Sectrix de Maclaurin

Curva trazada por el cruce de dos líneas que giran alrededor de polos

Sectrix de Maclaurin: ejemplo con q ₀ = PI /2 y K = 3

En geometría , una sectrix de Maclaurin se define como la curva barrida por el punto de intersección de dos líneas que giran cada una a una velocidad constante alrededor de diferentes puntos llamados polos . De manera equivalente, una sectrix de Maclaurin se puede definir como una curva cuya ecuación en coordenadas biangulares es lineal. El nombre se deriva de la trisectriz de Maclaurin (nombrada por Colin Maclaurin ), que es un miembro destacado de la familia, y su propiedad sectrix , lo que significa que se pueden usar para dividir un ángulo en un número dado de partes iguales. Hay casos especiales conocidos como arácnidos o araneidans debido a su forma de araña , y curvas de Plateau en honor a Joseph Plateau, quien las estudió.

Ecuaciones en coordenadas polares

Nos dan dos líneas que giran alrededor de dos polos y . Por traslación y rotación podemos suponer que y . En el momento , la línea que gira alrededor tiene un ángulo y la línea que gira alrededor tiene un ángulo , donde , y son constantes. Eliminamos para obtener donde y . Suponemos que es racional, de lo contrario la curva no es algebraica y es densa en el plano. Sea el punto de intersección de las dos líneas y sea el ángulo en , por lo que . Si es la distancia desde hasta entonces, por la ley de los senos , ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P=(0,0)}$ ${\displaystyle P_{1}=(a,0)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \theta =\kappa t+\alpha }$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \theta _{1}=\kappa _{1}t+\alpha _{1}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta _{1}=q\theta +\theta _{0}}$ ${\displaystyle q=\kappa _{1}/\kappa }$ ${\displaystyle \theta _{0}=\alpha _{1}-q\alpha }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \psi =\theta _{1}-\theta }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {r \over \sin \theta _{1}}={a \over \sin \psi }\!}$

entonces

${\displaystyle r=a{\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \psi }}=a{\frac {\sin[q\theta +\theta _{0}]}{\sin[(q-1)\theta +\theta _{0}]}}\!}$

es la ecuación en coordenadas polares.

El caso y donde es un entero mayor que 2 da curvas arácnidas o araneidan ${\displaystyle \theta _{0}=0}$ ${\displaystyle q=n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin n\theta }{\sin(n-1)\theta }}\!}$

El caso y donde es un número entero mayor que 1 da formas alternativas de curvas arácnidas o araneidan ${\displaystyle \theta _{0}=0}$ ${\displaystyle q=-n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin n\theta }{\sin(n+1)\theta }}\!}$

Una derivación similar a la anterior da

${\displaystyle r_{1}=(-a){\frac {\sin[(1/q)\theta _{1}-\theta _{0}/q]}{\sin[(1/q-1)\theta _{1}-\theta _{0}/q]}}\!}$

como la ecuación polar (en y ) si el origen se desplaza hacia la derecha en . Nótese que esta es la ecuación anterior con un cambio de parámetros; esto es de esperarse del hecho de que dos polos son intercambiables en la construcción de la curva. ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle a}$

Ecuaciones en el plano complejo, coordenadas rectangulares y trayectorias ortogonales

Sea donde y son números enteros y la fracción está en su mínima expresión. En la notación de la sección anterior, tenemos o . Si entonces , entonces la ecuación se convierte en o . Esto también se puede escribir ${\displaystyle q=m/n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta _{1}=q\theta +\theta _{0}}$ ${\displaystyle n\theta _{1}=m\theta +n\theta _{0}}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle \theta =\arg(z),\ \theta _{1}=\arg(z-a)}$ ${\displaystyle n\ \arg(z-a)=m\ \arg(z)+n\ \theta _{0}}$ ${\displaystyle m\ \arg(z)-n\ \arg(z-a)=\arg(z^{m}(z-a)^{-n})=const}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Re} (z^{m}(z-a)^{-n})}{\operatorname {Im} (z^{m}(z-a)^{-n})}}=const.}$

de la cual es relativamente sencillo derivar la ecuación cartesiana dados m y n. La función es analítica por lo que las trayectorias ortogonales de la familia son las curvas , o ${\displaystyle w=z^{m}(z-a)^{-n}}$ ${\displaystyle arg(w)=const.}$ ${\displaystyle |w|=const}$ ${\displaystyle {\frac {|z|^{m}}{|z-a|^{n}}}=const.}$

