Mecánica relativista lagrangiana

Formulación matemática de la relatividad especial y general

En física teórica , la mecánica lagrangiana relativista es la mecánica lagrangiana aplicada en el contexto de la relatividad especial y la relatividad general .

Introducción

El lagrangiano relativista puede derivarse en la mecánica relativista y tener la forma:

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}-V(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)\,.}$

Aunque, a diferencia de la mecánica no relativista, el lagrangiano relativista no se expresa como diferencia de energía cinética con energía potencial , el hamiltoniano relativista corresponde a la energía total de manera similar pero sin incluir la energía en reposo . La forma del lagrangiano también hace que la acción relativista sea funcional proporcional al tiempo propio de la trayectoria en el espacio-tiempo .

En forma covariante, el lagrangiano se toma como: ^{[1] [2]}

${\displaystyle \Lambda =g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\sigma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\sigma }},}$

donde σ es un parámetro afín que parametriza la curva del espacio-tiempo.

Formulación lagrangiana en relatividad especial

La mecánica de Lagrange se puede formular en relatividad especial de la siguiente manera. Consideremos una partícula ( más adelante se consideran N partículas).

Formulación de coordenadas

Si un sistema se describe mediante un lagrangiano L , las ecuaciones de Euler-Lagrange

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}}$

conservan su forma en la relatividad especial , siempre que el lagrangiano genere ecuaciones de movimiento consistentes con la relatividad especial. Aquí r = ( x , y , z ) es el vector de posición de la partícula medido en algún marco de laboratorio donde se utilizan coordenadas cartesianas para simplificar, y

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)}$

es la velocidad de la coordenada, la derivada de la posición r con respecto al tiempo de la coordenada t . (A lo largo de este artículo, los puntos sobrepuestos se refieren al tiempo de la coordenada, no al tiempo propio). Es posible transformar las coordenadas de posición en coordenadas generalizadas exactamente como en la mecánica no relativista, r = r ( q , t ) . Tomando la diferencial total de r se obtiene la transformación de la velocidad v en coordenadas generalizadas, velocidades generalizadas y tiempo de la coordenada

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\,,\quad {\dot {q}}_{j}={\frac {dq_{j}}{dt}}}$

permanece igual. Sin embargo, la energía de una partícula en movimiento es diferente de la mecánica no relativista. Es instructivo observar la energía relativista total de una partícula de prueba libre. Un observador en el marco del laboratorio define eventos por coordenadas r y tiempo de coordenadas t , y mide la partícula para tener velocidad de coordenadas v = d r / dt . Por el contrario, un observador que se mueve con la partícula registrará un tiempo diferente, este es el tiempo propio , τ . Desarrollando en una serie de potencias , el primer término es la energía en reposo de la partícula , más su energía cinética no relativista , seguida de correcciones relativistas de orden superior;

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}=m_{0}c^{2}+{1 \over 2}m_{0}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}(t)+{3 \over 8}m_{0}{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{4}(t)}{c^{2}}}+\cdots \,,}$

donde c es la velocidad de la luz en el vacío. Las diferenciales en t y τ están relacionadas por el factor de Lorentz γ , ^{[nb 1]}

${\displaystyle dt=\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})d\tau \,,\quad \gamma ({\dot {\mathbf {r} }})={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\,,\quad {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad {\dot {\mathbf {r} }}^{2}(t)={\dot {\mathbf {r} }}(t)\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)\,.}$

donde · es el producto escalar . La energía cinética relativista para una partícula sin carga de masa en reposo m ₀ es

${\displaystyle T=(\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})-1)m_{0}c^{2}}$

y podemos suponer ingenuamente que el lagrangiano relativista para una partícula es esta energía cinética relativista menos la energía potencial. Sin embargo, incluso para una partícula libre para la cual V = 0, esto es incorrecto. Siguiendo el enfoque no relativista, esperamos que la derivada de este lagrangiano aparentemente correcto con respecto a la velocidad sea el momento relativista, lo cual no es así.

