Medio entero

Número racional igual a un número entero más 1/2

En matemáticas , un semientero es un número de la forma

$${\displaystyle n+{\tfrac {1}{2}},}$$

${\displaystyle n}$

$${\displaystyle 4{\tfrac {1}{2}},\quad 7/2,\quad -{\tfrac {13}{2}},\quad 8.5}$$

semienteros^{[ cita necesaria ]}

Tenga en cuenta que dividir un número entero por la mitad no siempre produce un medio entero; esto sólo es cierto para números enteros impares . Por esta razón, a los semienteros también se les llama a veces semienteros impares . Los semienteros son un subconjunto de los racionales diádicos (números que se obtienen al dividir un número entero por una potencia de dos ). ^[1]

Notación y estructura algebraica.

El conjunto de todos los semienteros a menudo se denota

$${\displaystyle \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\quad =\quad \left({\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} \right)\smallsetminus \mathbb {Z} ~.}$$

grupo^[2]

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.}$$

anillo^[3]anillo más pequeño queracionales diádicos ${\displaystyle ~{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}~=~{\tfrac {1}{4}}~\notin ~{\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}\right]}$

Propiedades

• La suma de semienteros es semientero si y sólo si es impar. Esto incluye ya que la suma vacía 0 no es un medio entero. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$
• El negativo de un medio entero es un medio entero.
• La cardinalidad del conjunto de los semienteros es igual a la de los números enteros. Esto se debe a la existencia de una biyección de los números enteros a los semienteros: , donde es un número entero ${\displaystyle f:x\to x+0.5}$ ${\displaystyle x}$

Usos

embalaje de esfera

El empaquetamiento reticular más denso de esferas unitarias en cuatro dimensiones (llamado retículo D 4 ) coloca una esfera en cada punto cuyas coordenadas son todos números enteros o semienteros. Este empaquetado está estrechamente relacionado con los números enteros de Hurwitz : cuaterniones cuyos coeficientes reales son todos enteros o semienteros. ^[4]

Física

En física, el principio de exclusión de Pauli resulta de la definición de fermiones como partículas que tienen espines semienteros. ^[5]

Los niveles de energía del oscilador armónico cuántico se producen en semienteros y, por tanto, su energía más baja no es cero. ^[6]

Volumen de esfera

Aunque la función factorial se define solo para argumentos enteros, se puede extender a argumentos fraccionarios usando la función gamma . La función gamma para semienteros es una parte importante de la fórmula para el volumen de una bola de radio de n dimensiones , ^[7] ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}~.}$$

pi

$${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)~=~{\frac {\,(2n-1)!!\,}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi \,}}~=~{\frac {(2n)!}{\,4^{n}\,n!\,}}{\sqrt {\pi \,}}~}$$

doble factorial ${\displaystyle n!!}$

Referencias

1. Sabin, Malcolm (2010). Análisis y Diseño de Esquemas de Subdivisión Univariantes. Geometría y Computación. vol. 6. Saltador. pag. 51.ISBN​ 9783642136481.
2. Turaev, Vladimir G. (2010). Invariantes cuánticas de nudos y 3 variedades . Estudios De Gruyter en Matemáticas. vol. 18 (2ª ed.). Walter de Gruyter. pag. 390.ISBN​ 9783110221848.
3. Boolos, George; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2002). Computabilidad y Lógica. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 105.ISBN​ 9780521007580.
4. Báez, John C. (2005). "Revisión sobre cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría por John H. Conway y Derek A. Smith". Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas (reseña del libro). 42 : 229–243. doi : 10.1090/S0273-0979-05-01043-8 .
5. Mészáros, Peter (2010). El universo de alta energía: eventos de energía ultraalta en astrofísica y cosmología. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 13.ISBN​ 9781139490726.
6. Zorro, Mark (2006). Óptica cuántica: una introducción. Serie Master de Oxford en Física. vol. 6. Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 131.ISBN​ 9780191524257.
7. "Ecuación 5.19.4". Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de EE. UU . 6 de mayo de 2013. Versión 1.0.6.