Símbolo de Hilbert

En matemáticas , el símbolo de Hilbert o símbolo de residuo de norma es una función (–, –) de K ^× × K ^× al grupo de n- ésimas raíces de la unidad en un campo local K , como los campos de números reales o p-ádicos. . Está relacionado con las leyes de reciprocidad y puede definirse en términos del símbolo de Artin de la teoría de campos de clases locales . El símbolo de Hilbert fue introducido por David Hilbert  (1897, secciones 64, 131, 1998, traducción al inglés) en su Zahlbericht , con la ligera diferencia de que lo definió para elementos de campos globales en lugar de para campos locales más grandes.

El símbolo de Hilbert se ha generalizado a campos locales superiores .

Símbolo de Hilbert cuadrático

Sobre un campo local K cuyo grupo multiplicativo de elementos distintos de cero es K ^× , el símbolo cuadrático de Hilbert es la función (–, –) de K ^× × K ^× a {−1,1} definida por

${\displaystyle (a,b)={\begin{cases}+1,&{\mbox{ if }}z^{2}=ax^{2}+by^{2}{\mbox{ has a non-zero solution }}(x,y,z)\in K^{3};\\-1,&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

De manera equivalente, si y solo si es igual a la norma de un elemento de la extensión cuadrática ^{[1] página 110} . ${\displaystyle (a,b)=1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle K[{\sqrt {a}}]}$

Propiedades

Las siguientes tres propiedades se derivan directamente de la definición, eligiendo soluciones adecuadas de la ecuación diofántica anterior:

• Si a es un cuadrado, entonces ( a , b ) = 1 para todo b .
• Para todo a , b en K ^× , ( a , b ) = ( b , a ).
• Para cualquier a en K ^× tal que a −1 también esté en K ^× , tenemos ( a , 1− a ) = 1.

La (bi)multiplicatividad, es decir,

( a , b ₁ b ₂ ) = ( a , b ₁ )·( a , b ₂ )

Sin embargo, para cualquier a , b ₁ y b ₂ en K ^× es más difícil de probar y requiere el desarrollo de la teoría de campos de clases local .

La tercera propiedad muestra que el símbolo de Hilbert es un ejemplo de un símbolo de Steinberg y, por lo tanto, factoriza el segundo grupo K de Milnor , que por definición es ${\displaystyle K_{2}^{M}(K)}$

K ^× ⊗ K ^× / ( a ⊗ (1− a) , a ∈ K ^× \ {1})

En la primera propiedad, incluso se factoriza . Este es el primer paso hacia la conjetura de Milnor . ${\displaystyle K_{2}^{M}(K)/2}$

La interpretación como álgebra

El símbolo de Hilbert también se puede utilizar para denotar el álgebra simple central sobre K con base 1, i , j , k y reglas de multiplicación , , . En este caso el álgebra representa un elemento de orden 2 en el grupo de Brauer de K , el cual se identifica con -1 si es un álgebra de división y +1 si es isomorfo al álgebra de matrices de 2 por 2. ${\displaystyle i^{2}=a}$ ${\displaystyle j^{2}=b}$ ${\displaystyle ij=-ji=k}$

Símbolos de Hilbert sobre los racionales.

Para un lugar v del campo de números racionales y números racionales a , b denotamos ( a , b ) _v el valor del símbolo de Hilbert en la correspondiente terminación Q _v . Como de costumbre, si v es la valoración adjunta a un número primo p , entonces la terminación correspondiente es el campo p-ádico y si v es el lugar infinito, entonces la terminación es el campo de números reales .

Sobre los reales, ( a , b ) _∞ es +1 si al menos uno de a o b es positivo, y −1 si ambos son negativos.

Sobre los p-ádicos con p impar, escribiendo y , donde u y v son números enteros coprimos de p , tenemos ${\displaystyle a=p^{\alpha }u}$ ${\displaystyle b=p^{\beta }v}$

${\displaystyle (a,b)_{p}=(-1)^{\alpha \beta \epsilon (p)}\left({\frac {u}{p}}\right)^{\beta }\left({\frac {v}{p}}\right)^{\alpha }}$, dónde ${\displaystyle \epsilon (p)=(p-1)/2}$

y la expresión involucra dos símbolos de Legendre .

Sobre los 2-ádicos, escribiendo nuevamente y , donde u y v son números impares , tenemos ${\displaystyle a=2^{\alpha }u}$ ${\displaystyle b=2^{\beta }v}$

${\displaystyle (a,b)_{2}=(-1)^{\epsilon (u)\epsilon (v)+\alpha \omega (v)+\beta \omega (u)}}$, dónde ${\displaystyle \omega (x)=(x^{2}-1)/8.}$

Se sabe que si v abarca todos los lugares, ( a , b ) _v es 1 para casi todos los lugares. Por lo tanto, la siguiente fórmula del producto

${\displaystyle \prod _{v}(a,b)_{v}=1}$

tiene sentido. Es equivalente a la ley de reciprocidad cuadrática .