Se puede conservar la definición de momento generalizado y se seguirá aplicando la ventajosa conexión entre coordenadas cíclicas y cantidades conservadas . Los momentos se pueden utilizar para "ingeniería inversa" del lagrangiano. Para el caso de la partícula masiva libre, en coordenadas cartesianas, el componente x del momento relativista es

${\displaystyle p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})m_{0}{\dot {x}}\,,\quad }$

y lo mismo para los componentes y y z . Integrando esta ecuación con respecto a dx / dt se obtiene

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}+X({\dot {y}},{\dot {z}})\,,}$

donde X es una función arbitraria de dy / dt y dz / dt de la integración. Integrando p _y y p _z se obtiene de manera similar

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}+Y({\dot {x}},{\dot {z}})\,,\quad L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}+Z({\dot {x}},{\dot {y}})\,,}$

donde Y y Z son funciones arbitrarias de sus variables indicadas. Como las funciones X , Y , Z son arbitrarias, sin pérdida de generalidad podemos concluir que la solución común a estas integrales, una posible Lagrangiana que generará correctamente todos los componentes del momento relativista, es

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}\,,}$

donde X = Y = Z = 0 .

Como alternativa, dado que deseamos construir un lagrangiano a partir de cantidades invariantes relativistas, tomemos la acción como proporcional a la integral del elemento de línea invariante de Lorentz en el espacio-tiempo , la longitud de la línea del mundo de la partícula entre los tiempos propios τ ₁ y τ ₂ , ^{[nb 1]}

${\displaystyle S=\varepsilon \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d\tau =\varepsilon \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dt}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}\,,\quad L={\frac {\varepsilon }{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}=\varepsilon {\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}{c^{2}}}}}\,,}$

donde ε es una constante que se debe encontrar y, después de convertir el tiempo propio de la partícula al tiempo de coordenadas medido en el marco de referencia del laboratorio, el integrando es el lagrangiano por definición. El momento debe ser el momento relativista.

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=\left({\frac {-\varepsilon }{c^{2}}}\right)\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }}=m_{0}\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }}\,,}$

lo que requiere ε = − m ₀ c ² , de acuerdo con el Lagrangiano obtenido previamente.

De cualquier manera, el vector de posición r está ausente del lagrangiano y, por lo tanto, es cíclico, por lo que las ecuaciones de Euler-Lagrange son consistentes con la constancia del momento relativista,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dt}}(m_{0}\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }})=0\,,}$

lo cual debe ser el caso para una partícula libre. Además, expandiendo el lagrangiano relativista de la partícula libre en una serie de potencias hasta el primer orden en ( v / c ) ² ,

${\displaystyle L=-m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left(-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}{c^{2}}}\right)+\cdots \right]\approx -m_{0}c^{2}+{\frac {m_{0}}{2}}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}\,,}$

En el límite no relativista, cuando v es pequeño, los términos de orden superior que no se muestran son despreciables y el lagrangiano es la energía cinética no relativista, como debería ser. El término restante es el negativo de la energía en reposo de la partícula, un término constante que se puede ignorar en el lagrangiano.

Para el caso de una partícula interactuante sujeta a un potencial V , que puede no ser conservativo, es posible para varios casos interesantes simplemente restar este potencial del lagrangiano de la partícula libre,

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}-V(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)\,.}$

y las ecuaciones de Euler-Lagrange conducen a la versión relativista de la segunda ley de Newton . La derivada del momento relativista con respecto a la coordenada temporal es igual a la fuerza que actúa sobre la partícula:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} }}={\frac {d}{dt}}(m_{0}\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }})\,,}$

Suponiendo que el potencial V puede generar la fuerza correspondiente F de esta manera, si el potencial no puede generar la fuerza como se muestra, entonces el lagrangiano necesitaría una modificación para obtener las ecuaciones de movimiento correctas.

Aunque esto se ha demostrado tomando coordenadas cartesianas, se deduce, debido a la invariancia de las ecuaciones de Euler Lagrange , que también se satisface en cualquier sistema de coordenadas arbitrario, ya que corresponde físicamente a la minimización de la acción, que es independiente del sistema de coordenadas utilizado para describirla. De manera similar, varias propiedades de la mecánica lagrangiana se conservan siempre que también sean independientes de la forma específica del lagrangiano o de las leyes del movimiento que gobiernan las partículas. Por ejemplo, también es cierto que si el lagrangiano es explícitamente independiente del tiempo y el potencial V ( r ) independiente de las velocidades, entonces la energía relativista total

${\displaystyle E={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-L=\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})m_{0}c^{2}+V(\mathbf {r} )}$

se conserva, aunque la identificación es menos obvia ya que el primer término es la energía relativista de la partícula que incluye la masa en reposo de la partícula, no simplemente la energía cinética relativista. Además, el argumento a favor de las funciones homogéneas no se aplica a los lagrangianos relativistas.

