En geometría , un semiespacio es cualquiera de las dos partes en las que un plano divide el espacio euclidiano tridimensional . Si el espacio es bidimensional , entonces un semiespacio se llama semiplano ( abierto o cerrado). Un semiespacio en un espacio unidimensional se llama semilínea o rayo .
De manera más general, un semiespacio es cualquiera de las dos partes en las que un hiperplano divide un espacio afín . Es decir, los puntos que no inciden en el hiperplano se dividen en dos conjuntos convexos (es decir, semiespacios), de modo que cualquier subespacio que conecte un punto de un conjunto con un punto del otro debe intersectar el hiperplano.
Un medio espacio puede estar abierto o cerrado . Un semiespacio abierto es cualquiera de los dos conjuntos abiertos producidos por la resta de un hiperplano del espacio afín. Un semiespacio cerrado es la unión de un semiespacio abierto y el hiperplano que lo define.
El semiespacio superior abierto (cerrado) es el semiespacio de todos ( x 1 , x 2 , ..., x n ) tales que x n > 0 (≥ 0). El semiespacio inferior abierto (cerrado) se define de manera similar, exigiendo que x n sea negativo (no positivo).
Un semiespacio puede especificarse mediante una desigualdad lineal, derivada de la ecuación lineal que especifica el hiperplano que lo define. Una desigualdad lineal estricta especifica un semiespacio abierto:
Uno no estricto especifica un medio espacio cerrado:
Aquí se supone que no todos los números reales a 1 , a 2 , ..., an son cero.
Un semiespacio es un conjunto convexo .
