Constante de Rydberg

Constantes físicas de energía y número de onda.

En espectroscopia , la constante de Rydberg , símbolo de los átomos pesados ​​o del hidrógeno, llamada así en honor del físico sueco Johannes Rydberg , es una constante física relacionada con los espectros electromagnéticos de un átomo. La constante surgió primero como un parámetro de ajuste empírico en la fórmula de Rydberg para la serie espectral del hidrógeno , pero Niels Bohr demostró más tarde que su valor podía calcularse a partir de constantes más fundamentales según su modelo del átomo . ${\displaystyle R_{\infty }}$ ${\displaystyle R_{\text{H}}}$

Antes de la redefinición de 2019 de las unidades básicas del SI , y el factor g de espín del electrón eran las constantes físicas medidas con mayor precisión . ^[1] ${\displaystyle R_{\infty }}$

La constante se expresa para el hidrógeno como o para el límite de masa nuclear infinita como . En cualquier caso, la constante se utiliza para expresar el valor límite del número de onda más alto (longitud de onda inversa) de cualquier fotón que pueda emitirse desde un átomo de hidrógeno o, alternativamente, el número de onda del fotón de menor energía capaz de ionizar un átomo de hidrógeno. átomo desde su estado fundamental . La serie espectral del hidrógeno se puede expresar simplemente en términos de la constante de Rydberg para el hidrógeno y la fórmula de Rydberg . ${\displaystyle R_{\text{H}}}$ ${\displaystyle R_{\infty }}$ ${\displaystyle R_{\text{H}}}$

En física atómica , la unidad de energía de Rydberg , símbolo Ry, corresponde a la energía del fotón cuyo número de onda es la constante de Rydberg, es decir, la energía de ionización del átomo de hidrógeno en un modelo de Bohr simplificado. ^{[ cita necesaria ]}

Valor

Constante de Rydberg

El valor CODATA es ^[2]

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}=10973731.568160(21)\,{\text{m}}^{-1},}$

dónde

• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$es la masa en reposo del electrón (es decir, la masa del electrón ),
• ${\displaystyle e}$es la carga elemental ,
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad del espacio libre ,
• ${\displaystyle h}$es la constante de Planck , y
• ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz en el vacío.

La constante de Rydberg para el hidrógeno se puede calcular a partir de la masa reducida del electrón:

${\displaystyle R_{\text{H}}=R_{\infty }{\frac {m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}+m_{\text{p}}}}\approx 1.09678\times 10^{7}{\text{ m}}^{-1},}$

dónde

• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$es la masa del electrón,
• ${\displaystyle m_{\text{p}}}$es la masa del núcleo (un protón).

unidad de energía rydberg

La unidad de energía de Rydberg equivale a julios ^[3] y electronvoltios ^[4] de la siguiente manera:

${\displaystyle 1\ {\text{Ry}}\equiv hcR_{\infty }={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}={\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}a_{0}}}=2.179\;872\;361\;1035(42)\times 10^{-18}\ {\text{J}}\ =13.605\;693\;122\;994(26)\ {\text{eV}}.}$

frecuencia de rydberg

${\displaystyle cR_{\infty }=3.289\;841\;960\;2508(64)\times 10^{15}\ {\text{Hz}}.}$^[5]

Longitud de onda de Rydberg

${\displaystyle {\frac {1}{R_{\infty }}}=9.112\;670\;505\;824(17)\times 10^{-8}\ {\text{m}}}$.

La longitud de onda angular correspondiente es

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}=1.450\;326\;555\;7696(28)\times 10^{-8}\ {\text{m}}}$.

En el modelo de Bohr

El modelo de Bohr explica el espectro atómico del hidrógeno (ver serie espectral del hidrógeno ), así como varios otros átomos e iones. No es perfectamente exacto, pero es una aproximación notablemente buena en muchos casos e históricamente jugó un papel importante en el desarrollo de la mecánica cuántica . El modelo de Bohr postula que los electrones giran alrededor del núcleo atómico de manera análoga a los planetas que giran alrededor del Sol.

En la versión más simple del modelo de Bohr, la masa del núcleo atómico se considera infinita en comparación con la masa del electrón, ^[6] de modo que el centro de masa del sistema, el baricentro , se encuentra en el centro del núcleo. Esta aproximación de masa infinita es a lo que se alude con el subíndice. Luego, el modelo de Bohr predice que las longitudes de onda de las transiciones atómicas del hidrógeno son (ver fórmula de Rydberg ): ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=\mathrm {Ry} \cdot {1 \over hc}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

donde n ₁ y n ₂ son dos números enteros positivos diferentes (1, 2, 3, ...), y es la longitud de onda (en el vacío) de la luz emitida o absorbida, dando ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R_{M}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

donde y M es la masa total del núcleo. Esta fórmula surge de sustituir la masa reducida del electrón. ${\displaystyle R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+{\frac {m_{\text{e}}}{M}}}},}$

Medición de precisión

La constante de Rydberg era una de las constantes físicas determinadas con mayor precisión, con una incertidumbre estándar relativa de menos de 2 partes en 10 ¹² . ^[2] Esta precisión restringe los valores de las otras constantes físicas que la definen. ^[7]

Dado que el modelo de Bohr no es perfectamente exacto, debido a la estructura fina , la división hiperfina y otros efectos similares, la constante de Rydberg no se puede medir directamente con una precisión muy alta a partir de las frecuencias de transición atómica del hidrógeno únicamente. En cambio, la constante de Rydberg se infiere a partir de mediciones de frecuencias de transición atómica en tres átomos diferentes ( hidrógeno , deuterio y helio antiprotónico ). Se utilizan cálculos teóricos detallados en el marco de la electrodinámica cuántica para tener en cuenta los efectos de la masa nuclear finita, la estructura fina, la división hiperfina, etc. Finalmente, el valor de se determina a partir del mejor ajuste de las medidas a la teoría. ^[8] ${\displaystyle R_{\infty }}$ ${\displaystyle R_{\infty }}$

Expresiones alternativas

La constante de Rydberg también se puede expresar como en las siguientes ecuaciones.

