Serie telescópica

Series cuyas sumas parciales eventualmente solo tienen un número fijo de plazos después de la cancelación

En matemáticas , una serie telescópica es una serie cuyo término general es de la forma , es decir, la diferencia de dos términos consecutivos de una secuencia . ^[1] ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}=a_{n+1}-a_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

En consecuencia, las sumas parciales sólo constan de dos plazos después de la cancelación. ^{[2] [3]} La técnica de cancelación, en la que parte de cada término se cancela con parte del siguiente término, se conoce como método de diferencias . ${\displaystyle (a_{n})}$

Por ejemplo, la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}$

(la serie de recíprocos de números pronicos ) se simplifica como

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}$

Una declaración temprana de la fórmula para la suma o sumas parciales de una serie telescópica se puede encontrar en una obra de 1644 de Evangelista Torricelli , De dimensione parabolae . ^[4]

En general

Una serie telescópica de poderes. Observe que en el signo de suma , el índice n va de 1 a m . No existe relación entre n y m más allá del hecho de que ambos son números naturales . ${\textstyle \sum }$

Las sumas telescópicas son sumas finitas en las que pares de términos consecutivos se cancelan entre sí, dejando solo los términos inicial y final. ^[5]

Sea una secuencia de números. Entonces, ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}}$

Si ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=-a_{0}}$

Los productos telescópicos son productos finitos en los que términos consecutivos cancelan el denominador con el numerador, dejando solo los términos inicial y final.

Sea una secuencia de números. Entonces, ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}}}$

Si ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 1}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}}$

Más ejemplos

• Muchas funciones trigonométricas también admiten representación como diferencia, lo que permite la cancelación telescópica entre los términos consecutivos.
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$$
• Algunas sumas de la forma
  $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}}$$
  donde f y g son funciones polinómicas cuyo cociente puede descomponerse en fracciones parciales , no admitirá la suma mediante este método. En particular, uno tiene
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}={}&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\={}&\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\={}&\infty .\end{aligned}}}$$
  El problema es que los términos no se cancelan.
• Sea k un número entero positivo. Entonces
  $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}}$$
  donde H _k es el késimo número armónico . Todos los términos después de 1/( k − 1) se cancelan.
• Sean k,m con k m números enteros positivos. Entonces ${\displaystyle \neq }$
  $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)(n+k+1)\dots (n+m-1)(n+m)}}={\frac {1}{m-k}}\cdot {\frac {k!}{m!}}}$$

Una aplicación en la teoría de la probabilidad.

En teoría de la probabilidad , un proceso de Poisson es un proceso estocástico cuyo caso más simple implica "ocurrencias" en momentos aleatorios, el tiempo de espera hasta la siguiente ocurrencia tiene una distribución exponencial sin memoria y el número de "ocurrencias" en cualquier intervalo de tiempo tiene una Distribución de Poisson cuyo valor esperado es proporcional a la duración del intervalo de tiempo. Sea Xt el número de "ocurrencias" antes del tiempo t , y sea Tx _{el tiempo} de espera hasta la x -ésima "ocurrencia". Buscamos la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria T _x . Usamos la función de masa de probabilidad para la distribución de Poisson, que nos dice que

${\displaystyle \Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}},}$

donde λ es el número promedio de ocurrencias en cualquier intervalo de tiempo de longitud 1. Observe que el evento { X _t ≥ x} es el mismo que el evento { T _x ≤ t } y, por lo tanto, tienen la misma probabilidad. Intuitivamente, si algo ocurre al menos veces antes de tiempo , tenemos que esperar como máximo a que ocurra. La función de densidad que buscamos es por lo tanto ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle xth}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}}\Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\right)\\\\&{}=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\right)\end{aligned}}}$

La suma se estrecha, dejando

${\displaystyle f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)!}}.}$

Conceptos similares

Serie telescópica

Un producto telescópico es un producto finito (o el producto parcial de un producto infinito) que puede cancelarse mediante el método de cocientes para convertirse finalmente en sólo un número finito de factores. ^{[6] [7]}

Por ejemplo, el producto infinito ^[6]

${\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

simplifica como

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)&=\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\prod _{n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\times \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {{\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\times \cdots \times {\frac {N-1}{N}}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{\frac {3}{2}}\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{4}}\times \cdots \times {\frac {N}{N-1}}\times {\frac {N+1}{N}}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{2}}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N}{N}}+{\frac {1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$

Otras aplicaciones

Para otras aplicaciones, consulte:

• la serie de Grandi ;
• Prueba de que la suma de los recíprocos de los números primos diverge , donde una de las pruebas utiliza una suma telescópica;
• Teorema fundamental del cálculo , un análogo continuo de las series telescópicas;
• Estadístico de orden , donde se produce una suma telescópica en la derivación de una función de densidad de probabilidad;
• Teorema del punto fijo de Lefschetz , donde surge una suma telescópica en topología algebraica ;
• Teoría de la homología , nuevamente en topología algebraica;
• Estafa de Eilenberg-Mazur , donde se produce una suma telescópica de nudos;
• Algoritmo de Faddeev-LeVerrier .

Referencias

1. Apóstol, Tom (1967). Cálculo, Volumen 1 (Segunda ed.). John Wiley e hijos. pag. 386.
2. Tom M. Apostol , Cálculo, Volumen 1, Blaisdell Publishing Company, 1962, páginas 422–3
3. Brian S. Thomson y Andrew M. Bruckner, Análisis real elemental, segunda edición , CreateSpace, 2008, página 85
4. Weil, André (1989). "Prehistoria de la función zeta". En Aubert, Karl Egil ; Bombieri, Enrico ; Goldfeld, Dorian (eds.). Teoría de números, fórmulas de trazas y grupos discretos: simposio en honor a Atle Selberg, Oslo, Noruega, 14 al 21 de julio de 1987 . Boston, Massachusetts: Prensa académica. págs. 1–9. doi :10.1016/B978-0-12-067570-8.50009-3. SEÑOR  0993308.
5. Weisstein, Eric W. "Suma telescópica". MundoMatemático . Wolframio.
6. "Serie telescópica - Producto". Wiki brillante de matemáticas y ciencias . Brillante.org . Consultado el 9 de febrero de 2020 .
7. Bogomolny, Alejandro. "Telescopio de sumas, series y productos". Cortar el nudo . Consultado el 9 de febrero de 2020 .