Análisis del lugar de las raíces

Criterio de estabilidad en la teoría del control.

Espirula

En la teoría del control y la teoría de la estabilidad , el análisis del lugar de las raíces es un método gráfico para examinar cómo cambian las raíces de un sistema con la variación de un determinado parámetro del sistema , comúnmente una ganancia dentro de un sistema de retroalimentación . Esta es una técnica utilizada como criterio de estabilidad en el campo de la teoría de control clásica desarrollada por Walter R. Evans que puede determinar la estabilidad del sistema. El lugar de las raíces traza los polos de la función de transferencia de bucle cerrado en el plano s complejo en función de un parámetro de ganancia (consulte el gráfico polo-cero ).

Evans también inventó en 1948 una computadora analógica para calcular los lugares geométricos de las raíces, llamada "Espirula" (por "espiral" y " regla de cálculo "); encontró un amplio uso antes de la llegada de las computadoras digitales . ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]}

Usos

Efecto de la ubicación de los polos sobre la frecuencia natural y la relación de amortiguación de un sistema de segundo orden. El conjugado complejo de este polo (que necesariamente existe ya que este polo tiene un componente imaginario distinto de cero) no se muestra.

Además de determinar la estabilidad del sistema, el lugar de las raíces se puede utilizar para diseñar la relación de amortiguamiento ( ζ ) y la frecuencia natural ( ω _n ) de un sistema de retroalimentación. Se pueden dibujar líneas de relación de amortiguamiento constante radialmente desde el origen y líneas de frecuencia natural constante se pueden dibujar como arcocoseno cuyos puntos centrales coinciden con el origen. Seleccionando un punto a lo largo del lugar de las raíces que coincida con una relación de amortiguación deseada y una frecuencia natural, se puede calcular e implementar una ganancia K en el controlador. En la mayoría de los libros de texto de control se encuentran disponibles técnicas más elaboradas de diseño de controladores utilizando el lugar de las raíces: por ejemplo, los controladores de retraso, avance , PI, PD y PID se pueden diseñar aproximadamente con esta técnica.

La definición de la relación de amortiguación y la frecuencia natural supone que el sistema de retroalimentación general se aproxima bien a un sistema de segundo orden; es decir, el sistema tiene un par de polos dominantes. Este no suele ser el caso, por lo que es una buena práctica simular el diseño final para comprobar si se cumplen los objetivos del proyecto.

Definición

El lugar de las raíces de un sistema de retroalimentación es la representación gráfica en el plano s complejo de las posibles ubicaciones de sus polos en circuito cerrado para valores variables de un determinado parámetro del sistema. Los puntos que forman parte del lugar de las raíces satisfacen la condición del ángulo. El valor del parámetro para un determinado punto del lugar de las raíces se puede obtener utilizando la condición de magnitud .

Supongamos que hay un sistema de retroalimentación con señal de entrada y señal de salida . La función de transferencia de ruta directa es ; la función de transferencia de la ruta de retroalimentación es . ${\displaystyle X(s)}$ ${\displaystyle Y(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle H(s)}$

Para este sistema, la función de transferencia de circuito cerrado viene dada por ^[10]

${\displaystyle T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

Por tanto, los polos de la función de transferencia de bucle cerrado son las raíces de la ecuación característica . Las raíces de esta ecuación se pueden encontrar en cualquier lugar . ${\displaystyle 1+G(s)H(s)=0}$ ${\displaystyle 1+G(s)H(s)=0}$

En sistemas sin retardo puro, el producto es una función polinómica racional y puede expresarse como ^[11] ${\displaystyle G(s)H(s)}$

${\displaystyle G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}}$

donde están los ceros , son los polos y es una ganancia escalar. Normalmente, un diagrama del lugar de las raíces indicará las ubicaciones de los polos de la función de transferencia para valores variables del parámetro . Una gráfica del lugar de las raíces serán todos aquellos puntos en el plano s donde para cualquier valor de . ${\displaystyle -z_{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle -p_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G(s)H(s)=-1}$ ${\displaystyle K}$

La factorización y el uso de monomios simples significa que la evaluación del polinomio racional se puede realizar con técnicas vectoriales que suman o restan ángulos y multiplican o dividen magnitudes. La formulación vectorial surge del hecho de que cada término monomio factorizado representa el vector de a en el plano s. El polinomio se puede evaluar considerando las magnitudes y ángulos de cada uno de estos vectores. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (s-a)}$ ${\displaystyle G(s)H(s)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle s}$

Según la matemática vectorial, el ángulo del resultado del polinomio racional es la suma de todos los ángulos del numerador menos la suma de todos los ángulos del denominador. Entonces, para probar si un punto en el plano s está en el lugar de las raíces, solo se deben considerar los ángulos de todos los polos y ceros del bucle abierto. Esto se conoce como condición del ángulo.