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{\text{e}}c}{4\pi \hbar }}={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{\text{e}}}}={\frac {\alpha }{4\pi a_{0}}}}$

y en unidades de energía

${\displaystyle {\text{Ry}}=hcR_{\infty }={\frac {1}{2}}m_{\text{e}}c^{2}\alpha ^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{4}m_{\text{e}}}{(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {m_{\text{e}}c^{2}r_{\text{e}}}{a_{0}}}={\frac {1}{2}}{\frac {hc\alpha ^{2}}{\lambda _{\text{e}}}}={\frac {1}{2}}hf_{\text{C}}\alpha ^{2}={\frac {1}{2}}\hbar \omega _{\text{C}}\alpha ^{2}={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}\left({\dfrac {\hbar }{a_{0}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{(4\pi \varepsilon _{0})a_{0}}},}$

dónde

• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$es la masa en reposo del electrón ,
• ${\displaystyle e}$es la carga eléctrica del electrón,
• ${\displaystyle h}$es la constante de Planck ,
• ${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$es la constante de Planck reducida ,
• ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz en el vacío,
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la constante eléctrica (permisividad del vacío),
• ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{\hbar c}}}$es la constante de estructura fina ,
• ${\displaystyle \lambda _{\text{e}}=h/m_{\text{e}}c}$es la longitud de onda Compton del electrón,
• ${\displaystyle f_{\text{C}}=m_{\text{e}}c^{2}/h}$es la frecuencia Compton del electrón,
• ${\displaystyle \omega _{\text{C}}=2\pi f_{\text{C}}}$es la frecuencia angular Compton del electrón,
• ${\displaystyle a_{0}={4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}/{e^{2}m_{\text{e}}}}$es el radio de Bohr ,
• ${\displaystyle r_{\mathrm {e} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}}$es el radio clásico del electrón .

La última expresión de la primera ecuación muestra que la longitud de onda de la luz necesaria para ionizar un átomo de hidrógeno es 4 π / α veces el radio de Bohr del átomo.

La segunda ecuación es relevante porque su valor es el coeficiente de la energía de los orbitales atómicos de un átomo de hidrógeno: . ${\displaystyle E_{n}=-hcR_{\infty }/n^{2}}$

Referencias

1. Pohl, Randolf; Antognini, Aldo; Nez, François; Amaro, Fernando D.; Biraben, François; Cardoso, João MR; Covita, Daniel S.; Dax, Andrés; Dhawan, satish; Fernández, Luis MP; Giesen, Adolf; Graf, Thomas; Hänsch, Theodor W.; Indelicato, Paul; Julien, Lucila; Kao, Cheng-Yang; Knowles, Pablo; Le Bigot, Eric-Olivier; Liu, Yi-Wei; Lopes, José AM; Ludhova, Livia; Monteiro, Cristina MB; Mulhauser, Françoise; Nebel, Tobías; Rabinowitz, Paul; Dos Santos, Joaquim MF; Schaller, Lucas A.; Schuhmann, Karsten; Schwob, Catalina; Taqqu, David (2010). "El tamaño del protón". Naturaleza . 466 (7303): 213–216. Código Bib :2010Natur.466..213P. doi : 10.1038/naturaleza09250. PMID  20613837. S2CID  4424731.
2. "Valor CODATA 2018: constante de Rydberg". La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019 . Consultado el 20 de mayo de 2019 .
3. "Valor CODATA 2018: tiempos constantes de Rydberg hc en J". NIST . La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . Consultado el 6 de febrero de 2020 .
4. "Valor CODATA 2018: tiempos constantes de Rydberg hc en eV". NIST . La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . Consultado el 6 de febrero de 2020 .
5. "Valor CODATA 2018: constante de Rydberg multiplicada por c en Hz". NIST . La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . Consultado el 5 de febrero de 2020 .
6. Coffman, Moody L. (1965). "Corrección de la constante de Rydberg para masa nuclear finita". Revista Estadounidense de Física . 33 (10): 820–823. Código bibliográfico : 1965AmJPh..33..820C. doi :10.1119/1.1970992.
7. PJ Mohr, BN Taylor y DB Newell (2015), "Los valores recomendados de las constantes físicas fundamentales de CODATA de 2014" (versión web 7.0). Esta base de datos fue desarrollada por J. Baker, M. Douma y S. Kotochigova . Disponible: http://physics.nist.gov/constants. Instituto Nacional de Estándares y Tecnología, Gaithersburg, MD 20899. Enlace a R∞, Enlace a hcR∞. Publicado en Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2012). "Valores recomendados CODATA de las constantes físicas fundamentales: 2010". Reseñas de Física Moderna . 84 (4): 1527-1605. arXiv : 1203.5425 . Código Bib : 2012RvMP...84.1527M. doi : 10.1103/RevModPhys.84.1527. S2CID  103378639""{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)y Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2012). "Valores recomendados CODATA de las constantes físicas fundamentales: 2010". Revista de datos de referencia físicos y químicos . 41 (4): 043109. arXiv : 1507.07956 . Código Bib : 2012JPCRD..41d3109M. doi :10.1063/1.4724320""{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link).
8. Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2008). "Valores recomendados CODATA de las constantes físicas fundamentales: 2006". Reseñas de Física Moderna . 80 (2): 633–730. arXiv : 0801.0028 . Código Bib : 2008RvMP...80..633M. doi : 10.1103/RevModPhys.80.633.