En física , especialmente en la teoría cuántica de campos , la regularización es un método para modificar observables que tienen singularidades con el fin de hacerlos finitos mediante la introducción de un parámetro adecuado llamado regulador . El regulador, también conocido como "corte", modela nuestra falta de conocimiento sobre física en escalas no observadas (por ejemplo, escalas de tamaño pequeño o grandes niveles de energía). Compensa (y requiere) la posibilidad de separación de escalas para que se pueda descubrir "nueva física" en aquellas escalas que la teoría actual no puede modelar, al tiempo que permite que la teoría actual brinde predicciones precisas como una "teoría efectiva" dentro de su escala de uso prevista.
Se diferencia de la renormalización , otra técnica para controlar los infinitos sin asumir nueva física, mediante el ajuste de la retroalimentación de autointeracción.
Durante muchas décadas, la regularización fue controvertida incluso entre sus inventores, ya que combina afirmaciones físicas y epistemológicas en las mismas ecuaciones. Sin embargo, ahora se entiende bien y ha demostrado que produce predicciones útiles y precisas.
Los procedimientos de regularización tratan expresiones infinitas, divergentes y sin sentido introduciendo un concepto auxiliar de regulador (por ejemplo, la distancia mínima en el espacio que es útil, en caso de que las divergencias surjan de efectos físicos de corta distancia). El resultado físico correcto se obtiene en el límite en el que el regulador desaparece (en nuestro ejemplo, ), pero la virtud del regulador es que, para su valor finito, el resultado es finito.
Sin embargo, el resultado suele incluir términos proporcionales a expresiones como que no están bien definidas en el límite . La regularización es el primer paso para obtener un resultado completamente finito y significativo; en la teoría cuántica de campos, suele ir seguida de una técnica relacionada, pero independiente, llamada renormalización . La renormalización se basa en el requisito de que algunas cantidades físicas (expresadas por expresiones aparentemente divergentes como ) sean iguales a los valores observados. Tal restricción permite calcular un valor finito para muchas otras cantidades que parecían divergentes.
La existencia de un límite cuando ε tiende a cero y la independencia del resultado final del regulador son hechos no triviales. La razón subyacente para ellos radica en la universalidad, como lo demostraron Kenneth Wilson y Leo Kadanoff , y la existencia de una transición de fase de segundo orden . A veces, no es posible tomar el límite cuando ε tiende a cero. Este es el caso cuando tenemos un polo de Landau y para acoplamientos no renormalizables como la interacción de Fermi . Sin embargo, incluso para estos dos ejemplos, si el regulador solo da resultados razonables para (donde es un límite de energía superior) y estamos trabajando con escalas del orden de , los reguladores seguirán dando aproximaciones bastante precisas. La razón física por la que no podemos tomar el límite de ε yendo a cero es la existencia de nueva física por debajo de Λ.
No siempre es posible definir una regularización tal que el límite de ε que tiende a cero sea independiente de la regularización. En este caso, se dice que la teoría contiene una anomalía . Las teorías anómalas se han estudiado en gran detalle y a menudo se basan en el célebre teorema del índice de Atiyah-Singer o en variaciones del mismo (véase, por ejemplo, la anomalía quiral ).
El problema de los infinitos surgió por primera vez en la electrodinámica clásica de partículas puntuales en el siglo XIX y principios del XX.
La masa de una partícula cargada debe incluir la masa-energía en su campo electrostático ( masa electromagnética ). Suponga que la partícula es una capa esférica cargada de radio r e . La masa-energía en el campo es
que se vuelve infinita cuando r e → 0 . Esto implica que la partícula puntual tendría una inercia infinita , lo que la haría incapaz de acelerarse. Por cierto, el valor de r e que hace igual a la masa del electrón se llama radio clásico del electrón , que ( factores de ajuste y restauración de c y ) resulta ser
donde es la constante de estructura fina , y es la longitud de onda Compton del electrón.
Regularización: La teoría de la física clásica fracasa en escalas pequeñas, por ejemplo, la diferencia entre un electrón y una partícula puntual que se muestra arriba. Para abordar este problema se requieren nuevos tipos de restricciones físicas adicionales. Por ejemplo, en este caso, suponer un radio finito del electrón (es decir, regularizar la masa-energía del electrón) es suficiente para explicar el sistema por debajo de un cierto tamaño. Argumentos de regularización similares funcionan en otros problemas de renormalización. Por ejemplo, una teoría puede ser válida en un conjunto estrecho de condiciones, pero debido a cálculos que involucran infinitos o singularidades, puede fracasar en otras condiciones o escalas. En el caso del electrón, otra forma de evitar la masa-energía infinita mientras se conserva la naturaleza puntual de la partícula es postular pequeñas dimensiones adicionales sobre las cuales la partícula podría "extenderse" en lugar de restringir su movimiento únicamente en el espacio 3D. Esta es precisamente la motivación detrás de la teoría de cuerdas y otros modelos multidimensionales que incluyen múltiples dimensiones temporales . En lugar de la existencia de una nueva física desconocida, asumiendo la existencia de interacciones de partículas con otras partículas circundantes en el entorno, la renormalización ofrece una estrategia alternativa para resolver infinitos en tales problemas clásicos.