La extensión a N partículas es sencilla, el lagrangiano relativista es simplemente una suma de los términos de "partícula libre", menos la energía potencial de su interacción;

${\displaystyle L=-c^{2}\sum _{k=1}^{N}{\frac {m_{0k}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}_{k})}}-V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,{\dot {\mathbf {r} }}_{1},{\dot {\mathbf {r} }}_{2},\ldots ,t)\,,}$

donde todas las posiciones y velocidades se miden en el mismo marco de laboratorio, incluido el tiempo.

La ventaja de esta formulación de coordenadas es que se puede aplicar a una variedad de sistemas, incluidos los sistemas multipartículas. La desventaja es que se ha seleccionado un marco de referencia de laboratorio como marco preferido y ninguna de las ecuaciones es manifiestamente covariante (en otras palabras, no toman la misma forma en todos los marcos de referencia). Para un observador que se mueve en relación con el marco de referencia de laboratorio, todo debe recalcularse: la posición r , el momento p , la energía total E , la energía potencial, etc. En particular, si este otro observador se mueve con velocidad relativa constante, entonces deben usarse transformaciones de Lorentz . Sin embargo, la acción seguirá siendo la misma ya que es invariante de Lorentz por construcción.

Una forma aparentemente diferente pero completamente equivalente del lagrangiano para una partícula masiva libre, que se extenderá fácilmente a la relatividad general como se muestra a continuación, se puede obtener insertando ^{[nb 1]}

${\displaystyle d\tau ={\frac {1}{c}}{\sqrt {\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}}}dt\,,}$

en la acción invariante de Lorentz de modo que

${\displaystyle S=\varepsilon \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {1}{c}}{\sqrt {\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}}}dt\quad \Rightarrow \quad L={\frac {\varepsilon }{c}}{\sqrt {\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}}}}$

donde ε = − m ₀ c ² se conserva para simplificar. Aunque el elemento de línea y la acción son invariantes de Lorentz, el lagrangiano no lo es , porque tiene una dependencia explícita del tiempo de la coordenada de laboratorio. Aun así, las ecuaciones de movimiento se derivan del principio de Hamilton .

${\displaystyle \delta S=0\,.}$

Dado que la acción es proporcional a la longitud de la línea de mundo de la partícula (en otras palabras, su trayectoria en el espacio-tiempo), esta ruta ilustra que encontrar la acción estacionaria es pedir que se encuentre la trayectoria de longitud más corta o más grande en el espacio-tiempo. En consecuencia, las ecuaciones de movimiento de la partícula son similares a las ecuaciones que describen las trayectorias de longitud más corta o más grande en el espacio-tiempo, las geodésicas .

Para el caso de una partícula interactuante en un potencial V , el Lagrangiano sigue siendo

${\displaystyle L={\frac {\varepsilon }{c}}{\sqrt {\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}}}-V,}$

que también puede extenderse a muchas partículas como se muestra arriba, cada partícula tiene su propio conjunto de coordenadas de posición para definir su posición.

Formulación covariante

En la formulación covariante, el tiempo se coloca en pie de igualdad con el espacio, por lo que el tiempo de coordenadas medido en algún marco es parte del espacio de configuración junto con las coordenadas espaciales (y otras coordenadas generalizadas). ^[3] Para una partícula, ya sea sin masa o masiva, la acción invariante de Lorentz es (abusando de la notación) ^[4]

${\displaystyle S=\int _{\sigma _{1}}^{\sigma _{2}}\Lambda (x^{\nu }(\sigma ),u^{\nu }(\sigma ),\sigma )d\sigma ,}$

donde se utilizan índices inferiores y superiores según la covarianza y contravarianza de los vectores , σ es un parámetro afín y u ^μ = dx ^μ / dσ es la cuatro-velocidad de la partícula.

