Regularización dimensional

Método para evaluar integrales divergentes

En física teórica , la regularización dimensional es un método introducido por Giambiagi y Bollini ^[1] así como –independientemente y de manera más completa ^[2] – por 't Hooft y Veltman ^[3] para regularizar integrales en la evaluación de diagramas de Feynman ; en otras palabras, asignándoles valores que son funciones meromórficas de un parámetro complejo d , la continuación analítica del número de dimensiones del espacio-tiempo.

La regularización dimensional escribe una integral de Feynman como una integral que depende de la dimensión del espacio-tiempo d y de las distancias al cuadrado ( x _i − x _j ) ² de los puntos del espacio-tiempo x _i , ... que aparecen en ella. En el espacio euclidiano , la integral a menudo converge para −Re( d ) suficientemente grande, y puede continuarse analíticamente desde esta región hasta una función meromórfica definida para todo complejo d . En general, habrá un polo en el valor físico (normalmente 4) de d , que debe cancelarse mediante renormalización para obtener cantidades físicas. Etingof (1999) demostró que la regularización dimensional está matemáticamente bien definida, al menos en el caso de campos euclidianos masivos, utilizando el polinomio de Bernstein-Sato para llevar a cabo la continuación analítica.

Aunque el método se entiende mejor cuando se restan los polos y d se reemplaza nuevamente por 4, también ha dado algunos resultados positivos cuando se toma d para acercarse a otro valor entero donde la teoría parece estar fuertemente acoplada, como en el caso del punto fijo de Wilson-Fisher . Un salto más es tomar en serio la interpolación a través de dimensiones fraccionarias. Esto ha llevado a algunos autores a sugerir que la regularización dimensional se puede utilizar para estudiar la física de cristales que macroscópicamente parecen ser fractales . ^[4]

Se ha argumentado que la regularización de la función Zeta y la regularización dimensional son equivalentes ya que utilizan el mismo principio de utilizar la continuación analítica para que una serie o integral converja. ^[5]

Ejemplo: potencial de una línea cargada infinita

^[6]

Consideremos una línea cargada infinita con densidad de carga , y calculamos el potencial de un punto alejado de la línea. La integral diverge: donde ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle V(x)=A\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$$ ${\displaystyle A=s/(4\pi \epsilon _{0}).}$

Dado que la línea cargada tiene una "simetría esférica" ​​unidimensional (que en una dimensión es simplemente simetría especular), podemos reescribir la integral para explotar la simetría esférica: donde primero eliminamos la dependencia de la longitud dividiendo por una unidad de longitud , luego convertimos la integral sobre en una integral sobre la 1-esfera , seguida de una integral sobre todos los radios de la 1-esfera. $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+t^{2}}}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {vol} (S^{1})dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Ahora generalizamos esto en dimensión . El volumen de una esfera d es , donde es la función gamma . Ahora la integral se convierte en Cuando , la integral está dominada por su cola, es decir, donde (en notación theta grande ). Por lo tanto , y por lo tanto el campo eléctrico es , como debería. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle {\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {r^{d-1}dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}}$$ ${\displaystyle d=1-\epsilon }$ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {r^{d-1}dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}\sim \int _{c}^{\infty }r^{d-2}dr={\frac {1}{d-1}}c^{d-1}=\epsilon ^{-1}c^{-\epsilon },}$ ${\displaystyle c=\Theta (x/x_{0})}$ ${\displaystyle V(x)\sim (x_{0}/x)^{\epsilon }/\epsilon }$ ${\displaystyle V'(x)\sim x^{-1}}$

Ejemplo

Supongamos que uno desea regularizar dimensionalmente una integral de bucle que es logarítmicamente divergente en cuatro dimensiones, como

${\displaystyle I=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}.}$

Primero, escribimos la integral en un número general no entero de dimensiones , donde más tarde se tomará como pequeño, Si el integrando solo depende de , podemos aplicar la fórmula ^[7] Para dimensiones enteras como , esta fórmula se reduce a integrales familiares sobre capas delgadas como . Para dimensiones no enteras, definimos el valor de la integral de esta manera por continuación analítica. Esto da Nótese que la integral nuevamente diverge como , pero es finita para valores pequeños arbitrarios . ${\displaystyle d=4-\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle I=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}.}$$ ${\displaystyle p^{2}}$ $${\displaystyle \int d^{d}p\,f(p^{2})={\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }dp\,p^{d-1}f(p^{2}).}$$ ${\displaystyle d=3}$ ${\textstyle \int _{0}^{\infty }dp\,4\pi p^{2}f(p^{2})}$ $${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }{\frac {dp}{(2\pi )^{4-\varepsilon }}}{\frac {2\pi ^{(4-\varepsilon )/2}}{\Gamma \left({\frac {4-\varepsilon }{2}}\right)}}{\frac {p^{3-\varepsilon }}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}={\frac {2^{\varepsilon -4}\pi ^{{\frac {\varepsilon }{2}}-1}}{\sin \left({\frac {\pi \varepsilon }{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)}}m^{-\varepsilon }={\frac {1}{8\pi ^{2}\varepsilon }}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}\left(\ln {\frac {m^{2}}{4\pi }}+\gamma \right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ).}$$ ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$

Referencias

1. Bollini 1972, pág. 20.
2. Bietenholz, Wolfgang; Prado, Lilian (1 de febrero de 2014). "Física revolucionaria en la Argentina reaccionaria". Física Hoy . 67 (2): 38–43. Bibcode :2014PhT....67b..38B. doi : 10.1063/PT.3.2277 . ISSN  0031-9228.
3. Hooft, G. 't; Veltman, M. (1972), "Regularización y renormalización de campos de calibración", Nuclear Physics B , 44 (1): 189–213, Bibcode :1972NuPhB..44..189T, doi :10.1016/0550-3213(72)90279-9, hdl : 1874/4845 , ISSN  0550-3213
4. Le Guillou, JC; Zinn-Justin, J. (1987). "Exponentes críticos precisos para sistemas tipo Ising en dimensiones no enteras". Journal de Physique . 48 .
5. A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti y S. Zerbini, Aspectos analíticos del campo cuántico , World Scientific Publishing, 2003, ISBN 981-238-364-6 
6. Olness, Fredrick; Scalise, Randall (marzo de 2011). "Regularización, renormalización y análisis dimensional: la regularización dimensional se encuentra con la E&M de primer año". American Journal of Physics . 79 (3): 306–312. arXiv : 0812.3578 . doi :10.1119/1.3535586. ISSN  0002-9505. S2CID  13148774.
7. Peskin, Michael Edward (2019). Introducción a la teoría cuántica de campos. Daniel V. Schroeder. Boca Raton. ISBN 978-0-201-50397-5.OCLC 1101381398  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Lectura adicional

• Bollini, Carlos; Giambiagi, Juan Jose (1972), "Renormalización dimensional: el número de dimensiones como parámetro de regularización", Il Nuovo Cimento B , 12 (1): 20–26, Bibcode :1972NCimB..12...20B, doi : 10.1007/BF02895558, S2CID  123505054
• Etingof, Pavel (1999), "Nota sobre regularización dimensional", Campos y cuerdas cuánticas: un curso para matemáticos, vol. 1, (Princeton, NJ, 1996/1997) , Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 597–607, ISBN 978-0-8218-2012-4, Sr.  1701608
• Hooft, G. 't; Veltman, M. (1972), "Regularización y renormalización de campos de calibración", Nuclear Physics B , 44 (1): 189–213, Bibcode :1972NuPhB..44..189T, doi :10.1016/0550-3213(72)90279-9, hdl : 1874/4845 , ISSN  0550-3213