De manera similar, la magnitud del resultado del polinomio racional es el producto de todas las magnitudes del numerador dividido por el producto de todas las magnitudes del denominador. Resulta que el cálculo de la magnitud no es necesario para determinar si un punto en el plano s es parte del lugar de las raíces porque varía y puede tomar un valor real arbitrario. Para cada punto del lugar de las raíces se puede calcular un valor de. Esto se conoce como condición de magnitud. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

El lugar de las raíces sólo proporciona la ubicación de los polos en circuito cerrado a medida que se varía la ganancia. El valor de no afecta la ubicación de los ceros. Los ceros de bucle abierto son los mismos que los ceros de bucle cerrado. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Condición del ángulo

Un punto del plano s complejo satisface la condición del ángulo si ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \angle (G(s)H(s))=\pi }$

que es lo mismo que decir que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\angle (s+z_{i})-\sum _{i=1}^{n}\angle (s+p_{i})=\pi }$

es decir, la suma de los ángulos desde los ceros de bucle abierto hasta el punto (medidos por cero con una horizontal que pasa por ese cero) menos los ángulos desde los polos de bucle abierto hasta el punto (medidos por polo con una horizontal que pasa por ese cero) ese polo) tiene que ser igual a , o 180 grados . Tenga en cuenta que estas interpretaciones no deben confundirse con las diferencias de ángulos entre el punto y los ceros/polos. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle s}$

Condición de magnitud

Un valor de satisface la condición de magnitud para un punto dado del lugar de las raíces si ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle |G(s)H(s)|=1}$

que es lo mismo que decir que

${\displaystyle K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1}$.

Dibujar el lugar de las raíces

RL = lugar de las raíces; ZARL = lugar de las raíces de ángulo cero

Utilizando algunas reglas básicas, el método del lugar de las raíces puede trazar la forma general del camino (lugar) recorrido por las raíces a medida que varía el valor de. La gráfica del lugar de las raíces da una idea de la estabilidad y dinámica de este sistema de retroalimentación para diferentes valores de . ^{[12] [13]} Las reglas son las siguientes: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

• Marcar polos y ceros en lazo abierto.
• Marque la porción del eje real a la izquierda de un número impar de polos y ceros.
• encontrar asíntotas

Sea P el número de polos y Z el número de ceros:

${\displaystyle P-Z={\text{number of asymptotes}}\,}$

Las asíntotas cortan el eje real en (que se llama centroide) y parten en un ángulo dado por: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi _{l}={\frac {180^{\circ }+(l-1)360^{\circ }}{P-Z}},l=1,2,\ldots ,P-Z}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {\operatorname {Re} \left(\sum _{P}-\sum _{Z}\right)}{P-Z}}}$

donde es la suma de todas las ubicaciones de los polos, es la suma de todas las ubicaciones de los ceros explícitos y denota que solo nos interesa la parte real. ${\displaystyle \sum _{P}}$ ${\displaystyle \sum _{Z}}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} ()}$

• Condición de fase en el punto de prueba para encontrar el ángulo de salida
• Calcular los puntos de ruptura/entrada

Los puntos de ruptura se encuentran en las raíces de la siguiente ecuación:

${\displaystyle {\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0{\text{ or }}{\frac {d{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0}$

Una vez que resuelves z , las raíces reales te dan los puntos de ruptura/reentrada. Las raíces complejas corresponden a una falta de ruptura/reentrada.

Trazar el lugar de las raíces

Dado el polinomio racional con denominador general de bucle cerrado

${\displaystyle 1+G(s)H(s)=1+K{\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},}$

la ecuación característica se puede simplificar a

${\displaystyle s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +(a_{m}+Kb_{m})s^{m}+\ldots +(a_{1}+Kb_{1})s+(a_{0}+Kb_{0})=0.}$

Las soluciones de esta ecuación son los lugares geométricos de las raíces de la función de transferencia de circuito cerrado. ${\displaystyle s}$

Ejemplo

Dado

${\displaystyle 1+G(s)H(s)=1+K{\frac {s+3}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}},}$

tendremos la ecuación característica

${\displaystyle s^{3}+3s^{2}+(5+K)s+(1+3K)=0.}$

El siguiente código de MATLAB trazará el lugar de la raíz de la función de transferencia de bucle cerrado según varía utilizando el método manual descrito, así como la función incorporada: ${\displaystyle K}$rlocus

