Modelo de conglomerados aleatorios

En mecánica estadística , teoría de probabilidad , teoría de grafos , etc., el modelo de cúmulos aleatorios es un grafo aleatorio que generaliza y unifica el modelo de Ising , el modelo de Potts y el modelo de percolación . Se utiliza para estudiar estructuras combinatorias aleatorias , redes eléctricas , etc. ^{[1] [2]} También se le conoce como modelo RC o, a veces, como representación FK en honor a sus fundadores Cees Fortuin y Piet Kasteleyn . ^[3] El modelo de cúmulos aleatorios tiene un límite crítico, descrito por una teoría de campos conforme .

Definición

Sea un grafo y una configuración de enlace en el grafo que asigna cada arista a un valor de 0 o 1. Decimos que un enlace es cerrado en la arista si y abierto si . Si dejamos que sea el conjunto de enlaces abiertos, entonces un cúmulo abierto o cúmulo FK es cualquier componente conexo en unión del conjunto de vértices. Nótese que un cúmulo abierto puede ser un solo vértice (si ese vértice no es incidente a ningún enlace abierto). ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle \omega :E\to \{0,1\}}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle \omega (e)=0}$ ${\displaystyle \omega (e)=1}$ ${\displaystyle A(\omega )=\{e\in E:\omega (e)=1\}}$ ${\displaystyle A(\omega )}$

Supongamos que una arista está abierta independientemente con probabilidad y cerrada en caso contrario, entonces este es simplemente el proceso de percolación de Bernoulli estándar. La medida de probabilidad de una configuración se da como ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \mu (\omega )=\prod _{e\in E}p^{\omega (e)}(1-p)^{1-\omega (e)}.}$

El modelo RC es una generalización de la percolación, donde cada grupo se pondera por un factor de . Dada una configuración , sea el número de grupos abiertos o, alternativamente, el número de componentes conectados formados por los enlaces abiertos. Entonces, para cualquier , la medida de probabilidad de una configuración se da como ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle C(\omega )}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \mu (\omega )={\frac {1}{Z}}q^{C(\omega )}\prod _{e\in E}p^{\omega (e)}(1-p)^{1-\omega (e)}.}$

Z es la función de partición , o la suma de los pesos no normalizados de todas las configuraciones,

${\displaystyle Z=\sum _{\omega \in \Omega }\left\{q^{C(\omega )}\prod _{e\in E(G)}p^{\omega (e)}(1-p)^{1-\omega (e)}\right\}.}$

La función de partición del modelo RC es una especialización del polinomio de Tutte , que a su vez es una especialización del polinomio de Tutte multivariado. ^[4]

Valores especiales deq

El parámetro del modelo de conglomerado aleatorio puede adoptar valores complejos arbitrarios. Esto incluye los siguientes casos especiales: ${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle q\to 0}$: redes de resistencia lineal . ^[1]
• ${\displaystyle q<1}$:percolación correlacionada negativamente.
• ${\displaystyle q=1}$: Percolación de Bernoulli , con . ${\displaystyle Z=1}$
• ${\displaystyle q=2}$:el modelo de Ising .
• ${\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}$: -modelo de Potts de estado . ${\displaystyle q}$

Representación de Edwards-Sokal

La representación de Edwards-Sokal (ES) ^[5] del modelo de Potts recibe su nombre de Robert G. Edwards y Alan D. Sokal . Proporciona una representación unificada de los modelos de Potts y de grupos aleatorios en términos de una distribución conjunta de configuraciones de espín y enlaces.

Sea un grafo, con un número de vértices y un número de aristas . Denotamos una configuración de espín como y una configuración de enlace como . La medida conjunta de se da como ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle n=|V|}$ ${\displaystyle m=|E|}$ ${\displaystyle \sigma \in \mathbb {Z} _{q}^{n}}$ ${\displaystyle \omega \in \{0,1\}^{m}}$ ${\displaystyle (\sigma ,\omega )}$

${\displaystyle \mu (\sigma ,\omega )=Z^{-1}\psi (\sigma )\phi _{p}(\omega )1_{A}(\sigma ,\omega ),}$

donde es la medida uniforme, es la medida del producto con la densidad y es una constante normalizadora adecuada. Es importante destacar que la función indicadora del conjunto ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi _{p}}$ ${\displaystyle p=1-e^{-\beta }}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 1_{A}}$

${\displaystyle A=\{(\sigma ,\omega ):\sigma _{i}=\sigma _{j}{\text{ for any edge }}(i,j){\text{ where }}\omega =1\}}$

impone la restricción de que un enlace solo puede estar abierto en un borde si los espines adyacentes son del mismo estado, también conocida como regla SW .

