Aritmética de segundo orden

sistema matematico

En lógica matemática , la aritmética de segundo orden es una colección de sistemas axiomáticos que formalizan los números naturales y sus subconjuntos . Es una alternativa a la teoría de conjuntos axiomática como base para gran parte de las matemáticas, pero no para todas.

David Hilbert y Paul Bernays introdujeron un precursor de la aritmética de segundo orden que involucra parámetros de tercer orden en su libro Grundlagen der Mathematik . ^[1] La axiomatización estándar de la aritmética de segundo orden se denota por Z ₂ .

La aritmética de segundo orden incluye, pero es significativamente más potente, su contraparte de primer orden, la aritmética de Peano . A diferencia de la aritmética de Peano, la aritmética de segundo orden permite la cuantificación de conjuntos de números naturales, así como de los números mismos. Debido a que los números reales se pueden representar como conjuntos ( infinitos ) de números naturales de formas bien conocidas, y debido a que la aritmética de segundo orden permite la cuantificación de tales conjuntos, es posible formalizar los números reales en aritmética de segundo orden. Por esta razón, a la aritmética de segundo orden a veces se le llama " análisis ". ^[2]

La aritmética de segundo orden también puede verse como una versión débil de la teoría de conjuntos en la que cada elemento es un número natural o un conjunto de números naturales. Aunque es mucho más débil que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la aritmética de segundo orden puede demostrar esencialmente todos los resultados de las matemáticas clásicas expresables en su lenguaje.

Un subsistema de aritmética de segundo orden es una teoría en el lenguaje de la aritmética de segundo orden, cada axioma del cual es un teorema de la aritmética de segundo orden completa (Z ₂ ). Dichos subsistemas son esenciales para invertir las matemáticas , un programa de investigación que investiga qué parte de las matemáticas clásicas se puede derivar de ciertos subsistemas débiles de diferente fortaleza. Gran parte de las matemáticas básicas se pueden formalizar en estos subsistemas débiles, algunos de los cuales se definen a continuación. Las matemáticas inversas también aclaran hasta qué punto y de qué manera las matemáticas clásicas son no constructivas .

Definición

Sintaxis

El lenguaje de la aritmética de segundo orden es de doble orden . El primer tipo de términos y, en particular , de variables , generalmente indicados con letras minúsculas, está formado por individuos , cuya interpretación prevista es como números naturales. El otro tipo de variables, denominadas "variables de conjunto", "variables de clase" o incluso "predicados", normalmente se indican con letras mayúsculas. Se refieren a clases/predicados/propiedades de individuos y, por lo tanto, pueden considerarse conjuntos de números naturales. Tanto los individuos como las variables establecidas pueden cuantificarse universal o existencialmente . Una fórmula sin variables establecidas ligadas (es decir, sin cuantificadores sobre variables establecidas) se llama aritmética . Una fórmula aritmética puede tener variables de conjunto libre y variables individuales ligadas.

Los términos individuales se forman a partir de la constante 0, la función unaria S (la función sucesora ) y las operaciones binarias + y (suma y multiplicación). La función sucesora suma 1 a su entrada. Las relaciones = (igualdad) y < (comparación de números naturales) relacionan a dos individuos, mientras que la relación ∈ (pertenencia) relaciona a un individuo y un conjunto (o clase). Así, en notación, el lenguaje de la aritmética de segundo orden viene dado por la firma . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{0,S,+,\cdot ,=,<,\in \}}$

Por ejemplo, , es una fórmula bien formada de aritmética de segundo orden que es aritmética, tiene una variable de conjunto libre X y una variable individual ligada n (pero no variables de conjunto ligadas, como se requiere de una fórmula aritmética), mientras que es una Fórmula bien formada que no es aritmética, que tiene una variable establecida ligada X y una variable individual ligada n . ${\displaystyle \forall n(n\in X\rightarrow Sn\in X)}$ ${\displaystyle \exists X\forall n(n\in X\leftrightarrow n<SSSSSS0\cdot SSSSSSS0)}$

Semántica

Son posibles varias interpretaciones diferentes de los cuantificadores. Si se estudia la aritmética de segundo orden utilizando la semántica completa de la lógica de segundo orden , entonces los cuantificadores de conjuntos abarcan todos los subconjuntos del rango de las variables individuales. Si la aritmética de segundo orden se formaliza utilizando la semántica de la lógica de primer orden ( semántica de Henkin ), entonces cualquier modelo incluye un dominio para que las variables del conjunto se extiendan, y este dominio puede ser un subconjunto adecuado del conjunto de poderes completo del dominio de las variables individuales. variables. ^[3]