% Método manual K_array = ( 0 : 0,1 : 220 ). ' ; %.' es una transposición. Buscando en la documentación de Matlab. NK = longitud ( K_array ); matriz_x = ceros ( NK , 3 ); y_array = ceros ( NK , 3 );           para nK = 1 : NK K = K_array ( nK ); C = [ 1 , 3 , ( 5 + K ), ( 1 + 3 * K )]; r = raíces ( C ). ' ; matriz_x ( nK ,:) = real ( r ); y_array ( nK ,:) = imag ( r ); fin                         cifra (); trama ( matriz_x , matriz_y ); cuadrícula activa ;  % Método incorporado sys = tf ([ 1 , 3 ], [ 1 , 3 , 5 , 1 ]); cifra (); rlocus ( sys );       

Gráfico del lugar de las raíces

El siguiente código Python también se puede utilizar para calcular y trazar el lugar de las raíces de la función de transferencia de bucle cerrado utilizando la biblioteca de sistemas de control Python ^[14] y Matplotlib ^[15] .

 control  de importaciones como  ctimportar  matplotlib.pyplot  como  plt# Definir la función de transferenciasistema  =  ct . Función de transferencia ([ 1 ,  3 ],  [ 1 ,  3 ,  5 ,  1 ])# Calcular y trazar el lugar de las raíces.raíces ,  ganancias  =  ct . root_locus ( sys ,  trama = Verdadero )pl . espectáculo ()

z-avión versuss-avión

El método del lugar de las raíces también se puede utilizar para el análisis de sistemas de datos muestreados calculando el lugar de las raíces en el plano z , la contraparte discreta del plano s . La ecuación z  =  e ^sT asigna polos continuos del plano s (no ceros) al dominio z , donde T es el período de muestreo. La mitad izquierda estable del plano s se mapea en el interior del círculo unitario del plano z , con el origen del plano s equivalente a |z|  = 1 (porque  e ⁰  = 1). Una línea diagonal de amortiguación constante en el plano s se traza alrededor de una espiral desde (1,0) en el plano z a medida que se curva hacia el origen. El criterio de alias de Nyquist se expresa gráficamente en el plano z mediante el eje x , donde ωnT  =  π . La línea de amortiguación constante que acabamos de describir gira en espiral indefinidamente, pero en los sistemas de datos muestreados, el contenido de frecuencia se deriva a frecuencias más bajas mediante múltiplos integrales de la frecuencia de Nyquist . Es decir, la respuesta muestreada aparece como una frecuencia más baja y también mejor amortiguada, ya que la raíz en el plano z se asigna igualmente bien al primer bucle de una curva espiral diferente, mejor amortiguada y de amortiguamiento constante. Se pueden describir muchas otras propiedades de mapeo interesantes y relevantes, entre ellas que los controladores del plano z , que tienen la propiedad de que pueden implementarse directamente a partir de la función de transferencia del plano z (relación de polinomios cero/polo), se pueden imaginar gráficamente en un Gráfico del plano z de la función de transferencia de bucle abierto y analizado inmediatamente utilizando el lugar de las raíces.

Dado que el lugar de las raíces es una técnica gráfica de ángulos, las reglas del lugar de las raíces funcionan de la misma manera en los planos z y s .

La idea de un lugar de raíces se puede aplicar a muchos sistemas donde se varía un solo parámetro K. Por ejemplo, es útil barrer cualquier parámetro del sistema cuyo valor exacto sea incierto para determinar su comportamiento.

Ver también

• margen de fase
• Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
• Criterio de estabilidad de Nyquist
• Ganancia y margen de fase
• trama de presagio