Ecuaciones paramétricas

Sean donde y son números enteros y donde es un parámetro. Luego, al convertir la ecuación polar anterior en ecuaciones paramétricas, se obtiene ${\displaystyle q=m/n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta =np}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle x=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\cos np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}},y=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\sin np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}\!}$.

La aplicación de la regla de adición de ángulos para el seno produce

${\displaystyle x=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\cos np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}=a+a{\frac {\cos[mp+\theta _{0}]\sin np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}={a \over 2}+{a \over 2}{\frac {\sin[(m+n)p+\theta _{0}]}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}\!}$.

Entonces, si el origen se desplaza hacia la derecha en a/2, las ecuaciones paramétricas son

${\displaystyle x={a \over 2}\cdot {\frac {\sin[(m+n)p+\theta _{0}]}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}},y=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\sin np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}\!}$.

Estas son las ecuaciones para las curvas Plateau cuando , o ${\displaystyle \theta _{0}=0}$

${\displaystyle x={a \over 2}{\frac {\sin(m+n)p}{\sin(m-n)p}},y=a{\frac {\sin mp\sin np}{\sin(m-n)p}}\!}$.

Tripletes inversos

La inversa respecto del círculo con radio a y centro en el origen de

${\displaystyle r=a{\frac {\sin[q\theta +\theta _{0}]}{\sin[(q-1)\theta +\theta _{0}]}}}$

es

${\displaystyle r=a{\frac {\sin[(q-1)\theta +\theta _{0}]}{\sin[q\theta +\theta _{0}]}}=a{\frac {\sin[(1-q)\theta -\theta _{0}]}{\sin[((1-q)-1)\theta -\theta _{0}]}}}$.

Esta es otra curva de la familia. La inversa con respecto al otro polo produce otra curva más en la misma familia y las dos inversas son a su vez inversas entre sí. Por lo tanto, cada curva de la familia es miembro de una terna, cada una de las cuales pertenece a la familia y es inversa de las otras dos. Los valores de q en esta familia son

${\displaystyle q,\ {\frac {1}{q}},\ 1-q,{\frac {1}{1-q}},\ {\frac {q-1}{q}},\ {\frac {q}{q-1}}}$.

Propiedades de Sectrix

Sea donde y son números enteros en su mínima expresión y suponga que es construible con compás y regla . (El valor de suele ser 0 en la práctica, por lo que normalmente no es un problema). Sea un ángulo dado y suponga que la sectrix de Maclaurin se ha dibujado con postes y de acuerdo con la construcción anterior. Construya un rayo a partir de un ángulo y sea el punto de intersección del rayo y la sectrix y dibuje . Si es el ángulo de esta línea, entonces ${\displaystyle q=m/n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \varphi +\theta _{0}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \varphi +\theta _{0}=\theta _{1}=q\theta +\theta _{0}}$

Entonces , al restar repetidamente y entre sí, como en el algoritmo de Euclides , se puede construir el ángulo. Por lo tanto, la curva es una m -sectriz, lo que significa que con la ayuda de la curva se puede dividir un ángulo arbitrario por cualquier número entero. Esta es una generalización del concepto de trisectriz y se encontrarán ejemplos de esto a continuación. ${\displaystyle \theta ={\frac {n\varphi }{m}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi /m}$

Ahora dibuja un rayo con un ángulo desde y sea el punto de intersección de este rayo con la curva. El ángulo de es ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q'}$ ${\displaystyle P'Q'}$

${\displaystyle \theta _{1}=q\theta +\theta _{0}=q\varphi +\theta _{0}}$

y restando da un ángulo de ${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle q\varphi ={\frac {m\varphi }{n}}}$.

