intensidad de los píxeles en una cámara. Cada pieza de información muestral tiene coordenadas para un espacio muestral 2D donde y son coordenadas geográficas. En el caso del hierro en el suelo, el espacio muestral podría ser tridimensional. Si también hay variabilidad temporal (por ejemplo, contenido de fósforo en un lago), entonces podría ser un vector de 4 dimensiones . En el caso de que las dimensiones tengan unidades diferentes (p. ej., distancia y tiempo), se puede aplicar un factor de escala a cada una para obtener una distancia euclidiana modificada. ^[4] ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbf {s} =(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle (x,y,z,t)}$ ${\displaystyle B}$

Se denotan observaciones de muestra . Las muestras se pueden tomar en lugares totalmente diferentes. Esto proporcionaría un conjunto de muestras en las ubicaciones . Generalmente, los gráficos muestran los valores del semivariograma en función de la separación de los puntos de muestra . En el caso del semivariograma empírico, se utilizan intervalos de distancia de separación en lugar de distancias exactas y, por lo general, se suponen condiciones isotrópicas (es decir, eso es sólo una función y no depende de otras variables como la posición central). Luego, se puede calcular el semivariograma empírico para cada contenedor: ${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{i})=z_{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{1},\ldots ,\mathbf {s} _{k}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h\pm \delta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h\pm \delta )}$

${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h\pm \delta ):={\frac {1}{2|N(h\pm \delta )|}}\sum _{(i,j)\in N(h\pm \delta )}|z_{i}-z_{j}|^{2}}$

O en otras palabras, se encuentra cada par de puntos separados por (más o menos algún rango de tolerancia del ancho del contenedor ). Estos forman el conjunto de puntos . El número de estos puntos en este contenedor es . Luego, para cada par de puntos , se encuentra el cuadrado de la diferencia en la observación (p. ej., contenido de muestra de suelo o intensidad de píxeles) ( ). Estas diferencias al cuadrado se suman y se normalizan mediante el número natural . Por definición, el resultado se divide por 2 para el semivariograma con esta separación. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle N(h\pm \delta )\equiv \{(\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j}):|\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j}|=h\pm \delta ;i,j=1,\ldots ,N\}}$ ${\displaystyle |N(h\pm \delta )|}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle |z_{i}-z_{j}|^{2}}$ ${\displaystyle |N(h\pm \delta )|}$

Para lograr velocidad computacional, sólo se necesitan pares únicos de puntos. Por ejemplo, para 2 pares de observaciones [ ] tomadas de ubicaciones con separación solo es necesario considerar [ ], ya que los pares [ ] no proporcionan ninguna información adicional. ${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$ ${\displaystyle h\pm \delta }$ ${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$ ${\displaystyle (z_{b},z_{a}),(z_{d},z_{c})}$

Modelos de variograma

El variograma empírico no se puede calcular en cada distancia de retraso y, debido a la variación en la estimación, no se garantiza que sea un variograma válido, como se definió anteriormente. Sin embargo, algunos métodos geoestadísticos , como el kriging, necesitan semivariogramas válidos. En geoestadística aplicada, los variogramas empíricos a menudo se aproximan mediante una función del modelo que garantiza la validez (Chiles y Delfiner 1999). Algunos modelos importantes son (Chiles&Delfiner 1999, Cressie 1993): ${\displaystyle h}$

• El modelo de variograma exponencial.

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)(1-\exp(-h/(ra)))+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• El modelo de variograma esférico.

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(\left({\frac {3h}{2r}}-{\frac {h^{3}}{2r^{3}}}\right)1_{(0,r)}(h)+1_{[r,\infty )}(h)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• El modelo de variograma gaussiano

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(1-\exp \left(-{\frac {h^{2}}{r^{2}a}}\right)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

El parámetro tiene diferentes valores en diferentes referencias, debido a la ambigüedad en la definición del rango. Eg es el valor utilizado en (Chiles&Delfiner 1999). La función es 1 si y 0 en caso contrario. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=1/3}$ ${\displaystyle 1_{A}(h)}$ ${\displaystyle h\in A}$

Discusión

En geoestadística se utilizan tres funciones para describir la correlación espacial o temporal de las observaciones: el correlograma , la covarianza y el semivariograma . Este último también se llama más simplemente variograma .

El variograma es la función clave en geoestadística, ya que se utilizará para ajustar un modelo de correlación temporal/espacial del fenómeno observado. Por lo tanto, se hace una distinción entre el variograma experimental que es una visualización de una posible correlación espacial/temporal y el modelo de variograma que se utiliza además para definir los pesos de la función kriging . Tenga en cuenta que el variograma experimental es una estimación empírica de la covarianza de un proceso gaussiano . Como tal, puede que no sea positivo definido y, por lo tanto, no se pueda utilizar directamente en kriging , sin restricciones ni procesamiento adicional. Esto explica por qué sólo se utiliza un número limitado de modelos de variogramas: los más habituales son los modelos lineal, esférico, gaussiano y exponencial.

Aplicaciones

El variograma empírico se utiliza en geoestadística como primera estimación del modelo de variograma necesario para la interpolación espacial mediante kriging .

