En música , una permutación ( orden ) de un conjunto es cualquier ordenamiento de los elementos de ese conjunto. [3] Una disposición específica de un conjunto de entidades discretas, o parámetros , como tono , dinámica o timbre . Diferentes permutaciones pueden estar relacionadas por transformación , a través de la aplicación de cero o más operaciones , como transposición , inversión , retrogradación , permutación circular (también llamada rotación ) u operaciones multiplicativas (como las transformaciones del ciclo de cuartas y del ciclo de quintas ). Estas pueden producir reordenamientos de los miembros del conjunto, o pueden simplemente mapear el conjunto sobre sí mismo.
El orden es particularmente importante en las teorías de las técnicas de composición que se originaron en el siglo XX, como la técnica dodecafónica y el serialismo . Las técnicas analíticas como la teoría de conjuntos se encargan de distinguir entre conjuntos ordenados y desordenados. En la teoría tradicional, conceptos como la sonoridad y la forma incluyen el orden; por ejemplo, muchas formas musicales, como el rondó , se definen por el orden de sus secciones.
Las permutaciones resultantes de aplicar las operaciones de inversión o retrógrada se clasifican como inversiones y retrógradas de la forma principal , respectivamente. La aplicación de ambas operaciones a una forma principal produce sus inversiones retrógradas , consideradas un tipo distinto de permutación.
La permutación también se puede aplicar a conjuntos más pequeños. Sin embargo, las operaciones de transformación de estos conjuntos más pequeños no necesariamente resultan en la permutación del conjunto original. He aquí un ejemplo de no permutación de tricordios, utilizando retrogradación, inversión e inversión retrógrada, combinadas en cada caso con transposición, como se encuentra dentro de la serie de tonos (o serie de doce tonos) del Concierto de Anton Webern : [4]
Si las primeras tres notas se consideran como la celda "original", entonces las siguientes 3 son su inversión retrógrada transpuesta (hacia atrás y al revés), las siguientes tres son las retrógradas transpuestas (hacia atrás) y las últimas 3 son su inversión transpuesta (al revés). [5]
No todas las series primas tienen el mismo número de variaciones porque las transformaciones transpuestas e inversas de una fila de tonos pueden ser idénticas, un fenómeno bastante raro: menos del 0,06% de todas las series admiten 24 formas en lugar de 48. [6]
Una técnica que facilita la permutación dodecafónica es el uso de valores numéricos correspondientes a letras musicales. La primera nota del primero de los primos, en realidad el primo cero (que suele confundirse con el primo uno), se representa con el 0. El resto de los números se cuentan paso a paso, de modo que: B = 0, C = 1, C ♯ /D ♭ = 2, D = 3, D ♯ /E ♭ = 4, E = 5, F = 6, F ♯ /G ♭ = 7, G = 8, G ♯ /A ♭ = 9, A = 10 y A ♯ /B ♭ = 11.
El cero primo se recupera completamente por elección del compositor. Para recibir el retrógrado de cualquier primo dado, los números simplemente se reescriben al revés. Para recibir la inversión de cualquier primo, cada valor numérico se resta de 12 y el número resultante se coloca en la celda de matriz correspondiente (consulte la técnica de doce tonos ). La inversión retrógrada son los valores de los números de inversión leídos al revés.
Por lo tanto:
Un cero primo dado (derivado de las notas del Concierto de Anton Webern):
0, 11, 3, 4, 8, 7, 9, 5, 6, 1, 2, 10
El retrógrado:
10, 2, 1, 6, 5, 9, 7, 8, 4, 3, 11, 0
La inversión:
0, 1, 9, 8, 4, 5, 3, 7, 6, 11, 10, 2
La inversión retrógrada:
2, 10, 11, 6, 7, 3, 5, 4, 8, 9, 1, 0
En términos más generales, una permutación musical es cualquier reordenamiento de la forma primaria de un conjunto ordenado de clases de tonos [7] o, con respecto a las filas de doce tonos, cualquier ordenamiento del conjunto que consiste en los números enteros módulo 12. [8] En ese sentido, una permutación musical es una permutación combinatoria de las matemáticas tal como se aplica a la música. Las permutaciones no se limitan de ninguna manera a las músicas seriales y atonales de doce tonos, sino que también se utilizan en melodías tonales, especialmente durante los siglos XX y XXI, en particular en las Variaciones sobre el tema de Paganini para orquesta y piano de Rachmaninoff . [ cita requerida ]
La permutación cíclica (también llamada rotación ) [9] es el mantenimiento del orden original de la fila de tonos con el único cambio de la clase de tono inicial , y el orden original después. Un conjunto secundario puede considerarse una permutación cíclica que comienza en el sexto miembro de una fila combinatoria hexacordal. La fila de tonos de la Suite Lírica de Berg , por ejemplo, se realiza temáticamente y luego se permuta cíclicamente (el 0 está en negrita como referencia):
5 4 0 9 7 2 8 1 3 6 t3 6 5 4 0 9 7 2 8 1