Kaplansky radical

El símbolo de Hilbert en un campo F define un mapa

${\displaystyle (\cdot ,\cdot ):F^{*}/F^{*2}\times F^{*}/F^{*2}\rightarrow \mathop {Br} (F)}$

donde Br( F ) es el grupo de Brauer de F . El núcleo de este mapeo, los elementos a tales que ( a , b )=1 para todo b , es el radical de Kaplansky de F . ^[2]

El radical es un subgrupo de F ^* /F ^*2 , identificado con un subgrupo de F ^* . El radical es igual a F ^* si y sólo si F tiene u -invariante como máximo 2. ^[3] En la dirección opuesta, un campo con radical F ^*2 se denomina campo de Hilbert . ^[4]

El símbolo general de Hilbert

Si K es un campo local que contiene el grupo de n- ésimas raíces de la unidad para algún entero positivo n primo de la característica de K , entonces el símbolo de Hilbert (,) es una función de K *× K * a μ _n . En términos del símbolo Artin, se puede definir mediante ^[5]

${\displaystyle (a,b){\sqrt[{n}]{b}}=(a,K({\sqrt[{n}]{b}})/K){\sqrt[{n}]{b}}}$

Hilbert definió originalmente el símbolo de Hilbert antes de que se descubriera el símbolo de Artin, y su definición (para n primo) usó el símbolo de residuo de potencia cuando K tiene una característica de residuo coprimo con n , y era bastante complicada cuando K tiene una característica de residuo que divide a n .

Propiedades

El símbolo de Hilbert es (multiplicativamente) bilineal:

( ab , c ) = ( a , c )( b , c )

( a , antes de Cristo ) = ( a , b )( a , c )

sesgado simétrico:

( un , segundo ) = ( segundo , un ) ⁻¹

no degenerado:

( a , b )=1 para todo b si y solo si a está en K * ⁿ

Detecta normas (de ahí el nombre símbolo de residuo de norma):

( a , b )=1 si y sólo si a es una norma de un elemento en K ( ⁿ √ b )

Tiene las propiedades de "símbolo" :

( a ,1– a )=1, ( a ,–a)=1.

Ley de reciprocidad de Hilbert

La ley de reciprocidad de Hilbert establece que si a y b están en un campo numérico algebraico que contiene las raíces enésimas de la unidad, entonces ^[6]

${\displaystyle \prod _{p}(a,b)_{p}=1}$

donde el producto está sobre los primos finitos e infinitos p del campo numérico, y donde (,) _p es el símbolo de Hilbert de la terminación en p . La ley de reciprocidad de Hilbert se deriva de la ley de reciprocidad de Artin y de la definición del símbolo de Hilbert en términos del símbolo de Artin.

Símbolo de residuo de energía

Si K es un campo numérico que contiene las n- ésimas raíces de la unidad, p es un ideal primo que no divide a n , π es un elemento primo del campo local de p y a es coprimo de p , entonces el símbolo del residuo de potencia (^una
_p) está relacionado con el símbolo de Hilbert por ^[7]

${\displaystyle {\binom {a}{p}}=(\pi ,a)_{p}}$

El símbolo del residuo de potencia se extiende a ideales fraccionarios mediante multiplicatividad y se define para elementos del campo numérico poniendo (^un
_segundo)=(^un
_{( segundo )}) donde ( b ) es el ideal principal generado por b . La ley de reciprocidad de Hilbert implica entonces la siguiente ley de reciprocidad para el símbolo del residuo, para a y b primos entre sí y para n :

${\displaystyle {\binom {a}{b}}={\binom {b}{a}}\prod _{p|n,\infty }(a,b)_{p}}$

Ver también

• Álgebra de Azumaya

enlaces externos

• "Símbolo de norma-residuo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• HilbertSymbol en Mathworld

Referencias

1. Milne. Teoría de campos de clases (PDF) . pag. 110.
2. Lam (2005) págs. 450–451
3. Lam (2005) p.451
4. Lam (2005) p.455
5. Neukirch (1999) p.333
6. Neukirch (1999) p.334
7. Neukirch (1999) p.336

• Borevich, ZI ; Shafarevich, IR (1966), Teoría de números , Academic Press, ISBN 0-12-117851-X, Zbl  0145.04902
• Hilbert, David (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 4 : 175–546, ISSN  0012-0456
• Hilbert, David (1998), La teoría de los campos de números algebraicos, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62779-1, señor  1646901
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Introducción a las formas cuadráticas sobre campos , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 67, Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 0-8218-1095-2, Zbl  1068.11023
• Milnor, John Willard (1971), Introducción a la teoría K algebraica , Annals of Mathematics Studies, vol. 72, Prensa de la Universidad de Princeton , SEÑOR  0349811, Zbl  0237.18005
• Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Traducido del alemán por Norbert Schappacher, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, Zbl  0956.11021
• Serre, Jean-Pierre (1996), Un curso de aritmética , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 7, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-90040-5, Zbl  0256.12001
• Vostokov, SV; Fesenko, IB (2002), Campos locales y sus extensiones, Traducciones de monografías matemáticas, vol. 121, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-3259-2, Zbl  1156.11046