Las estadísticas de los giros de Potts se pueden recuperar a partir de las estadísticas del clúster (y viceversa), gracias a las siguientes características de la representación ES: ^[2]

• La medida marginal de los espines es la medida de Boltzmann del modelo de Potts del estado q a temperatura inversa . ${\displaystyle \mu (\sigma )}$ ${\displaystyle \beta }$
• La medida marginal de los bonos es la medida de grupo aleatorio con parámetros q y p. ${\displaystyle \phi _{p,q}(\omega )}$
• La medida condicional del espín representa una asignación uniformemente aleatoria de estados de espín que son constantes en cada componente conectado de la disposición de enlace . ${\displaystyle \mu (\sigma \,|\,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$
• La medida condicional de los enlaces representa un proceso de percolación (de razón p ) en el subgrafo formado por las aristas donde se alinean los espines adyacentes. ${\displaystyle \phi _{p,q}(\omega \,|\,\sigma )}$ ${\displaystyle G}$
• En el caso del modelo de Ising, la probabilidad de que dos vértices estén en el mismo componente conectado de la disposición de enlace es igual a la función de correlación de dos puntos de los espines , ^[6] escrita . ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \sigma _{i}{\text{ and }}\sigma _{j}}$ ${\displaystyle \phi _{p,q}(i\leftrightarrow j)=\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle }$

Frustración

Existen varias complicaciones de la representación ES una vez que la frustración está presente en el modelo de espín (por ejemplo, el modelo de Ising con acoplamientos ferromagnéticos y antiferromagnéticos en la misma red). En particular, ya no hay una correspondencia entre las estadísticas de espín y las estadísticas de clúster, ^[7] y la longitud de correlación del modelo RC será mayor que la longitud de correlación del modelo de espín. Esta es la razón detrás de la ineficiencia del algoritmo SW para simular sistemas frustrados.

Caso bidimensional

Si el gráfico subyacente es un gráfico planar , existe una dualidad entre los modelos de conglomerados aleatorios en y en el gráfico dual . ^[8] A nivel de la función de partición, la dualidad se lee ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{*}}$

${\displaystyle {\tilde {Z}}_{G}(q,v)=q^{|V|-|E|-1}v^{|E|}{\tilde {Z}}_{G^{*}}\left(q,{\frac {q}{v}}\right)\qquad {\text{with}}\qquad v={\frac {p}{1-p}}\quad {\text{and}}\quad {\tilde {Z}}_{G}(q,v)=(1-p)^{-|E|}Z_{G}(q,v)}$

En un gráfico autodual como la red cuadrada , una transición de fase solo puede ocurrir en el acoplamiento autodual . ^[9] ${\displaystyle v_{\text{self-dual}}={\sqrt {q}}}$

El modelo de cúmulos aleatorios en un grafo plano se puede reformular como un modelo de bucle en el grafo medial correspondiente . Para una configuración del modelo de cúmulos aleatorios, la configuración de bucle correspondiente es el conjunto de bucles autoevitativos que separan los cúmulos de los cúmulos duales. En el enfoque de la matriz de transferencia , el modelo de bucle se escribe en términos de un álgebra de Temperley-Lieb con el parámetro . En dos dimensiones, el modelo de cúmulos aleatorios está, por tanto, estrechamente relacionado con el modelo O(n) , que también es un modelo de bucle. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \delta =q}$

En dos dimensiones, el modelo de cúmulo aleatorio crítico se describe mediante una teoría de campo conforme con la carga central

${\displaystyle c=13-6\beta ^{2}-6\beta ^{-2}\qquad {\text{with}}\qquad q=4\cos ^{2}(\pi \beta ^{2})\ .}$

Los resultados exactos conocidos incluyen las dimensiones conformes de los campos que detectan si un punto pertenece a un grupo FK o a un grupo de espín . En términos de índices Kac , estas dimensiones conformes son respectivamente y , correspondientes a las dimensiones fractales y de los grupos. ${\displaystyle 2h_{0,{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle 2h_{{\frac {1}{2}},0}}$ ${\displaystyle 2-2h_{0,{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle 2-2h_{{\frac {1}{2}},0}}$