Axiomas

Básico

Los siguientes axiomas se conocen como axiomas básicos o, a veces, axiomas de Robinson. La teoría de primer orden resultante , conocida como aritmética de Robinson , es esencialmente aritmética de Peano sin inducción. El dominio del discurso para las variables cuantificadas son los números naturales , denotados colectivamente por N , e incluido el miembro distinguido , llamado " cero ". ${\displaystyle 0}$

Las funciones primitivas son la función sucesora unaria , indicada por el prefijo , y dos operaciones binarias , suma y multiplicación , indicadas por el operador infijo "+" y " ", respectivamente. También existe una relación binaria primitiva llamada orden , denotada por el operador infijo "<". ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \cdot }$

Axiomas que rigen la función sucesora y el cero :

1. ("el sucesor de un número natural nunca es cero") ${\displaystyle \forall m[Sm=0\rightarrow \bot ].}$

2. ("la función sucesora es inyectiva ") ${\displaystyle \forall m\forall n[Sm=Sn\rightarrow m=n].}$

3. ("todo número natural es cero o sucesor") ${\displaystyle \forall n[0=n\lor \exists m[Sm=n]].}$

Suma definida recursivamente :

4. ${\displaystyle \forall m[m+0=m].}$

5. ${\displaystyle \forall m\forall n[m+Sn=S(m+n)].}$

Multiplicación definida recursivamente:

6. ${\displaystyle \forall m[m\cdot 0=0].}$

7. ${\displaystyle \forall m\forall n[m\cdot Sn=(m\cdot n)+m].}$

Axiomas que rigen la relación de orden "<":

8. ("ningún número natural es menor que cero") ${\displaystyle \forall m[m<0\rightarrow \bot ].}$

9. ${\displaystyle \forall n\forall m[m<Sn\leftrightarrow (m<n\lor m=n)].}$

10. ("todo número natural es cero o mayor que cero") ${\displaystyle \forall n[0=n\lor 0<n].}$

11. ${\displaystyle \forall m\forall n[(Sm<n\lor Sm=n)\leftrightarrow m<n].}$

Todos estos axiomas son enunciados de primer orden . Es decir, todas las variables abarcan los números naturales y no sus conjuntos , un hecho incluso más fuerte que el de que sean aritméticos. Además, solo hay un cuantificador existencial , en el axioma 3. Los axiomas 1 y 2, junto con un esquema de axioma de inducción, constituyen la definición habitual de N de Peano-Dedekind . Agregar a estos axiomas cualquier tipo de esquema de axioma de inducción hace redundantes los axiomas 3, 10 y 11.

Esquema de inducción y comprensión.

Si φ ( n ) es una fórmula de aritmética de segundo orden con una variable individual libre n y posiblemente otras variables individuales o de conjunto libres (escritas m ₁ ,..., m _k y X ₁ ,..., X _l ), el axioma de inducción para φ es el axioma:

${\displaystyle \forall m_{1}\dots m_{k}\forall X_{1}\dots X_{l}((\varphi (0)\land \forall n(\varphi (n)\rightarrow \varphi (Sn)))\rightarrow \forall n\varphi (n))}$

El esquema de inducción de segundo orden ( completo ) consta de todos los casos de este axioma, sobre todas las fórmulas de segundo orden.

Un ejemplo particularmente importante del esquema de inducción es cuando φ es la fórmula " " que expresa el hecho de que n es miembro de X ( siendo X una variable de conjunto libre): en este caso, el axioma de inducción para φ es ${\displaystyle n\in X}$

${\displaystyle \forall X((0\in X\land \forall n(n\in X\rightarrow Sn\in X))\rightarrow \forall n(n\in X))}$

Esta oración se llama axioma de inducción de segundo orden .

Si φ ( n ) es una fórmula con una variable libre n y posiblemente otras variables libres, pero no la variable Z , el axioma de comprensión para φ es la fórmula

${\displaystyle \exists Z\forall n(n\in Z\leftrightarrow \varphi (n))}$

Este axioma permite formar el conjunto de números naturales que satisfacen φ ( n ). Existe una restricción técnica de que la fórmula φ no puede contener la variable Z , ya que de lo contrario la fórmula llevaría al axioma de comprensión. ${\displaystyle Z=\{n|\varphi (n)\}}$ ${\displaystyle n\not \in Z}$

${\displaystyle \exists Z\forall n(n\in Z\leftrightarrow n\not \in Z)}$,

lo cual es inconsistente. Esta convención se asume en el resto de este artículo.

