En música , una permutación ( orden ) de un conjunto es cualquier ordenamiento de los elementos de ese conjunto. [3] Una disposición específica de un conjunto de entidades discretas o parámetros , como el tono , la dinámica o el timbre . Diferentes permutaciones pueden estar relacionadas mediante transformación , mediante la aplicación de cero o más operaciones , como transposición , inversión , retrogradación , permutación circular (también llamada rotación ), u operaciones multiplicativas (como el ciclo de cuartas y el ciclo de quintas transformadas). Estos pueden producir reordenamientos de los miembros del conjunto, o pueden simplemente mapear el conjunto sobre sí mismo.
El orden es particularmente importante en las teorías de las técnicas de composición originadas en el siglo XX como la técnica dodecafónica y el serialismo . Las técnicas analíticas como la teoría de conjuntos se encargan de distinguir entre colecciones ordenadas y desordenadas. En la teoría tradicional, conceptos como sonoridad y forma incluyen ordenamiento; por ejemplo, muchas formas musicales, como el rondó , se definen por el orden de sus secciones.
Las permutaciones resultantes de aplicar las operaciones de inversión o retrógradas se clasifican como inversiones y retrógradas de la forma primaria , respectivamente. La aplicación de inversión y retrógrado a una forma prima produce sus inversiones retrógradas , consideradas un tipo distinto de permutación.
La permutación también se puede aplicar a conjuntos más pequeños. Sin embargo, las operaciones de transformación de conjuntos tan pequeños no necesariamente dan como resultado una permutación del conjunto original. A continuación se muestra un ejemplo de no permutación de tricordios, utilizando retrogradación, inversión e inversión retrógrada, combinadas en cada caso con transposición, como se encuentra dentro de la fila de tonos (o serie de doce tonos) del Concierto de Anton Webern : [4 ]
Si las primeras tres notas se consideran la celda "original", entonces las 3 siguientes son su inversión retrógrada transpuesta (hacia atrás y al revés), las tres siguientes son la retrógrada transpuesta (hacia atrás) y las 3 últimas son su inversión transpuesta. (Al revés). [5]
No todas las series primas tienen el mismo número de variaciones porque las transformaciones transpuestas e inversas de una fila de tonos pueden ser idénticas, un fenómeno bastante raro: menos del 0,06% de todas las series admiten 24 formas en lugar de 48. [6]
Una técnica que facilita la permutación de doce tonos es el uso de valores numéricos correspondientes a letras musicales. La primera nota del primero de los números primos, en realidad primo cero (comúnmente confundido con primo uno), se representa por 0. El resto de los números se cuentan medio paso de modo que: B = 0, C = 1, C ♯ /D ♭ = 2, D = 3, D ♯ /E ♭ = 4, E = 5, F = 6, F ♯ /G ♭ = 7, G = 8, G ♯ /A ♭ = 9, A = 10 , y A ♯ /B ♭ = 11.
Prime zero se recupera íntegramente por elección del compositor. Para recibir el retrógrado de cualquier primo determinado, los números simplemente se reescriben al revés. Para recibir la inversión de cualquier primo, cada valor numérico se resta de 12 y el número resultante se coloca en la celda de la matriz correspondiente (ver técnica de los doce tonos ). La inversión retrógrada son los valores de los números de inversión leídos al revés.
Por lo tanto:
Un cero primo dado (derivado de las notas del Concierto de Anton Webern):
0, 11, 3, 4, 8, 7, 9, 5, 6, 1, 2, 10
El retrógrado:
10, 2, 1, 6, 5, 9, 7, 8, 4, 3, 11, 0
La inversión:
0, 1, 9, 8, 4, 5, 3, 7, 6, 11, 10, 2
La inversión retrógrada:
2, 10, 11, 6, 7, 3, 5, 4, 8, 9, 1, 0
De manera más general, una permutación musical es cualquier reordenamiento de la forma prima de un conjunto ordenado de clases de tonos [7] o, con respecto a filas de doce tonos, cualquier ordenamiento del conjunto que consta de números enteros módulo 12. [8] En ese sentido, una permutación musical es una permutación combinatoria de las matemáticas tal como se aplica a la música. Las permutaciones no se limitan de ninguna manera a las músicas atonales y en serie de doce tonos, sino que también se utilizan en melodías tonales, especialmente durante los siglos XX y XXI, especialmente en las Variaciones sobre el tema de Paganini para orquesta y piano de Rachmaninoff . [ cita necesaria ]
La permutación cíclica (también llamada rotación ) [9] es el mantenimiento del orden original de la fila de tonos con el único cambio en la clase de tono inicial , seguido del orden original. Un conjunto secundario puede considerarse una permutación cíclica que comienza en el sexto miembro de una fila combinatoria hexacordal. La fila de tonos de la Suite Lírica de Berg , por ejemplo, se realiza temáticamente y luego se permuta cíclicamente (0 está en negrita como referencia):
5 4 0 9 7 2 8 1 3 6 te3 6 te 5 4 0 9 7 2 8 1