Historia y aplicaciones

Los modelos RC fueron introducidos en 1969 por Fortuin y Kasteleyn , principalmente para resolver problemas combinatorios. ^{[1] [10] [6]} En honor a sus fundadores, a veces se los denomina modelos FK . ^[3] En 1971 lo usaron para obtener la desigualdad FKG . Después de 1987, se reavivó el interés en el modelo y las aplicaciones en física estadística . Se convirtió en la inspiración para el algoritmo de Swendsen-Wang que describe la evolución temporal de los modelos de Potts. ^[11] Michael Aizenman y coautores lo usaron para estudiar los límites de fase en los modelos 1D de Ising y Potts. ^{[12] [10]}

Véase también

• Polinomio de Tutte
• Modelo de Ising
• Gráfico aleatorio
• Algoritmo de Swendsen-Wang
• Desigualdad de FKG

Referencias

1. Fortuin; Kasteleyn (1972). "Sobre el modelo de conglomerados aleatorios: I. Introducción y relación con otros modelos". Physica . 57 (4): 536. Bibcode :1972Phy....57..536F. doi :10.1016/0031-8914(72)90045-6.
2. Grimmett (2002). "Modelos de conglomerados aleatorios". arXiv : math/0205237 .
3. Newman, Charles M. (1994), Grimmett, Geoffrey (ed.), "Sistemas de Ising desordenados y representaciones de grupos aleatorios", Probabilidad y transición de fase , NATO ASI Series, Dordrecht: Springer Netherlands, págs. 247-260, doi :10.1007/978-94-015-8326-8_15, ISBN 978-94-015-8326-8, consultado el 18 de abril de 2021
4. Sokal, Alan (2005). "El polinomio multivariado de Tutte (modelo de Alias ​​Potts) para grafos y matroides". Surveys in Combinatorics 2005. Págs. 173-226. arXiv : math/0503607 . doi :10.1017/CBO9780511734885.009. ISBN . 9780521615235. Número de identificación del sujeto  17904893.
5. Edwards, Robert G.; Sokal, Alan D. (15 de septiembre de 1988). "Generalización de la representación de Fortuin-Kasteleyn-Swendsen-Wang y el algoritmo de Monte Carlo". Physical Review D . 38 (6): 2009–2012. Bibcode :1988PhRvD..38.2009E. doi :10.1103/PhysRevD.38.2009. PMID  9959355.
6. Kasteleyn, PW; Fortuin, CM (1969). "Transiciones de fase en sistemas reticulares con propiedades locales aleatorias". Suplemento de la revista Physical Society of Japan . 26 : 11. Código Bibliográfico :1969JPSJS..26...11K.
7. Cataudella, V.; Franzese, G.; Nicodemi, M.; Scala, A.; Coniglio, A. (7 de marzo de 1994). "Clústeres críticos y dinámica eficiente para modelos de espín frustrado". Physical Review Letters . 72 (10): 1541–1544. Bibcode :1994PhRvL..72.1541C. doi :10.1103/PhysRevLett.72.1541. hdl : 2445/13250 . PMID  10055635.
8. Wu, FY (1 de enero de 1982). "El modelo de Potts". Reseñas de Física Moderna . 54 (1). American Physical Society (APS): 235–268. Bibcode :1982RvMP...54..235W. doi :10.1103/revmodphys.54.235. ISSN  0034-6861.
9. Beffara, Vincent; Duminil-Copin, Hugo (27 de noviembre de 2013). "El punto autodual del modelo de agrupamiento aleatorio bidimensional es crítico para $q\geq 1$". arXiv : 1006.5073 [math.PR].
10. Grimmett. El modelo de conglomerados aleatorios (PDF) .
11. Swendsen, Robert H.; Wang, Jian-Sheng (12 de enero de 1987). "Dinámica crítica no universal en simulaciones de Monte Carlo". Physical Review Letters . 58 (2): 86–88. Bibcode :1987PhRvL..58...86S. doi :10.1103/PhysRevLett.58.86. PMID  10034599.
12. Aizenman, M.; Chayes, JT; Chayes, L.; Newman, CM (abril de 1987). "El límite de fase en ferroimanes de Ising y Potts diluidos y aleatorios". Journal of Physics A: Mathematical and General . 20 (5): L313–L318. Bibcode :1987JPhA...20L.313A. doi :10.1088/0305-4470/20/5/010. ISSN  0305-4470.

Enlaces externos

• Modelo de agrupamiento aleatorio – Wolfram MathWorld