Referencias

1. "1990". Escuela de Ingeniería McKelvey de la Universidad de Washington en St. Louis . Consultado el 12 de marzo de 2023 .
2. Evans, Walter R. (1965), Instrucciones de Spirule , Whittier, CA: The Spirule Company
3. Robert H., JC (2012). Dinámica de sistemas físicos. Ingeniería civil y mecánica de Dover. Publicaciones de Dover. pag. 727.ISBN​ 978-0-486-13969-2. Consultado el 12 de marzo de 2023 .
4. Doebelin, EO (1985). Principios y diseño del sistema de control. Wiley. pag. 312.ISBN​ 978-0-471-08815-8. Consultado el 12 de marzo de 2023 .
5. Savant, CJ (1958). Diseño básico de sistemas de control de retroalimentación. Colección especial de ingeniería. McGraw-Hill . Consultado el 12 de marzo de 2023 .
6. Harris, LD (1961). Introducción a los sistemas de retroalimentación. Wiley. ISBN 978-0-598-48455-0. Consultado el 12 de marzo de 2023 .
7. D'Azzo, JJ; Houpis, CH (1968). Principios de Ingeniería Eléctrica: Circuitos Eléctricos, Electrónica, Instrumentación, Conversión de Energía, Sistemas de Control, Computadoras. Compañía editorial CE Merrill . Consultado el 12 de marzo de 2023 .
8. Gupta, Carolina del Sur; Hasdorff, L. (1983). Fundamentos del Control Automático. Krieger. ISBN 978-0-89874-578-8. Consultado el 12 de marzo de 2023 .
9. Dransfield, P. (1968). Ingeniería de Sistemas y Control Automático. Prentice Hall . Consultado el 12 de marzo de 2023 .
10. Kuo 1967, pag. 331.
11. Kuo 1967, pag. 332.
12. Evans, WR (enero de 1948), "Análisis gráfico de sistemas de control", Trans. AIEE , 67 (1): 547–551, doi :10.1109/T-AIEE.1948.5059708, ISSN  0096-3860, S2CID  51634121
13. Evans, WR (enero de 1950), "Síntesis de sistemas de control mediante el método del lugar de las raíces", Trans. AIEE , 69 (1): 66–69, doi :10.1109/T-AIEE.1950.5060121, ISSN  0096-3860, S2CID  51633514
14. Biblioteca de sistemas de control de Python, Biblioteca de sistemas de control para Python, 2023-12-19 , consultado el 2023-12-19
15. "Matplotlib - Visualización con Python". matplotlib.org . Consultado el 19 de diciembre de 2023 .

• Kuo, Benjamín C. (1967). "Técnica del lugar de las raíces". Sistemas de control automático (segunda ed.). Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. págs. 329–388. ASIN  B000KPT04C. LCCN  67016388. OCLC  3805225.

Otras lecturas

• Ceniza, derecha; Ash, GH (octubre de 1968), "Cálculo numérico de los lugares geométricos de las raíces utilizando la técnica de Newton-Raphson", IEEE Transactions on Automatic Control , 13 (5): 576–582, doi :10.1109/TAC.1968.1098980
• Williamson, SE (mayo de 1968), "Datos de diseño para ayudar a trazar los lugares de las raíces (Parte I)", Control Magazine , 12 (119): 404–407
• Williamson, SE (junio de 1968), "Datos de diseño para ayudar al trazado de lugares de raíces (Parte II)", Control Magazine , 12 (120): 556–559
• Williamson, SE (julio de 1968), "Datos de diseño para ayudar a trazar los lugares de las raíces (Parte III)", Control Magazine , 12 (121): 645–647
• Williamson, SE (15 de mayo de 1969), "Programa informático para obtener la respuesta temporal de sistemas de datos muestreados", Electronics Letters , 5 (10): 209–210, Bibcode :1969ElL.....5..209W, doi :10.1049/el:19690159
• Williamson, SE (julio de 1969), "Trazado preciso del lugar de las raíces, incluidos los efectos del retardo de tiempo puro. Descripción del programa de computadora", Actas de la Institución de Ingenieros Eléctricos , 116 (7): 1269–1271, doi :10.1049/piee. 1969.0235, archivado desde el original el 29 de junio de 2019

enlaces externos

• Wikilibros: Sistemas de control/Locus de las raíces
• Carnegie Mellon / Tutorial de la Universidad de Michigan
• Excelentes ejemplos. Comience con el ejemplo 5 y avance del 4 al 1. Visite también la página principal
• El método del lugar de las raíces: técnicas de dibujo a mano.
• "RootLocs": un trazador de lugar de raíces gratuito y con múltiples funciones para plataformas Mac y Windows
• "Root Locus": un trazador/analizador gratuito del lugar de las raíces para Windows
• Lugar de las raíces en ControlTheoryPro.com
• Análisis del lugar de las raíces de los sistemas de control.
• Función MATLAB para calcular el lugar de las raíces de un modelo de bucle abierto SISO
• Wechsler, ER (enero-marzo de 1983), "Algoritmos del lugar de las raíces para calculadoras de bolsillo programables" (PDF) , Informe de progreso de adquisición de datos y telecomunicaciones , 73 , NASA: 60–64, Bibcode :1983TDAPR..73...60W
• Función Mathematica para trazar el lugar de las raíces.
• Šekara, Tomislav B.; Rapaić, Milan R. (1 de octubre de 2015). "Una revisión del método del lugar de las raíces con aplicaciones". Revista de control de procesos . 34 : 26–34. doi :10.1016/j.jprocont.2015.07.007.