En la teoría matemática de grupos finitos , el concepto de p -grupo regular captura algunas de las propiedades más importantes de los p -grupos abelianos , pero es lo suficientemente general como para incluir la mayoría de los p -grupos "pequeños" . