Álgebras CCR y CAR

Relaciones de conmutación o anticonmutación canónica

En matemáticas y física, las álgebras CCR (denominadas relaciones de conmutación canónicas ) y las álgebras CAR (denominadas relaciones de anticonmutación canónicas) surgen del estudio mecánico cuántico de los bosones y los fermiones , respectivamente. Desempeñan un papel destacado en la mecánica estadística cuántica ^[1] y en la teoría cuántica de campos .

CCR y CAR como *-álgebras

Sea un espacio vectorial real dotado de una forma bilineal antisimétrica real no singular (es decir, un espacio vectorial simpléctico ). La *-álgebra unital generada por elementos de sujeto a las relaciones ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle fg-gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

Para cualquier in se denomina álgebra de relaciones de conmutación canónica (CCR) . La unicidad de las representaciones de esta álgebra cuando es de dimensión finita se analiza en el teorema de Stone-von Neumann . ${\displaystyle f,~g}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Si está equipado con una forma bilineal simétrica real no singular en cambio, el *-álgebra unital generada por los elementos del sujeto a las relaciones ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle fg+gf=(f,g),\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

para cualquier en se llama álgebra de relaciones de anticonmutación canónica (CAR) . ${\displaystyle f,~g}$ ${\displaystyle V}$

El álgebra C* de CCR

Existe un significado distinto, pero estrechamente relacionado, del álgebra CCR, llamado C*-álgebra CCR. Sea un espacio vectorial simpléctico real con forma simpléctica no singular . En la teoría de álgebras de operadores , el álgebra CCR sobre es el C*-álgebra unital generado por elementos sujetos a ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{W(f):~f\in H\}}$

${\displaystyle W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g),\,}$

${\displaystyle W(f)^{*}=W(-f).\,}$

Estas se denominan la forma de Weyl de las relaciones de conmutación canónicas y, en particular, implican que cada una es unitaria y . Es bien sabido que el álgebra CCR es un álgebra simple (a menos que la forma simplética sea degenerada) no separable y es única hasta el isomorfismo. ^[2] ${\displaystyle W(f)}$ ${\displaystyle W(0)=1}$

Cuando es un espacio de Hilbert complejo y está dado por la parte imaginaria del producto interno, el álgebra CCR se representa fielmente en el espacio de Fock simétrico sobre estableciendo ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}\|f\|^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}},\ldots \right),}$

para cualquier . Los operadores de campo se definen para cada uno como el generador del grupo unitario de un parámetro en el espacio de Fock simétrico. Estos son operadores no acotados autoadjuntos , sin embargo satisfacen formalmente ${\displaystyle f,g\in H}$ ${\displaystyle B(f)}$ ${\displaystyle f\in H}$ ${\displaystyle (W(tf))_{t\in \mathbb {R} }}$

${\displaystyle B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\operatorname {Im} \langle f,g\rangle .}$

Como la asignación es real-lineal, los operadores definen un álgebra CCR en el sentido de la Sección 1. ${\displaystyle f\mapsto B(f)}$ ${\displaystyle B(f)}$ ${\displaystyle (H,2\operatorname {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

El álgebra C* de CAR

Sea un espacio de Hilbert. En la teoría de álgebras de operadores, el álgebra CAR es la única C*-compleción del *-álgebra unital compleja generada por elementos sujetos a las relaciones ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):~f\in H\}}$

${\displaystyle b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,}$

${\displaystyle b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,}$

${\displaystyle \lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,}$

${\displaystyle b(f)^{*}=b^{*}(f),\,}$

Para cualquier , . Cuando es separable, el álgebra CAR es un álgebra AF y, en el caso especial de dimensión infinita, a menudo se escribe como . ^[3] ${\displaystyle f,g\in H}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )}}$

Sea el espacio de Fock antisimétrico sobre y sea la proyección ortogonal sobre vectores antisimétricos: ${\displaystyle F_{a}(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P_{a}}$

${\displaystyle P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,}$

El álgebra CAR se representa fielmente mediante el establecimiento ${\displaystyle F_{a}(H)}$

${\displaystyle b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,}$

para todos y . El hecho de que estos formen un C*-álgebra se debe al hecho de que los operadores de creación y aniquilación en el espacio de Fock antisimétrico son operadores acotados genuinos . Además, los operadores de campo satisfacen ${\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle B(f):=b^{*}(f)+b(f)}$

${\displaystyle B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,}$

dando la relación con la Sección 1.

Generalización de la superálgebra

Sea un espacio vectorial real - graduado equipado con una superforma bilineal antisimétrica no singular (es decir ) tal que es real si o es un elemento par e imaginario si ambos son impares. El *-álgebra unital generada por los elementos de sujeto a las relaciones ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle (g,f)=-(-1)^{|f||g|}(f,g)}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle fg-(-1)^{|f||g|}gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,~g^{*}=g\,}$

para cualesquiera dos elementos puros en es la generalización obvia de superálgebra que unifica los CCR con los CAR: si todos los elementos puros son pares, se obtiene un CCR, mientras que si todos los elementos puros son impares, se obtiene un CAR. ${\displaystyle f,~g}$ ${\displaystyle V}$

En matemáticas, la estructura abstracta de las álgebras CCR y CAR, sobre cualquier cuerpo, no solo los números complejos, se estudia con el nombre de álgebras de Weyl y Clifford , donde se han acumulado muchos resultados significativos. Uno de ellos es que las generalizaciones graduadas de las álgebras de Weyl y Clifford permiten la formulación sin base de las relaciones de conmutación y anticonmutación canónicas en términos de una forma bilineal no degenerada simpléctica y simétrica. Además, los elementos binarios en esta álgebra de Weyl graduada dan una versión sin base de las relaciones de conmutación de las álgebras de Lie ortogonales simplécticas e indefinidas . ^[4]

Véase también

• Estadísticas de Bose-Einstein
• Estadísticas de Fermi-Dirac
• Glosario de la teoría de cuerdas
• Grupo de Heisenberg
• Transformación de Bogoliubov
• (−1) ^F

Referencias

1. Bratteli, Ola ; Robinson, Derek W. (1997). Álgebras de operadores y mecánica estadística cuántica: v.2 . Springer, 2.ª ed. ISBN 978-3-540-61443-2.
2. Petz, Denes (1990). Una invitación al álgebra de las relaciones de conmutación canónicas. Editorial de la Universidad de Lovaina. ISBN 978-90-6186-360-1.
3. Evans, David E .; Kawahigashi, Yasuyuki (1998). Simetrías cuánticas en álgebras de operadores . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851175-5..
4. Roger Howe (1989). "Observaciones sobre la teoría clásica de invariantes". Transactions of the American Mathematical Society . 313 (2): 539–570. doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X . JSTOR  2001418.