Rotación de ejes en dos dimensiones.

Transformación de coordenadas a través de un ángulo.

Un sistema de coordenadas cartesiano xy girado en un ángulo hacia un sistema de coordenadas cartesiano x′y′ ${\displaystyle \theta }$

En matemáticas , una rotación de ejes en dos dimensiones es un mapeo de un sistema de coordenadas cartesiano xy a un sistema de coordenadas cartesiano x′y′ en el que el origen se mantiene fijo y los ejes x′ e y′ se obtienen girando el Ejes x e y en sentido antihorario a través de un ángulo . Un punto P tiene coordenadas ( x , y ) con respecto al sistema original y coordenadas ( x′ , y′ ) con respecto al nuevo sistema. ^[1] En el nuevo sistema de coordenadas, el punto P parecerá haber sido girado en la dirección opuesta, es decir, en el sentido de las agujas del reloj en el ángulo . De manera similar se define una rotación de ejes en más de dos dimensiones. ^{[2] [3]} Una rotación de ejes es una aplicación lineal ^{[4] [5]} y una transformación rígida . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$

Motivación

Los sistemas de coordenadas son esenciales para estudiar las ecuaciones de curvas utilizando los métodos de la geometría analítica . Para utilizar el método de geometría de coordenadas, los ejes se colocan en una posición conveniente con respecto a la curva considerada. Por ejemplo, para estudiar las ecuaciones de elipses e hipérbolas , los focos suelen situarse sobre uno de los ejes y se sitúan simétricamente respecto al origen. Si la curva (hipérbola, parábola , elipse, etc.) no está situada convenientemente con respecto a los ejes, se debe cambiar el sistema de coordenadas para colocar la curva en una ubicación y orientación conveniente y familiar. El proceso de realizar este cambio se llama transformación de coordenadas . ^[6]

Las soluciones a muchos problemas se pueden simplificar girando los ejes de coordenadas para obtener nuevos ejes que pasan por el mismo origen.

Derivación

Las ecuaciones que definen la transformación en dos dimensiones, que gira los ejes xy en sentido contrario a las agujas del reloj en un ángulo hacia los ejes x′y′ , se derivan de la siguiente manera. ${\displaystyle \theta }$

En el sistema xy , sea el punto P el que tenga coordenadas polares . Entonces, en el sistema x′y′ , P tendrá coordenadas polares . ${\displaystyle (r,\alpha )}$ ${\displaystyle (r,\alpha -\theta )}$

Usando funciones trigonométricas , tenemos

y usando las fórmulas trigonométricas estándar para diferencias, tenemos

Sustituyendo las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) en las ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ), obtenemos ^[7]

Las ecuaciones ( 5 ) y ( 6 ) se pueden representar en forma matricial como

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$$

que es la ecuación matricial estándar de una rotación de ejes en dos dimensiones. ^[8]

La transformación inversa es ^[9]

o

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}.}$$

Ejemplos en dos dimensiones

Ejemplo 1

Encuentre las coordenadas del punto después de que los ejes hayan girado el ángulo , o 30°. ${\displaystyle P_{1}=(x,y)=({\sqrt {3}},1)}$ ${\displaystyle \theta _{1}=\pi /6}$

Solución:

$${\displaystyle x'={\sqrt {3}}\cos(\pi /6)+1\sin(\pi /6)=({\sqrt {3}})({\sqrt {3}}/2)+(1)(1/2)=2}$$

$${\displaystyle y'=1\cos(\pi /6)-{\sqrt {3}}\sin(\pi /6)=(1)({\sqrt {3}}/2)-({\sqrt {3}})(1/2)=0.}$$

Los ejes se han girado en sentido antihorario un ángulo de y las nuevas coordenadas son . Tenga en cuenta que el punto parece haber sido girado en el sentido de las agujas del reloj con respecto a ejes fijos, por lo que ahora coincide con el (nuevo) eje x′ . ${\displaystyle \theta _{1}=\pi /6}$ ${\displaystyle P_{1}=(x',y')=(2,0)}$ ${\displaystyle \pi /6}$

Ejemplo 2

Encuentre las coordenadas del punto después de que los ejes hayan girado 90° en el sentido de las agujas del reloj, es decir, a través del ángulo , o −90°. ${\displaystyle P_{2}=(x,y)=(7,7)}$ ${\displaystyle \theta _{2}=-\pi /2}$

Solución:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(-\pi /2)&\sin(-\pi /2)\\-\sin(-\pi /2)&\cos(-\pi /2)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-7\\7\end{bmatrix}}.}$$

Los ejes se han girado en un ángulo de , que es en el sentido de las agujas del reloj y las nuevas coordenadas son . Nuevamente, observe que el punto parece haber sido girado en sentido antihorario con respecto a ejes fijos. ${\displaystyle \theta _{2}=-\pi /2}$ ${\displaystyle P_{2}=(x',y')=(-7,7)}$ ${\displaystyle \pi /2}$

Rotación de secciones cónicas.