• Se utilizaron variogramas empíricos para la variabilidad espaciotemporal del dióxido de carbono promediado por columnas para determinar los criterios de coincidencia para mediciones satelitales y terrestres. ^[4]
• Se calcularon variogramas empíricos para la densidad de un material heterogéneo (Gilsocarbon). ^[5]
• Los variogramas empíricos se calculan a partir de observaciones de fuertes movimientos del suelo provocados por terremotos . ^[6] Estos modelos se utilizan para evaluaciones de riesgos sísmicos y pérdidas de infraestructura distribuida espacialmente. ^[7]

Conceptos relacionados

El término cuadrado en el variograma, por ejemplo , se puede reemplazar con diferentes potencias: un madograma se define con la diferencia absoluta , y un rodograma se define con la raíz cuadrada de la diferencia absoluta . Se dice que los estimadores basados ​​en estos poderes más bajos son más resistentes a los valores atípicos . Se pueden generalizar como un "variograma de orden α ", ${\displaystyle (Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))^{2}}$ ${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|}$ ${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{0.5}}$

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right|^{\alpha }\right]}$,

en el que un variograma es de orden 2, un madograma es un variograma de orden 1 y un rodograma es un variograma de orden 0,5. ^[8]

Cuando se utiliza un variograma para describir la correlación de diferentes variables, se llama variograma cruzado . Los variogramas cruzados se utilizan en co-kriging. Si la variable es binaria o representa clases de valores, entonces se habla de variogramas indicadores . El variograma indicador se utiliza en kriging indicador.

Referencias

1. Matheron, Georges (1963). "Principios de geoestadística". Geología Económica . 58 (8): 1246–1266. doi :10.2113/gsecongeo.58.8.1246. ISSN  1554-0774.
2. Vado, David. "El variograma empírico" (PDF) . facultad.washington.edu/edford . Consultado el 31 de octubre de 2017 .
3. Bachmaier, Martín; Backes, Matías (24 de febrero de 2008). "¿Variograma o semivariograma? Comprender las variaciones en un variograma". Agricultura de precisión . 9 (3). Springer Science y Business Media LLC: 173–175. doi :10.1007/s11119-008-9056-2. ISSN  1385-2256.
4. Nguyen, H.; Osterman, G.; Wunch, D.; O'Dell, C.; Mandrágora, L.; Wennberg, P.; Pescador, B.; Castaño, R. (2014). "Un método para colocar datos XCO2 satelitales en datos terrestres y su aplicación a ACOS-GOSAT y TCCON". Técnicas de Medición Atmosférica . 7 (8): 2631–2644. Código Bib : 2014AMT.....7.2631N. doi : 10.5194/amt-7-2631-2014 . ISSN  1867-8548.
5. Arregui Mena, JD; et al. (2018). "Caracterización de la variabilidad espacial de las propiedades materiales de Gilsocarbon y NBG-18 mediante campos aleatorios". Revista de materiales nucleares . 511 : 91-108. Código Bib : 2018JNuM..511...91A. doi : 10.1016/j.jnucmat.2018.09.008 .
6. Schiappapietra, Erika; Douglas, John (abril de 2020). "Modelado de la correlación espacial del movimiento del suelo sísmico: conocimientos de la literatura, datos de la secuencia del terremoto de Italia central de 2016-2017 y simulaciones del movimiento del suelo". Reseñas de ciencias de la tierra . 203 : 103139. Código bibliográfico : 2020ESRv..20303139S. doi : 10.1016/j.earscirev.2020.103139.
7. Sokolov, Vladimir; Wenzel, Friedemann (25 de julio de 2011). "Influencia de la correlación espacial de fuertes movimientos del suelo en la incertidumbre en la estimación de pérdidas por terremotos". Ingeniería sísmica y dinámica estructural . 40 (9): 993–1009. doi :10.1002/eqe.1074.
8. Olea, Ricardo A. (1991). Glosario geoestadístico y diccionario multilingüe . Prensa de la Universidad de Oxford. págs.47, 67, 81. ISBN 9780195066890.

Otras lecturas

• Cressie, N., 1993, Estadísticas de datos espaciales, Wiley Interscience.
• Chiles, JP, P. Delfiner, 1999, Geoestadística, Modelado de Incertidumbre Espacial, Wiley-Interscience.
• Wackernagel, H., 2003, Geoestadística multivariada, Springer.
• Burrough, PA y McDonnell, RA, 1998, Principios de los sistemas de información geográfica.
• Isobel Clark, 1979, Geoestadística práctica, Applied Science Publishers.
• Clark, I., 1979, Geoestadística práctica , Applied Science Publishers.
• David, M., 1978, Estimación geoestadística de reservas minerales , Elsevier Publishing.
• Hald, A., 1952, Teoría estadística con aplicaciones de ingeniería , John Wiley & Sons, Nueva York.
• Journel, AG y Huijbregts, Ch. J., 1978 Geoestadística Minera , Academic Press.
• Glass, HJ, 2003, Método para evaluar la calidad del variograma, The Journal of The South African Institute of Mining and Metallurgy.

enlaces externos

• AI-GEOSTATS: un recurso educativo sobre geoestadística y estadística espacial
• Geoestadística: conferencia de Rudolf Dutter en la Universidad Técnica de Viena