Los tipos específicos de procedimientos de regularización incluyen:
Las predicciones perturbativas de la teoría cuántica de campos sobre la dispersión cuántica de partículas elementales , implícitas en una densidad lagrangiana correspondiente, se calculan utilizando las reglas de Feynman , un método de regularización para evitar las divergencias ultravioleta a fin de obtener resultados finitos para los diagramas de Feynman que contienen bucles y un esquema de renormalización . El método de regularización da como resultado funciones de Green de n puntos regularizadas ( propagadores ), y un procedimiento de limitación adecuado (un esquema de renormalización) conduce entonces a elementos de matriz S perturbativos . Estos son independientes del método de regularización particular utilizado y permiten modelar de forma perturbativa los procesos físicos mensurables (secciones transversales, amplitudes de probabilidad, anchos de decaimiento y tiempos de vida de los estados excitados). Sin embargo, hasta ahora no se puede considerar que ninguna función de Green regularizada de n puntos conocida esté basada en una teoría físicamente realista de dispersión cuántica, ya que la derivación de cada una de ellas ignora algunos de los principios básicos de la física convencional (por ejemplo, al no ser invariante respecto de Lorentz , al introducir partículas no físicas con una métrica negativa o estadísticas erróneas, o un espacio-tiempo discreto, o al reducir la dimensionalidad del espacio-tiempo, o alguna combinación de estos). Por lo tanto, los métodos de regularización disponibles se entienden como dispositivos técnicos formalistas, desprovistos de cualquier significado físico directo. Además, existen escrúpulos sobre la renormalización. Para una historia y comentarios sobre este problema conceptual abierto de más de medio siglo de antigüedad, véase, por ejemplo, [3] [4] [5].
Como parece que los vértices de las series de Feynman no regularizadas describen adecuadamente las interacciones en la dispersión cuántica, se supone que sus divergencias ultravioleta se deben al comportamiento asintótico de alta energía de los propagadores de Feynman. Por lo tanto, es un enfoque prudente y conservador retener los vértices en las series de Feynman y modificar solo los propagadores de Feynman para crear una serie de Feynman regularizada. Este es el razonamiento detrás de la regularización covariante formal de Pauli-Villars mediante la modificación de los propagadores de Feynman a través de partículas auxiliares no físicas, cf. [6] y la representación de la realidad física mediante diagramas de Feynman.
En 1949, Pauli conjeturó que existe una regularización realista, que está implícita en una teoría que respeta todos los principios establecidos de la física contemporánea. [6] [7] Por lo tanto, sus propagadores (i) no necesitan ser regularizados, y (ii) pueden considerarse como una regularización de los propagadores utilizados en las teorías cuánticas de campos que podrían reflejar la física subyacente. Los parámetros adicionales de una teoría de este tipo no necesitan ser eliminados (es decir, la teoría no necesita renormalización) y pueden proporcionar alguna información nueva sobre la física de la dispersión cuántica, aunque pueden resultar experimentalmente insignificantes. Por el contrario, cualquier método de regularización actual introduce coeficientes formales que eventualmente deben eliminarse mediante renormalización.
Paul Dirac fue persistente y extremadamente crítico con los procedimientos de renormalización. En 1963 escribió: “… en la teoría de la renormalización tenemos una teoría que ha desafiado todos los intentos de los matemáticos por hacerla valer. Me inclino a sospechar que la teoría de la renormalización es algo que no sobrevivirá en el futuro…” [8] Además observó que “se pueden distinguir entre dos procedimientos principales para un físico teórico. Uno de ellos es trabajar desde la base experimental… El otro procedimiento es trabajar desde la base matemática. Se examina y critica la teoría existente. Se intenta señalar sus fallos y luego se intenta eliminarlos. La dificultad aquí es eliminar los fallos sin destruir los grandes éxitos de la teoría existente”. [9]
En 1972, Abdus Salam señaló: "Los infinitos de la teoría de campos que se encontraron por primera vez en el cálculo del electrón por parte de Lorentz han persistido en la electrodinámica clásica durante setenta años y en la electrodinámica cuántica durante unos treinta y cinco. Estos largos años de frustración han dejado en el sujeto un curioso afecto por los infinitos y una creencia apasionada de que son una parte inevitable de la naturaleza; tanto es así que incluso la sugerencia de una esperanza de que, después de todo, puedan evitarse -y calcularse valores finitos para las constantes de renormalización- se considera irracional". [10] [11]
Sin embargo, en opinión de Gerard 't Hooft , “la historia nos dice que si nos topamos con algún obstáculo, incluso si parece una mera formalidad o una simple complicación técnica, debemos examinarlo con atención. La naturaleza podría estar diciéndonos algo y deberíamos averiguar de qué se trata”. [12]
La dificultad de una regularización realista es que hasta ahora no existe ninguna, aunque nada podría destruirse con su enfoque de abajo hacia arriba; y no existe una base experimental para ello.