La ecuación más general de segundo grado tiene la forma

Mediante un cambio de coordenadas (una rotación de ejes y una traslación de ejes ), la ecuación ( 9 ) se puede poner en una forma estándar , con la que suele ser más fácil trabajar. Siempre es posible rotar las coordenadas en un ángulo específico para eliminar el término x′y′ . Sustituyendo las ecuaciones ( 7 ) y ( 8 ) en la ecuación ( 9 ), obtenemos

dónde

Si se selecciona de modo que tengamos y el término x′y′ en la ecuación ( 10 ) desaparecerá. ^[11] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cot 2\theta =(A-C)/B}$ ${\displaystyle B'=0}$

Cuando surge un problema con B , D y E todos diferentes de cero, se pueden eliminar realizando en sucesión una rotación (eliminando B ) y una traslación (eliminando los términos D y E ). ^[12]

Identificar secciones cónicas rotadas

Una sección cónica no degenerada dada por la ecuación ( 9 ) se puede identificar evaluando . La sección cónica es: ^[13] ${\displaystyle B^{2}-4AC}$

• una elipse o un círculo, si ; ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$
• una parábola, si ; ${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$
• una hipérbola, si . ${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$

Generalización a varias dimensiones.

Supongamos que un sistema de coordenadas xyz rectangular se gira alrededor de su eje z en sentido contrario a las agujas del reloj (mirando hacia abajo el eje z positivo ) a través de un ángulo , es decir, el eje x positivo se gira inmediatamente hacia el eje y positivo . La coordenada z de cada punto no cambia y las coordenadas xey se transforman como se indica arriba. Las antiguas coordenadas ( x , y , z ) de un punto Q están relacionadas con sus nuevas coordenadas ( x′ , y′ , z′ ) por ^[14] ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.}$$

Generalizando a cualquier número finito de dimensiones, una matriz de rotación es una matriz ortogonal que difiere de la matriz identidad en como máximo cuatro elementos. Estos cuatro elementos son de la forma ${\displaystyle A}$

${\displaystyle a_{ii}=a_{jj}=\cos \theta }$     y     ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}=\sin \theta ,}$

para algunos y algunos i ≠ j . ^[15] ${\displaystyle \theta }$

Ejemplo en varias dimensiones

Ejemplo 3

Encuentre las coordenadas del punto después de que el eje w positivo haya girado el ángulo , o 15°, hacia el eje z positivo . ${\displaystyle P_{3}=(w,x,y,z)=(1,1,1,1)}$ ${\displaystyle \theta _{3}=\pi /12}$

Solución:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}w'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\cos(\pi /12)&0&0&\sin(\pi /12)\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\sin(\pi /12)&0&0&\cos(\pi /12)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\\[4pt]&\approx {\begin{bmatrix}0.96593&0.0&0.0&0.25882\\0.0&1.0&0.0&0.0\\0.0&0.0&1.0&0.0\\-0.25882&0.0&0.0&0.96593\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1.0\\1.0\\1.0\\1.0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.22475\\1.00000\\1.00000\\0.70711\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Ver también

• Rotación
• Rotación (matemáticas)

Notas

1. Protter y Morrey (1970, pág.320)
2. Antón (1987, pág.231)
3. Carga y ferias (1993, pág. 532)
4. Antón (1987, pág.247)
5. Beauregard y Fraleigh (1973, pág.266)
6. Protter y Morrey (1970, págs. 314-315)
7. Protter y Morrey (1970, págs. 320–321)
8. Antón (1987, pág.230)
9. Protter y Morrey (1970, pág.320)
10. Protter y Morrey (1970, pág.316)
11. Protter y Morrey (1970, págs. 321–322)
12. Protter y Morrey (1970, pág.324)
13. Protter y Morrey (1970, pág.326)
14. Antón (1987, pág.231)
15. Carga y ferias (1993, pág. 532)

Referencias

• Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Carga, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Análisis numérico (5ª ed.), Boston: Prindle, Weber y Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , LCCN  76087042