Para partículas masivas, σ puede ser la longitud del arco s , o el tiempo propio τ , a lo largo de la línea del mundo de la partícula,

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }.}$

Para las partículas sin masa, no puede porque el tiempo propio de una partícula sin masa es siempre cero;

${\displaystyle g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }=0\,.}$

Para una partícula libre, el Lagrangiano tiene la forma ^{[1] [2]}

${\displaystyle \Lambda =g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\sigma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\sigma }}}$

donde se permite que el factor irrelevante de 1/2 se desplace a escala mediante la propiedad de escala de los lagrangianos. No es necesaria la inclusión de la masa, ya que esto también se aplica a partículas sin masa. Las ecuaciones de Euler-Lagrange en las coordenadas del espacio-tiempo son

${\displaystyle {\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial \Lambda }{\partial u^{\alpha }}}-{\frac {\partial \Lambda }{\partial x^{\alpha }}}={\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\sigma ^{2}}}+\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\sigma }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\sigma }}=0\,,}$

que es la ecuación geodésica para geodésicas parametrizadas afínmente en el espacio-tiempo. En otras palabras, la partícula libre sigue geodésicas. Las geodésicas para partículas sin masa se denominan "geodésicas nulas", ya que se encuentran en un " cono de luz " o "cono nulo" del espacio-tiempo (el nulo se produce porque su producto interno a través de la métrica es igual a 0), las partículas masivas siguen "geodésicas temporales" y las partículas hipotéticas que viajan más rápido que la luz, conocidas como taquiones, siguen "geodésicas espaciales".

Esta formulación manifiestamente covariante no se extiende a un sistema de N partículas, ya que entonces el parámetro afín de cualquier partícula no puede definirse como un parámetro común para todas las demás partículas.

Ejemplos de relatividad especial

Partícula libre unidimensional relativista especial

Para una partícula libre relativista 1d , el lagrangiano es ^[5]

${\displaystyle L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {x}}^{2}(t)}{c^{2}}}}}\,.}$

Esto da como resultado la siguiente ecuación de movimiento:

${\displaystyle m_{0}{\ddot {x}}\,{\frac {1}{\left(1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}}=0\,.}$

Oscilador armónico 1d relativista especial

Para un oscilador armónico simple relativista 1d , el lagrangiano es ^{[6] [7]}

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {x}}^{2}(t)}{c^{2}}}}}-{\frac {k}{2}}x^{2}\,.}$

donde k es la constante del resorte.

Fuerza constante relativista especial

Para una partícula bajo una fuerza constante, el Lagrangiano es ^[8]

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {x}}^{2}(t)}{c^{2}}}}}-mgx\,,}$

donde g es la fuerza por unidad de masa.

Esto da como resultado la siguiente ecuación de movimiento:

${\displaystyle {\frac {1}{(1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}{\ddot {x}}=-g\,.}$

Lo cual, dadas las condiciones iniciales de

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t=0)&=x_{0}\\{\dot {x}}(t=0)&=v_{0}\end{aligned}}}$

da como resultado la posición de la partícula en función del tiempo.

${\displaystyle x(t)=x_{0}+{\frac {c^{2}}{g}}\left[{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}}-{\sqrt {{\frac {1}{1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}+{\frac {g^{2}t^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2v_{0}gt}{c^{2}{\sqrt {1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}}}}}\right]\,.}$

Partícula de prueba relativista especial en un campo electromagnético

En relatividad especial, el lagrangiano de una partícula de prueba cargada masiva en un campo electromagnético se modifica a ^{[9] [10]}

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-q\phi +q{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} \,.}$

Las ecuaciones lagrangianas en r conducen a la ley de fuerza de Lorentz , en términos del momento relativista

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} \,.}$

En el lenguaje de la notación de índice tensorial y de cuatro vectores , el lagrangiano toma la forma

${\displaystyle L(\tau )={\frac {1}{2}}mu^{\mu }(\tau )u_{\mu }(\tau )+qu^{\mu }(\tau )A_{\mu }(x),}$

donde u ^μ = dx ^μ / dτ es la cuadrivelocidad de la partícula de prueba, y A ^μ el cuadripotencial electromagnético .

Las ecuaciones de Euler-Lagrange son (observe la derivada total con respecto al tiempo propio en lugar del tiempo coordinado )

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {d}{d\tau }}{\frac {\partial L}{\partial u^{\nu }}}=0}$

obtiene

${\displaystyle qu^{\mu }{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}={\frac {d}{d\tau }}(mu_{\nu }+qA_{\nu })\,.}$

Bajo la derivada total con respecto al tiempo propio, el primer término es el momento relativista, el segundo término es

${\displaystyle {\frac {dA_{\nu }}{d\tau }}={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}u^{\mu }\,,}$

Luego, reordenando y utilizando la definición del tensor electromagnético antisimétrico , se obtiene la forma covariante de la ley de fuerza de Lorentz en la forma más familiar,

