Teorema de Hardy-Ramanujan

Teoría analítica de números

En matemáticas , el teorema de Hardy-Ramanujan , demostrado por Ramanujan y verificado por Hardy ^[1], establece que el orden normal del número de factores primos distintos de un número es . ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \log \log n}$

En términos generales, esto significa que la mayoría de los números tienen aproximadamente esta cantidad de factores primos distintos.

Declaración precisa

Una versión más precisa ^[2] establece que para cada función de valor real que tiende a infinito como tiende a infinito o, más tradicionalmente, para casi todos (todos menos una proporción infinitesimal de) los números enteros. Es decir, sea el número de números enteros positivos menores que para los cuales la desigualdad anterior falla: entonces converge a cero como tiende a infinito. ${\displaystyle \psi (n)}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle |\omega (n)-\log \log n|<\psi (n){\sqrt {\log \log n}}}$$ $${\displaystyle |\omega (n)-\log \log n|<{(\log \log n)}^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}$$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)/x}$ ${\displaystyle x}$

Historia

Una prueba sencilla del resultado fue dada por Pál Turán , quien utilizó el tamiz de Turán para demostrar que ^[3]

$${\displaystyle \sum _{n\leq x}|\omega (n)-\log \log x|^{2}\ll x\log \log x.}$$

Generalizaciones

Los mismos resultados son ciertos para , el número de factores primos de contados con multiplicidad . Este teorema se generaliza mediante el teorema de Erdős–Kac , que muestra que se distribuye de manera esencialmente normal . Hay muchas pruebas de esto, incluido el método de momentos (Granville y Soundararajan) ^[4] y el método de Stein (Harper). ^[5] Durkan demostró que una versión modificada del resultado de Turán permite demostrar el teorema de Hardy–Ramanujan con cualquier momento par. ^[6] ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega (n)}$

Véase también

• Desigualdad de Turán-Kubilius

Referencias

1. Hardy, GH ; Ramanujan, S. (1917), "El número normal de factores primos de un número n", Quarterly Journal of Mathematics , 48 : 76–92, JFM  46.0262.03
2. Heath-Brown, DR (2007), "Números de Carmichael con tres factores primos", Hardy–Ramanujan Journal , 30 : 6–12, doi :10.46298/hrj.2007.156, MR  2440316
3. Turán, Pál (1934), "Sobre un teorema de Hardy y Ramanujan", Journal of the London Mathematical Society , 9 (4): 274–276, doi :10.1112/jlms/s1-9.4.274, ISSN  0024-6107, Zbl  0010.10401
4. Granville, Andrew; Soundararajan, K. (2007), "Tamizaje y el teorema de Erdős-Kac", en Granville, Andrew; Rudnick, Zeév (eds.), Equidistribución en la teoría de números, una introducción: Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN (44.º Séminaire de Mathématiques Supérieures (SMS)) celebrado en la Universidad de Montreal, Montreal, QC, del 11 al 22 de julio de 2005 , NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, vol. 237, Dordrecht: Springer, págs. 15-27, arXiv : math/0606039 , doi :10.1007/978-1-4020-5404-4_2, ISBN 978-1-4020-5403-7, Sr.  2290492
5. Harper, Adam J. (2009), "Dos nuevas pruebas del teorema de Erdős-Kac, con límite en la tasa de convergencia, mediante el método de Stein para aproximaciones distribucionales", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 147 (1): 95–114, doi :10.1017/S0305004109002412, MR  2507311
6. Durkan, Benjamin (23 de octubre de 2023), "Sobre el teorema de Hardy-Ramanujan", arXiv : 2310.14760 [math.NT]

Lectura adicional

• Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru (2008), "El teorema de Erdős–Kac y sus generalizaciones", en De Koninck, Jean-Marie ; Granville, Andrew ; Luca, Florian (eds.), Anatomía de los números enteros. Basado en el taller CRM, Montreal, Canadá, 13--17 de marzo de 2006 , CRM Proceedings and Lecture Notes, vol. 46, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 209–216, ISBN 978-0-8218-4406-9, Zbl1187.11024 ​
• Hildebrand, A. (2001) [1994], "Teorema de Hardy-Ramanujan", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press