El sistema completo

La teoría formal de la aritmética de segundo orden (en el lenguaje de la aritmética de segundo orden) consta de los axiomas básicos, el axioma de comprensión para cada fórmula φ (aritmética o no) y el axioma de inducción de segundo orden. Esta teoría a veces se denomina aritmética completa de segundo orden para distinguirla de sus subsistemas, que se definen a continuación. Debido a que la semántica completa de segundo orden implica que existe todo conjunto posible, los axiomas de comprensión pueden considerarse parte del sistema deductivo cuando se emplea la semántica completa de segundo orden. ^[3]

Modelos

Esta sección describe la aritmética de segundo orden con semántica de primer orden. Así, un modelo del lenguaje de la aritmética de segundo orden consta de un conjunto M (que forma el rango de variables individuales) junto con una constante 0 (un elemento de M ), una función S de M a M , dos operaciones binarias + y · en M , una relación binaria < en M , y una colección D de subconjuntos de M , que es el rango de las variables del conjunto. Omitir D produce un modelo del lenguaje de la aritmética de primer orden. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Cuando D es el conjunto de potencias total de M , el modelo se denomina modelo completo . El uso de semántica completa de segundo orden equivale a limitar los modelos de aritmética de segundo orden a los modelos completos. De hecho, los axiomas de la aritmética de segundo orden tienen sólo un modelo completo. Esto se desprende del hecho de que los axiomas de Peano con el axioma de inducción de segundo orden tienen sólo un modelo en la semántica de segundo orden. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Funciones definibles

Las funciones de primer orden que son demostrablemente totales en aritmética de segundo orden son precisamente las mismas que las representables en el sistema F. ^[4] Casi de manera equivalente, el sistema F es la teoría de funcionales correspondiente a la aritmética de segundo orden de una manera paralela a cómo el sistema T de Gödel corresponde a la aritmética de primer orden en la interpretación de Dialectica .

Más tipos de modelos

Cuando un modelo del lenguaje de la aritmética de segundo orden tiene ciertas propiedades, también se le puede llamar con estos otros nombres:

• Cuando M es el conjunto habitual de números naturales con sus operaciones habituales, se denomina modelo ω . En este caso, el modelo puede identificarse con D , su colección de conjuntos de naturales, porque este conjunto es suficiente para determinar completamente un modelo ω. El modelo completo único, que es el conjunto habitual de números naturales con su estructura habitual y todos sus subconjuntos, se denomina modelo previsto o estándar de aritmética de segundo orden. ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \omega }$
• Un modelo del lenguaje de la aritmética de segundo orden se llama modelo β si , es decir, las declaraciones Σ 1 1 con parámetros que satisfacen son las mismas que las que satisface el modelo completo. ^[6] Algunas nociones que son absolutas con respecto a los modelos β incluyen " codifica un buen orden " ^[7] y " es un árbol ". ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\prec _{1}^{1}{\mathcal {P}}(\omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A\subseteq \omega \times \omega }$ ${\displaystyle A\subseteq \omega \times \omega }$
• El resultado anterior se ha extendido al concepto de modelo βn para , que tiene la misma definición que el anterior excepto que se reemplaza por , es decir, _se reemplaza por . ^[6] Usando esta definición, los modelos β ₀ son lo mismo que los modelos ω. ^[8] ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \prec _{1}^{1}}$ ${\displaystyle \prec _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$

Subsistemas

Hay muchos subsistemas de aritmética de segundo orden con nombre.

Un subíndice 0 en el nombre de un subsistema indica que incluye sólo una porción restringida del esquema completo de inducción de segundo orden. ^[9] Tal restricción reduce significativamente la fuerza de la teoría de prueba del sistema. Por ejemplo, el sistema ACA ₀ que se describe a continuación es equiconsistente con la aritmética de Peano . La teoría correspondiente ACA, que consta de ACA ₀ más el esquema de inducción de segundo orden completo, es más fuerte que la aritmética de Peano.

Comprensión aritmética

Muchos de los subsistemas bien estudiados están relacionados con las propiedades de cierre de los modelos. Por ejemplo, se puede demostrar que todo modelo ω de aritmética completa de segundo orden está cerrado bajo el salto de Turing , pero no todo modelo ω cerrado bajo el salto de Turing es un modelo de aritmética completa de segundo orden. El subsistema ACA ₀ incluye suficientes axiomas para capturar la noción de cierre bajo el salto de Turing.