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}(mu_{\nu })=qu^{\mu }F_{\nu \mu }\,,\quad F_{\nu \mu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}\,.}$

Formulación lagrangiana en relatividad general

El lagrangiano es el de una sola partícula más un término de interacción L _I

${\displaystyle L=-mc^{2}{\frac {d\tau }{dt}}+L_{\text{I}}\,.}$

Variando esto con respecto a la posición de la partícula x ^α en función del tiempo t se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta L&=m{\frac {dt}{2d\tau }}\delta \left(g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}\right)+\delta L_{\text{I}}\\&=m{\frac {dt}{2d\tau }}\left(g_{\mu \nu ,\alpha }\delta x^{\alpha }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}+2g_{\alpha \nu }{\frac {d\delta x^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}\right)+{\frac {\partial L_{\text{I}}}{\partial x^{\alpha }}}\delta x^{\alpha }+{\frac {\partial L_{\text{I}}}{\partial {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}}}{\frac {d\delta x^{\alpha }}{dt}}\\&={\frac {1}{2}}mg_{\mu \nu ,\alpha }\delta x^{\alpha }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}-{\frac {d}{dt}}\left(mg_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\delta x^{\alpha }+{\frac {\partial L_{\text{I}}}{\partial x^{\alpha }}}\delta x^{\alpha }-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L_{\text{I}}}{\partial {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}}}\right)\delta x^{\alpha }+{\frac {d(\cdots )}{dt}}\,.\end{aligned}}}$

Esto da la ecuación de movimiento.

${\displaystyle 0={\frac {1}{2}}mg_{\mu \nu ,\alpha }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}-{\frac {d}{dt}}\left(mg_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)+f_{\alpha }}$

dónde

${\displaystyle f_{\alpha }={\frac {\partial L_{\text{I}}}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L_{\text{I}}}{\partial {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}}}\right)}$

es la fuerza no gravitacional sobre la partícula. (Para que m sea independiente del tiempo, debemos tener f _α dx ^α / dt = 0 .)

Al reorganizar se obtiene la ecuación de fuerza.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(m{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)=-m\Gamma _{\mu \sigma }^{\nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\sigma }}{dt}}+g^{\nu \alpha }f_{\alpha }}$

donde Γ es el símbolo de Christoffel , que describe el campo gravitacional.

Si lo dejamos

${\displaystyle p^{\nu }=m{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}$

sea ​​el momento lineal (cinético) para una partícula con masa, entonces

${\displaystyle {\frac {dp^{\nu }}{dt}}=-\Gamma _{\mu \sigma }^{\nu }p^{\mu }{\frac {dx^{\sigma }}{dt}}+g^{\nu \alpha }f_{\alpha }}$

y

${\displaystyle {\frac {dx^{\nu }}{dt}}={\frac {p^{\nu }}{p^{0}}}}$

válido incluso para una partícula sin masa.

Ejemplos de relatividad general

Partícula de prueba relativista general en un campo electromagnético

En la relatividad general , el primer término generaliza (incluye) tanto la energía cinética clásica como la interacción con el campo gravitacional. Para una partícula cargada en un campo electromagnético, el lagrangiano viene dado por

${\displaystyle L(x,{\dot {x}})=-mc^{2}{\sqrt {-c^{-2}g_{\mu \nu }(x(\tau )){\frac {dx^{\mu }(\tau )}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }(\tau )}{d\tau }}}}+q{\frac {dx^{\mu }(\tau )}{d\tau }}A_{\mu }(x(\tau ))\,.}$

Si las cuatro coordenadas del espacio-tiempo x ^μ se dan en unidades arbitrarias (es decir, sin unidades), entonces g _μν es el tensor métrico simétrico de rango 2 , que también es el potencial gravitatorio. Además, A _μ es el potencial electromagnético de 4 vectores.

Existe una formulación equivalente del lagrangiano relativista, que tiene dos ventajas:

• permite una generalización a partículas sin masa y taquiones;
• Se basa en una función de energía en lugar de una función de longitud, de modo que no contiene una raíz cuadrada.