Aplicando nuevamente el algoritmo euclidiano se obtiene un ángulo que muestra que la curva también es una n -sectriz. ${\displaystyle \varphi /n}$

Finalmente, dibuja un rayo desde con ángulo y un rayo desde con ángulo , y sea el punto de intersección. Este punto está en la mediatriz de por lo que hay un círculo con centro que contiene a y . por lo que cualquier punto en el círculo forma un ángulo de entre y . (Este es, de hecho, uno de los círculos apolíneos de P y P' .) Sea el punto de intersección de este círculo y la curva. Entonces , ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pi /2-\varphi -\theta _{0}}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle \pi /2+\varphi +\theta _{0}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle PP'}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle \angle PCP'=2(\varphi +\theta _{0})}$ ${\displaystyle \varphi +\theta _{0}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle Q''}$ ${\displaystyle \varphi +\theta _{0}=\angle PQ''P'=\psi =\theta _{1}-\theta =(q-1)\theta +\theta _{0}}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {(m-n)\theta }{n}},\ \theta ={\frac {n\varphi }{m-n}}}$.

Aplicando un algoritmo euclidiano una tercera vez se obtiene un ángulo de , lo que demuestra que la curva también es una sectriz ( m − n ). ${\displaystyle \varphi /(m-n)}$

Casos específicos

q= 0

Esta es la curva

${\displaystyle r=a{\frac {\sin \theta _{0}}{\sin(-\theta +\theta _{0})}}}$

que es una línea que pasa por . ${\displaystyle (a,0)}$

q= 1

Este es un círculo que contiene el origen y . Tiene ecuación polar ${\displaystyle (a,0)}$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(\theta +\theta _{0})}{\sin \theta _{0}}}}$.

Es la inversa respecto al origen del caso q = 0. Las trayectorias ortogonales de la familia de círculos es la familia Estos forman los círculos apolíneos con polos y . ${\displaystyle {\frac {|z-a|}{|z|}}=const.}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (a,0)}$

q= -1

Estas curvas tienen ecuación polar

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(-\theta +\theta _{0})}{\sin(-2\theta +\theta _{0})}}}$,

ecuación compleja En coordenadas rectangulares esto se convierte en que es una cónica. De la ecuación polar es evidente que la curva tiene asíntotas en y que están en ángulos rectos. Por lo tanto, las cónicas son, de hecho, hipérbolas rectangulares. El centro de la hipérbola es siempre . Las trayectorias ortogonales de esta familia están dadas por que es la familia de óvalos de Cassini con focos y . ${\displaystyle arg(z(z-a))=const.}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}-x=c(2xy-y)}$ ${\displaystyle \theta =\theta _{0}/2}$ ${\displaystyle \theta _{0}/2+\pi /2}$ ${\displaystyle (a/2,0)}$ ${\displaystyle |z||z-a|=c}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (a,0)}$

Trisectriz de Maclaurin

En el caso donde (o cambiando los polos) y , la ecuación es ${\displaystyle q=3}$ ${\displaystyle q=1/3}$ ${\displaystyle \theta _{0}=0}$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta )}$.

Esta es la trisectriz de Maclaurin , que es un caso específico cuya generalización es la sectriz de Maclaurin. La construcción anterior proporciona un método para utilizar esta curva como trisectriz.

Limaçon trisectriz y rosa

En el caso donde (o cambiando los polos) y , la ecuación es ${\displaystyle q=3/2}$ ${\displaystyle q=2/3}$ ${\displaystyle \theta _{0}=0}$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin {\tfrac {3}{2}}\theta }{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}=a(3\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta )=a(1+2\cos \theta )}$.

Esta es la trisectriz de Limaçon .

La ecuación cuyo origen se toma como el otro polo es la curva rosa que tiene la misma forma

${\displaystyle r=-a{\frac {\sin {\tfrac {2}{3}}\theta }{\sin -{\tfrac {1}{3}}\theta }}=2a\cos {\tfrac {1}{3}}\theta }$.

El 3 en el numerador de q y la construcción anterior proporcionan un método para utilizar la curva como trisectriz.

Referencias

• "Sectrice de Maclaurin" en la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (en francés)
• Weisstein, Eric W. "Arácnida". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Curvas de meseta". MundoMatemático .