ACA ₀ se define como la teoría que consta de los axiomas básicos, el esquema del axioma de comprensión aritmética (en otras palabras, el axioma de comprensión para cada fórmula aritmética φ ) y el axioma de inducción ordinario de segundo orden. Sería equivalente incluir también todo el esquema del axioma de inducción aritmética, es decir, incluir el axioma de inducción para cada fórmula aritmética φ .

Se puede demostrar que una colección S de subconjuntos de ω determina un modelo ω de ACA ₀ si y solo si S está cerrado bajo el salto de Turing, la reducibilidad de Turing y la unión de Turing. ^[10]

El subíndice 0 en ACA ₀ indica que no todas las instancias del esquema del axioma de inducción están incluidas en este subsistema. Esto no supone ninguna diferencia para los modelos ω, que satisfacen automáticamente todos los casos del axioma de inducción. Sin embargo, es importante en el estudio de modelos que no son ω. El sistema que consta de ACA ₀ más inducción para todas las fórmulas a veces se denomina ACA sin subíndice.

El sistema ACA ₀ es una extensión conservadora de la aritmética de primer orden (o axiomas de Peano de primer orden), definida como los axiomas básicos, más el esquema del axioma de inducción de primer orden (para todas las fórmulas φ que no involucran ninguna variable de clase, ligadas o de lo contrario), en el lenguaje de la aritmética de primer orden (que no permite variables de clase en absoluto). En particular, tiene el mismo ordinal de teoría de prueba ε 0 que la aritmética de primer orden, debido al esquema de inducción limitado.

La jerarquía aritmética de las fórmulas.

Una fórmula se llama aritmética acotada , o Δ ⁰ ₀ , cuando todos sus cuantificadores son de la forma ∀ n < t o ∃ n < t (donde n es la variable individual que se cuantifica y t es un término individual), donde

${\displaystyle \forall n<t(\cdots )}$

representa

${\displaystyle \forall n(n<t\rightarrow \cdots )}$

y

${\displaystyle \exists n<t(\cdots )}$

representa

${\displaystyle \exists n(n<t\land \cdots )}$.

Una fórmula se llama Σ ⁰ ₁ (o a veces Σ ₁ ), respectivamente Π ⁰ ₁ (o a veces Π ₁ ) cuando tiene la forma ∃ mφ , respectivamente ∀ metroφ donde φ es una fórmula aritmética acotada y m es una variable individual (que es libre en φ ). De manera más general, una fórmula se denomina Σ ⁰ _n , respectivamente Π ⁰ _n cuando se obtiene sumando cuantificadores individuales existenciales, respectivamente universales, a una fórmula Π ⁰ _{n −1} , respectivamente Σ ⁰ _{n −1} (y Σ ⁰ ₀ y Π ⁰ ₀ son ambos iguales a Δ ⁰ ₀ ). Por construcción, todas estas fórmulas son aritméticas (nunca se vinculan variables de clase) y, de hecho, al poner la fórmula en forma de prenexo de Skolem se puede ver que cada fórmula aritmética es lógicamente equivalente a una fórmula Σ ⁰ _n o Π ⁰ _n para todo lo suficientemente grande n .

Comprensión recursiva

El subsistema RCA ₀ es un sistema más débil que ACA ₀ y se utiliza a menudo como sistema base en matemáticas inversas . Consta de: los axiomas básicos, el esquema de inducción Σ ⁰ ₁ y el esquema de comprensión Δ ⁰ ₁ . El primer término es claro: el esquema de inducción Σ ⁰ ₁ es el axioma de inducción para toda fórmula Σ ⁰ ₁ φ . El término "comprensión Δ ⁰ ₁ " es más complejo, porque no existe una fórmula Δ ⁰ ₁ . En cambio, el esquema de comprensión Δ ⁰ ₁ afirma el axioma de comprensión para cada fórmula Σ ⁰ ₁ que es lógicamente equivalente a una fórmula Π ⁰ ₁ . Este esquema incluye, para cada fórmula Σ ⁰ ₁ φ y cada fórmula Π ⁰ ₁ ψ , el axioma:

${\displaystyle \forall m\forall X((\forall n(\varphi (n)\leftrightarrow \psi (n)))\rightarrow \exists Z\forall n(n\in Z\leftrightarrow \varphi (n)))}$

