En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de la representación , el anillo de representación (o anillo verde después de JA Green ) de un grupo es un anillo formado a partir de todas las (clases de isomorfismo de las) representaciones lineales de dimensión finita del grupo. Los elementos del anillo de representación a veces se denominan representaciones virtuales. [1] Para un grupo determinado, el anillo dependerá del campo base de las representaciones. El caso de los coeficientes complejos es el más desarrollado, pero el caso de campos algebraicamente cerrados de característica p donde los subgrupos p de Sylow son cíclicos también es teóricamente abordable.
Dado un grupo G y un campo F , los elementos de su anillo de representación R F ( G ) son las diferencias formales de clases de isomorfismo de representaciones F lineales de dimensión finita de G. Para la estructura de anillo, la suma viene dada por la suma directa de representaciones y la multiplicación por su producto tensorial sobre F. Cuando F se omite de la notación, como en R ( G ), entonces F se considera implícitamente como el cuerpo de números complejos .
El anillo de representación de G es el anillo de Grothendieck de la categoría de representaciones de dimensión finita de G.
Cualquier representación define un carácter χ: G → C . Tal función es constante en las clases de conjugación de G , la llamada función de clase ; denotamos el anillo de funciones de clase por C ( G ). Si G es finito, el homomorfismo R ( G ) → C ( G ) es inyectivo, de modo que R ( G ) puede identificarse con un subanillo de C ( G ). Para los campos F cuya característica divide el orden del grupo G , el homomorfismo de R F ( G ) → C ( G ) definido por caracteres de Brauer ya no es inyectivo.
Para un grupo conectado compacto R ( G ) es isomorfo al subanillo de R ( T ) (donde T es un toro máximo) que consta de aquellas funciones de clase que son invariantes bajo la acción del grupo Weyl (Atiyah y Hirzebruch, 1961). Para el grupo de Lie compacto general , véase Segal (1968).
Dada una representación de G y un número natural n , podemos formar la n -ésima potencia exterior de la representación, que es nuevamente una representación de G. Esto induce una operación λ n : R ( G ) → R ( G ). Con estas operaciones, R ( G ) se convierte en un anillo λ .
Las operaciones de Adams sobre el anillo de representación R ( G ) son aplicaciones Ψ k caracterizadas por su efecto sobre los caracteres χ:
Las operaciones Ψ k son homomorfismos anulares de R ( G ) consigo mismo y en representaciones ρ de dimensión d
donde Λ i ρ son las potencias exteriores de ρ y N k es la k -ésima suma de potencias expresada en función de las d funciones simétricas elementales de d variables.
