En la teoría de control y procesamiento de señales , la respuesta al impulso , o función de respuesta al impulso ( IRF ), de un sistema dinámico es su salida cuando se le presenta una breve señal de entrada, llamada impulso ( δ( t ) ). De manera más general, una respuesta impulsiva es la reacción de cualquier sistema dinámico en respuesta a algún cambio externo. En ambos casos, la respuesta al impulso describe la reacción del sistema en función del tiempo (o posiblemente en función de alguna otra variable independiente que parametriza el comportamiento dinámico del sistema).
En todos estos casos, el sistema dinámico y su respuesta impulsiva pueden ser objetos físicos reales o pueden ser sistemas matemáticos de ecuaciones que describen dichos objetos.
Dado que la función de impulso contiene todas las frecuencias (ver la transformada de Fourier de la función delta de Dirac , que muestra el ancho de banda de frecuencia infinito que tiene la función delta de Dirac), la respuesta al impulso define la respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo para todas las frecuencias.
Matemáticamente, la forma en que se describe el impulso depende de si el sistema se modela en tiempo discreto o continuo . El impulso se puede modelar como una función delta de Dirac para sistemas de tiempo continuo , o como una secuencia, para sistemas de tiempo discreto . El delta de Dirac representa el caso límite de un pulso muy corto en el tiempo manteniendo su área o integral (dando así un pico infinitamente alto). Si bien esto es imposible en cualquier sistema real, es una idealización útil. En la teoría del análisis de Fourier , dicho impulso comprende porciones iguales de todas las frecuencias de excitación posibles, lo que lo convierte en una sonda de prueba conveniente.
Cualquier sistema de una clase grande conocida como lineal, invariante en el tiempo ( LTI ) se caracteriza completamente por su respuesta al impulso. Es decir, para cualquier entrada, la salida se puede calcular en términos de la entrada y la respuesta al impulso. (Ver teoría del sistema LTI .) La respuesta al impulso de una transformación lineal es la imagen de la función delta de Dirac bajo la transformación, análoga a la solución fundamental de un operador diferencial parcial .
Generalmente es más fácil analizar sistemas utilizando funciones de transferencia que respuestas de impulso. La función de transferencia es la transformada de Laplace de la respuesta al impulso. La transformada de Laplace de la salida de un sistema puede determinarse multiplicando la función de transferencia por la transformada de Laplace de la entrada en el plano complejo , también conocido como dominio de la frecuencia . Una transformada de Laplace inversa de este resultado producirá la salida en el dominio del tiempo .
Para determinar una salida directamente en el dominio del tiempo se requiere la convolución de la entrada con la respuesta al impulso. Cuando se conocen la función de transferencia y la transformada de Laplace de la entrada, esta convolución puede resultar más complicada que la alternativa de multiplicar dos funciones en el dominio de la frecuencia .
La respuesta al impulso, considerada como una función de Green , puede considerarse como una "función de influencia": cómo un punto de entrada influye en la salida.
En sistemas prácticos, no es posible producir un impulso perfecto que sirva como entrada para las pruebas; por lo tanto, a veces se utiliza un pulso breve como aproximación a un impulso. Siempre que el pulso sea lo suficientemente corto en comparación con la respuesta al impulso, el resultado será cercano a la respuesta al impulso teórica real. Sin embargo, en muchos sistemas, conducir con un pulso fuerte muy corto puede llevar al sistema a un régimen no lineal, por lo que el sistema se maneja con una secuencia pseudoaleatoria y la respuesta al impulso se calcula a partir de las señales de entrada y salida. [1]
Una aplicación que demuestra esta idea fue el desarrollo de pruebas de altavoces con respuesta a impulsos en la década de 1970. Los altavoces sufren de inexactitud de fase, un defecto diferente a otras propiedades medidas como la respuesta de frecuencia . La inexactitud de fase es causada por frecuencias/octavas (ligeramente) retrasadas que son principalmente el resultado de cruces pasivos (especialmente filtros de orden superior), pero también son causadas por resonancia, almacenamiento de energía en el cono, el volumen interno o la vibración de los paneles del recinto. [2] La medición de la respuesta al impulso, que es una gráfica directa de esta "mancha de tiempo", proporcionó una herramienta para reducir las resonancias mediante el uso de materiales mejorados para conos y recintos, así como cambios en el cruce de los altavoces. La necesidad de limitar la amplitud de entrada para mantener la linealidad del sistema llevó al uso de entradas como secuencias pseudoaleatorias de longitud máxima y al uso de procesamiento informático para derivar la respuesta al impulso. [3]
El análisis de la respuesta al impulso es una faceta importante del radar , la obtención de imágenes por ultrasonido y muchas áreas del procesamiento de señales digitales . Un ejemplo interesante serían las conexiones a Internet de banda ancha . Los servicios DSL/banda ancha utilizan técnicas de ecualización adaptativa para ayudar a compensar la distorsión de la señal y la interferencia introducidas por las líneas telefónicas de cobre utilizadas para brindar el servicio.
En la teoría del control, la respuesta al impulso es la respuesta de un sistema a una entrada delta de Dirac . Esto resulta útil en el análisis de sistemas dinámicos ; la transformada de Laplace de la función delta es 1, por lo que la respuesta al impulso es equivalente a la transformada de Laplace inversa de la función de transferencia del sistema .
En aplicaciones acústicas y de audio, las respuestas de impulso permiten capturar las características acústicas de un lugar, como una sala de conciertos. Hay varios paquetes disponibles que contienen respuestas impulsivas de ubicaciones específicas, desde salas pequeñas hasta grandes salas de conciertos. Estas respuestas de impulso se pueden utilizar en aplicaciones de reverberación convolucional para permitir que las características acústicas de una ubicación particular se apliquen al audio objetivo. [4]
En economía , y especialmente en los modelos macroeconómicos contemporáneos , las funciones de respuesta al impulso se utilizan para describir cómo reacciona la economía a lo largo del tiempo a impulsos exógenos , que los economistas suelen llamar shocks , y a menudo se modelan en el contexto de un vector autorregresivo . Los impulsos que a menudo se tratan como exógenos desde un punto de vista macroeconómico incluyen cambios en el gasto público , las tasas impositivas y otros parámetros de política fiscal ; cambios en la base monetaria u otros parámetros de política monetaria ; cambios en la productividad u otros parámetros tecnológicos ; y cambios en las preferencias , como el grado de impaciencia . Las funciones de impulso-respuesta describen la reacción de variables macroeconómicas endógenas como la producción , el consumo , la inversión y el empleo en el momento del shock y en momentos posteriores. [5] [6] Recientemente, se han sugerido en la literatura funciones de respuesta al impulso asimétricas que separan el impacto de un shock positivo de uno negativo. [7]
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