El conjunto de consecuencias de primer orden de RCA ₀ es el mismo que el del subsistema IΣ ₁ de la aritmética de Peano en el que la inducción está restringida a fórmulas Σ ⁰ ₁ . A su vez, IΣ ₁ es conservador sobre la aritmética recursiva primitiva (PRA) para oraciones. Además, el ordinal de la teoría de la prueba es ω ^ω , el mismo que el de PRA. ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {RCA} _{0}}$

Se puede ver que una colección S de subconjuntos de ω determina un modelo ω de RCA ₀ si y sólo si S está cerrado bajo la reducibilidad de Turing y la unión de Turing. En particular, la colección de todos los subconjuntos computables de ω da un modelo ω de RCA ₀ . Esta es la motivación detrás del nombre de este sistema: si se puede demostrar que existe un conjunto usando RCA ₀ , entonces el conjunto es recursivo (es decir, computable).

Sistemas más débiles

A veces se desea un sistema incluso más débil que RCA ₀ . Uno de esos sistemas se define de la siguiente manera: primero hay que aumentar el lenguaje de la aritmética con un símbolo de función exponencial (en sistemas más fuertes, la exponencial se puede definir en términos de suma y multiplicación mediante el truco habitual, pero cuando el sistema se vuelve demasiado débil, esto es ya no es posible) y los axiomas básicos por los axiomas obvios que definen la exponenciación inductivamente a partir de la multiplicación; entonces el sistema consta de los axiomas básicos (enriquecidos), más Δ ⁰ ₁ comprensión, más Δ ⁰ ₀ inducción.

Sistemas más fuertes

Sobre ACA ₀ , cada fórmula de aritmética de segundo orden es equivalente a una fórmula Σ ¹ _n o Π ¹ _n para todos los n suficientemente grandes . El sistema Π ¹ ₁ -comprensión es el sistema que consta de los axiomas básicos, más el axioma de inducción ordinario de segundo orden y el axioma de comprensión para cada ( negrita ^[11] ) Π ¹ ₁ fórmula φ . Esto es equivalente a Σ ¹ ₁ -comprensión (por otro lado, Δ ¹ ₁ -comprensión, definida de manera análoga a Δ ⁰ ₁ -comprensión, es más débil).

Determinación proyectiva

La determinación proyectiva es la afirmación de que cada juego de información perfecta de dos jugadores con movimientos que son números naturales, duración del juego ω y conjunto de pagos proyectivos está determinado, es decir, uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora. (El primer jugador gana el juego si la jugada pertenece al conjunto de pagos; en caso contrario, gana el segundo jugador). Un conjunto es proyectivo si y sólo si (como predicado) es expresable mediante una fórmula en el lenguaje de segundo orden. aritmética, permitiendo números reales como parámetros, por lo que la determinación proyectiva es expresable como un esquema en el lenguaje de Z ₂ .

Muchas proposiciones naturales expresables en el lenguaje de la aritmética de segundo orden son independientes de Z ₂ e incluso de ZFC , pero se pueden demostrar a partir de la determinación proyectiva. Los ejemplos incluyen la propiedad coanalítica del subconjunto perfecto , la mensurabilidad y la propiedad de Baire para conjuntos, uniformización , etc. Sobre una teoría de base débil (como RCA ₀ ), la determinación proyectiva implica comprensión y proporciona una teoría esencialmente completa de la aritmética de segundo orden: enunciados naturales. en el lenguaje de Z ₂ que sean independientes de Z ₂ con determinación proyectiva son difíciles de encontrar. ^[12] ${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{3}^{1}}$

ZFC + {hay n cardinales de Woodin : n es un número natural} es conservador sobre Z ₂ con determinación proyectiva ^{[ cita necesaria ]} , es decir, una afirmación en el lenguaje de la aritmética de segundo orden se puede demostrar en Z ₂ con determinación proyectiva si y sólo si su traducción al lenguaje de la teoría de conjuntos es demostrable en ZFC + {hay n cardinales de Woodin: n ∈N}.