En 1963, Dirac, al examinar distintos problemas teóricos, sugirió: "Creo que se necesitarán ideas separadas para resolver estos distintos problemas y que se resolverán uno a la vez a través de etapas sucesivas en la futura evolución de la física. En este punto, me encuentro en desacuerdo con la mayoría de los físicos. Se inclinan a pensar que se descubrirá una idea maestra que resolverá todos estos problemas juntos. Creo que es pedir demasiado esperar que alguien pueda resolver todos estos problemas juntos. Uno debería separarlos uno de otro tanto como sea posible e intentar abordarlos por separado. Y creo que el desarrollo futuro de la física consistirá en resolverlos uno a la vez, y que después de que cualquiera de ellos haya sido resuelto, todavía quedará un gran misterio sobre cómo abordar los siguientes". [8]
Según Dirac, " la electrodinámica cuántica es el dominio de la física que más conocemos, y presumiblemente tendrá que ser puesta en orden antes de que podamos esperar hacer algún progreso fundamental con otras teorías de campo, aunque estas continuarán desarrollándose sobre una base experimental". [9]
Las dos observaciones anteriores de Dirac sugieren que deberíamos empezar a buscar una regularización realista en el caso de la electrodinámica cuántica (EDQ) en el espacio-tiempo de Minkowski de cuatro dimensiones , comenzando con la densidad lagrangiana de la EQQ original . [8] [9]
La formulación de la integral de trayectorias proporciona la forma más directa de la densidad lagrangiana a la serie de Feynman correspondiente en su forma invariante de Lorentz. [5] La parte de campo libre de la densidad lagrangiana determina los propagadores de Feynman, mientras que el resto determina los vértices. Como se considera que los vértices de QED describen adecuadamente las interacciones en la dispersión de QED, tiene sentido modificar solo la parte de campo libre de la densidad lagrangiana para obtener una serie de Feynman regularizada de manera que la fórmula de reducción de Lehmann-Symanzik-Zimmermann proporcione una matriz S perturbativa que: (i) sea invariante de Lorentz y unitaria; (ii) involucre solo las partículas de QED; (iii) dependa únicamente de los parámetros de QED y de los introducidos por la modificación de los propagadores de Feynman; para valores particulares de estos parámetros, es igual a la matriz S perturbativa de QED; y (iv) exhibe las mismas simetrías que la matriz S perturbativa QED. Llamemos a esta regularización la regularización realista mínima y comencemos a buscar las partes de campo libre modificadas correspondientes de la densidad lagrangiana QED.
Según Bjorken y Drell , tendría sentido desde el punto de vista físico evitar las divergencias ultravioletas utilizando una descripción más detallada que la que pueden proporcionar las ecuaciones diferenciales de campo. Y Feynman señaló sobre el uso de ecuaciones diferenciales: "... para la difusión de neutrones es sólo una aproximación que es buena cuando la distancia sobre la que estamos mirando es grande en comparación con el camino libre medio. Si miráramos más de cerca, veríamos neutrones individuales circulando". Y luego se preguntó: "¿Podría ser que el mundo real consista en pequeños X-ons que sólo se pueden ver a distancias muy pequeñas? ¿Y que en nuestras mediciones siempre estemos observando a una escala tan grande que no podamos ver estos pequeños X-ons, y que por eso obtenemos las ecuaciones diferenciales? ... ¿Son [por lo tanto] también correctas sólo como una imitación suavizada de un mundo microscópico realmente mucho más complicado?" [13]
Ya en 1938, Heisenberg [14] propuso que una teoría cuántica de campos puede proporcionar sólo una descripción idealizada y a gran escala de la dinámica cuántica, válida para distancias mayores que una cierta longitud fundamental , esperada también por Bjorken y Drell en 1965. La observación precedente de Feynman proporciona una posible razón física para su existencia; o bien es eso o es sólo otra forma de decir lo mismo (hay una unidad fundamental de distancia) pero sin ofrecer información nueva.
La necesidad de términos de regularización en cualquier teoría cuántica de campos de la gravedad cuántica es una motivación importante para la física más allá del modelo estándar . Las infinitudes de las fuerzas no gravitacionales en la teoría cuántica de campos se pueden controlar solo mediante la renormalización , pero se requiere una regularización adicional (y, por lo tanto, una nueva física) únicamente para la gravedad. Los regularizadores modelan y resuelven el problema de la ruptura de la teoría cuántica de campos a escalas pequeñas y, por lo tanto, muestran claramente la necesidad de que entre en juego alguna otra teoría más allá de la teoría cuántica de campos a estas escalas. A. Zee (Quantum Field Theory in a Nutshell, 2003) considera que esto es un beneficio del marco de regularización: las teorías pueden funcionar bien en sus dominios previstos, pero también contienen información sobre sus propias limitaciones y señalan claramente dónde se necesita una nueva física.