En esta formulación alternativa, el lagrangiano viene dado por

${\displaystyle L(x,{\dot {x}},e)={\frac {1}{2\,e(\lambda )}}g_{\mu \nu }(x(\lambda ))\,{\frac {dx^{\mu }(\lambda )}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }(\lambda )}{d\lambda }}-{\frac {e(\lambda )\,m^{2}\,c^{2}}{2}}+q\,A_{\mu }(x(\lambda )){\frac {dx^{\mu }(\lambda )}{d\lambda }}}$,

donde es un parámetro afín arbitrario y es un parámetro auxiliar que puede verse como un campo einbein a lo largo de la línea de mundo. En el lagrangiano original con la raíz cuadrada, la relación energía-momento aparece como una restricción primaria que también es una restricción de primera clase . En esta reformulación, este ya no es el caso. En cambio, la relación energía-momento aparece como la ecuación de movimiento para el campo auxiliar . Por lo tanto, la restricción es ahora una restricción secundaria que sigue siendo una restricción de primera clase , lo que refleja la invariancia de la acción bajo la reparametrización del parámetro afín . Después de que se ha derivado la ecuación de movimiento, uno debe fijar el campo auxiliar . La elección del calibre estándar es la siguiente: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle e}$

• Si se fija, se fija automáticamente , es decir, el parámetro afín se fija para que sea el momento adecuado. ${\displaystyle m^{2}>0}$ ${\displaystyle e=|m|^{-1}}$ ${\displaystyle \lambda =\tau }$
• Si se corrige, se fija automáticamente , es decir, el parámetro afín se fija para que tenga la longitud adecuada. ${\displaystyle m^{2}<0}$ ${\displaystyle e=|m\,c|^{-1}}$ ${\displaystyle \lambda =s}$
• Si , no hay ninguna opción que fije el parámetro afín a un parámetro físico. En consecuencia, hay cierta libertad para fijar el campo auxiliar. Las dos opciones comunes son: ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle \lambda }$
  • Arreglo . En este caso, no conlleva una dependencia del parámetro afín , sino que el parámetro afín se mide en unidades de tiempo por unidad de masa, es decir . ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle [\lambda ]=T/M}$
  • Fix , donde es la energía de la partícula. En este caso, el parámetro afín se mide en unidades de tiempo, es decir , pero conserva una dependencia del parámetro afín . ${\displaystyle e=c^{2}E(\lambda )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle [\lambda ]=T}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \lambda }$

Véase también

• Mecánica relativista
• Lema fundamental del cálculo de variaciones
• Coordenadas canónicas
• Derivada funcional
• Coordenadas generalizadas
• Mecánica hamiltoniana
• Óptica hamiltoniana
• Análisis lagrangiano (aplicaciones de la mecánica lagrangiana)
• Punto de Lagrangiano
• Sistema lagrangiano
• Mecánica no autónoma
• Problema restringido de tres cuerpos
• El problema de Plateau

Notas al pie

1. El elemento de línea al cuadrado es el invariante de Lorentz

   ${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=\eta _{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }=c^{2}dt^{2}-d\mathbf {r} ^{2}\,,}$

   que toma los mismos valores en todos los marcos de referencia inerciales . Aquí η _αβ son los componentes del tensor métrico de Minkowski , dx ^α = ( cdt , d r ) = ( cdt , dx , dy , dz ) son los componentes del cuatrivector de posición diferencial , se utiliza la convención de suma sobre los índices espaciotemporales covariantes y contravariantes α y β , cada índice toma el valor 0 para componentes temporales, y 1, 2, 3 para componentes espaciales, y

   ${\displaystyle d\mathbf {r} ^{2}\equiv d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \equiv dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

   es una abreviatura de la diferencial cuadrada de las coordenadas de posición de la partícula. Dividir por c ² dt ² permite la conversión al tiempo de coordenadas de laboratorio de la siguiente manera:

   ${\displaystyle {\frac {d\tau ^{2}}{dt^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}=1-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {d\mathbf {r} ^{2}}{dt^{2}}}={\frac {1}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})^{2}}}}$

   de modo que

   ${\displaystyle d\tau ={\frac {1}{c}}{\sqrt {\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}}}dt={\frac {dt}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}\,.}$

Citas

1. Foster y Nightingale 1995, pág. 62-63
2. Hobson, Efstathiou y Lasenby 2006, págs. 79-80
3. Goldstein 1980, pág. 328
4. Hobson, Efstathiou y Lasenby 2006, págs. 79-80
5. Landau y Lifshitz 1975, pág. 26
6. Goldstein 1980, pág. 324
7. Hand y Finch 1998, pág. 551
8. Goldstein 1980, pág. 323
9. Goldstein, Poole y Safko 2002, pág. 314
10. Hand y Finch 1998, pág. 534

Referencias

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