Codificación de matemáticas

La aritmética de segundo orden formaliza directamente los números naturales y los conjuntos de números naturales. Sin embargo, es capaz de formalizar otros objetos matemáticos indirectamente mediante técnicas de codificación, un hecho que fue observado por primera vez por Weyl . ^[13] Los números enteros , racionales y reales pueden formalizarse en el subsistema RCA ₀ , junto con espacios métricos separables completos y funciones continuas entre ellos. ^[14]

El programa de investigación de matemáticas inversas utiliza estas formalizaciones de las matemáticas en aritmética de segundo orden para estudiar los axiomas de existencia de conjuntos necesarios para demostrar teoremas matemáticos. ^[15] Por ejemplo, el teorema del valor intermedio para funciones de reales a reales se puede demostrar en RCA ₀ , ^[16] mientras que el teorema de Bolzano - Weierstrass es equivalente a ACA ₀ sobre RCA ₀ . ^[17]

La codificación antes mencionada funciona bien para funciones continuas y totales, asumiendo una teoría base de orden superior más un lema de Kőnig débil . ^[18] Como quizás se esperaba, en el caso de la topología , la codificación no está exenta de problemas. ^[19]

Ver también

• Teorema de París-Harrington
• aritmética de presburger
• verdadera aritmética

Referencias

1. Hilbert, D .; Bernays, P. (1934). Grundlagen der Mathematik . Springer-Verlag. SEÑOR  0237246.
2. Sieg, W. (2013). Los programas de Hilbert y más allá. Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 291.ISBN​ 978-0-19-970715-7.
3. Shapiro, Stewart (1991). Fundamentos sin fundacionalismo: un caso a favor de la lógica de segundo orden . Guías de lógica de Oxford. vol. 17. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York. págs. 66, 74-75. ISBN 0-19-853391-8. SEÑOR  1143781.
4. Girard, Jean-Yves (1987). Pruebas y tipos. Traducido por Taylor, Paul. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 122-123. ISBN 0-521-37181-3.
5. Simpson, SG (2009). Subsistemas de Aritmética de Segundo Orden . Perspectivas en lógica (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 3–4. ISBN 978-0-521-88439-6. SEÑOR  2517689.
6. Marek, W. (1974-1975). "Conjuntos estables, una caracterización de modelos β2 de aritmética completa de segundo orden y algunos hechos relacionados". Fundamentos Mathematicae . 82 : 175–189. doi : 10.4064/fm-82-2-175-189 . SEÑOR  0373897.
7. Marek, W. (1978). "ω-modelos de aritmética de segundo orden y conjuntos admisibles". Fundamentos Mathematicae . 98 (2): 103–120. doi : 10.4064/fm-98-2-103-120 . SEÑOR  0476490.
8. Marek, W. (1973). "Observaciones sobre extensiones elementales de modelos ω . II". La revista de lógica simbólica . 38 : 227–231. doi :10.2307/2272059. JSTOR  2272059. SEÑOR  0337612.
9. Friedman, H. (1976). "Sistemas de aritmética de segundo orden con inducción restringida, I, II". Reunión de la Asociación de Lógica Simbólica. Revista de lógica simbólica (resúmenes). 41 : 557–559. JSTOR  2272259.
10. Simpson 2009, págs. 311–313.
11. Welch, PD (2011). "Sistemas débiles de determinabilidad y definiciones aritméticas cuasi-inductivas" (PDF) . La revista de lógica simbólica . 76 (2): 418–436. doi :10.2178/jsl/1305810756. SEÑOR  2830409.
12. Woodin, WH (2001). "La hipótesis del continuo, parte I". Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 48 (6).
13. Simpson 2009, pag. dieciséis.
14. Simpson 2009, Capítulo II.
15. Simpson 2009, pag. 32.
16. Simpson 2009, pag. 87.
17. Simpson 2009, pag. 34.
18. Kohlenbach, Ulrich (2002). "Usos fundamentales y matemáticos de tipos superiores". Reflexiones sobre los fundamentos de las matemáticas: ensayos en honor a Solomon Feferman, artículos del simposio celebrado en la Universidad de Stanford, Stanford, CA, 11 al 13 de diciembre de 1998 . Apuntes de conferencias sobre lógica. vol. 15. Urbana, Illinois: Asociación de Lógica Simbólica. págs. 92-116. ISBN 1-56881-169-1. SEÑOR  1943304.
19. Cazador, James (2008). Topología inversa de orden superior (PDF) (Tesis doctoral). Universidad de Madison-Wisconsin.

Otras lecturas

• Burgess, JP (2005). Arreglando a Frege . Prensa de la Universidad de Princeton.
• Buss, SR (1998). Manual de teoría de la prueba . Elsevier. ISBN 0-444-89840-9.
• Takeuti, G. (1975). Teoría de la prueba . ISBN 0-444-10492-5.