Forma cuadrática definida

Tipo de polinomio homogéneo de grado 2

En matemáticas , una forma cuadrática definida es una forma cuadrática sobre algún espacio vectorial real V que tiene el mismo signo (siempre positivo o siempre negativo) para todo vector distinto de cero de V. Según ese signo, la forma cuadrática se llama definida positiva o definida negativa .

Una forma cuadrática semidefinida (o semidefinida) se define de la misma manera, excepto que "siempre positivo" y "siempre negativo" se reemplazan por "nunca negativo" y "nunca positivo", respectivamente. En otras palabras, puede tomar valores cero para algunos vectores de V distintos de cero .

Una forma cuadrática indefinida toma valores tanto positivos como negativos y se llama forma cuadrática isotrópica .

De manera más general, estas definiciones se aplican a cualquier espacio vectorial sobre un campo ordenado . ^[1]

Forma bilineal simétrica asociada

Las formas cuadráticas corresponden uno a uno a formas bilineales simétricas en el mismo espacio. ^[2] Una forma bilineal simétrica también se describe como definida , semidefinida , etc. según su forma cuadrática asociada. Una forma cuadrática Q y su forma bilineal simétrica asociada B están relacionadas mediante las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&=B(x,x)\\B(x,y)&=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}[Q(x+y)-Q(x)-Q(y)]~.\end{aligned}}}$

Esta última fórmula surge de ampliar ${\displaystyle \;Q(x+y)=B(x+y,x+y)~.}$

Ejemplos

Como ejemplo, consideremos , y consideremos la forma cuadrática ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}}$

donde y c ₁ y c ₂ son constantes. Si c ₁ > 0 y c ₂ > 0 , la forma cuadrática Q es definida positiva, por lo que Q se evalúa como un número positivo siempre que Si una de las constantes es positiva y la otra es 0, entonces Q es semidefinida positiva y siempre se evalúa como ya sea 0 o un número positivo. Si c ₁ > 0 y c ₂ < 0, o viceversa, entonces Q es indefinido y a veces se evalúa como un número positivo y otras veces como un número negativo. Si c ₁ < 0 y c ₂ < 0 , la forma cuadrática es definida negativa y siempre se evalúa como un número negativo siempre que Y si una de las constantes es negativa y la otra es 0, entonces Q es semidefinida negativa y siempre se evalúa como cualquiera 0 o un número negativo. ${\displaystyle ~x=[x_{1},x_{2}]\in V}$ ${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$ ${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$

En general, una forma cuadrática en dos variables también implicará un término de producto cruzado en x ₁ · x ₂ :

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}+2c_{3}x_{1}x_{2}~.}$

Esta forma cuadrática es positiva-definida si y negativa-definida si y y indefinida si Es positiva o negativa semidefinida si con el signo de la semidefinición coincidiendo con el signo de ${\displaystyle \;c_{1}>0\;}$ ${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$ ${\displaystyle \;c_{1}<0\;}$ ${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$ ${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}<0~.}$ ${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0\;,}$ ${\displaystyle \;c_{1}~.}$

Esta forma cuadrática bivariada aparece en el contexto de secciones cónicas centradas en el origen. Si la forma cuadrática general anterior se equipara a 0, la ecuación resultante es la de una elipse si la forma cuadrática es positiva o negativa definida, una hipérbola si es indefinida y una parábola si ${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0~.}$

El cuadrado de la norma euclidiana en un espacio de n dimensiones, la medida de distancia más utilizada, es

${\displaystyle {x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}~.}$

En dos dimensiones, esto significa que la distancia entre dos puntos es la raíz cuadrada de la suma de las distancias al cuadrado a lo largo del eje y el eje. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

forma matricial

Una forma cuadrática se puede escribir en términos de matrices como

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x}$

donde x es cualquier vector cartesiano n ×1 en el que al menos un elemento no es 0; A es una matriz simétrica de n × n ; y el superíndice ^T denota una transpuesta de matriz . Si A es diagonal, esto equivale a una forma no matricial que contiene únicamente términos que involucran variables al cuadrado; pero si A tiene elementos fuera de la diagonal distintos de cero, la forma no matricial también contendrá algunos términos que involucran productos de dos variables diferentes. ${\displaystyle \;[x_{1},\cdots ,x_{n}]^{\mathsf {T}}\;}$

La definición positiva o negativa, la semidefinición o la indefinición de esta forma cuadrática es equivalente a la misma propiedad de A , que puede verificarse considerando todos los valores propios de A o verificando los signos de todos sus menores principales .

Mejoramiento

Las formas cuadráticas definidas se prestan fácilmente a problemas de optimización . Supongamos que la forma cuadrática de la matriz se aumenta con términos lineales, como

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x+b^{\mathsf {T}}x\;,}$

donde b es un vector de constantes n ×1. Las condiciones de primer orden para un máximo o un mínimo se encuentran estableciendo la derivada de la matriz en el vector cero:

${\displaystyle 2A\,x+b={\vec {0}}\;,}$

donación

${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{2}}\,A^{-1}b\;,}$

suponiendo que A es no singular . Si la forma cuadrática, y por tanto A , es definida positiva, en este punto se cumplen las condiciones de segundo orden para un mínimo. Si la forma cuadrática es definida negativa, se cumplen las condiciones de segundo orden para un máximo.

Un ejemplo importante de dicha optimización surge en la regresión múltiple , en la que se busca un vector de parámetros estimados que minimice la suma de las desviaciones al cuadrado de un ajuste perfecto dentro del conjunto de datos.

Ver también

• Forma cuadrática isotrópica
• Función definida positiva
• Matriz definida positiva
• Identidad de polarización

Notas

1. Milnor y Husemoller 1973, pág. 61.
2. Esto es cierto solo en un campo de característica distinta de 2, pero aquí solo consideramos campos ordenados , que necesariamente tienen la característica 0.

Referencias

• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmética de formas cuadráticas . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 106. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-40475-4. Zbl  0785.11021.
• Lang, Serge (2004), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (Cuarta impresión corregida, tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, p. 578, ISBN 978-0-387-95385-4.
• Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol. 73. Saltador. ISBN 3-540-06009-X. Zbl  0292.10016.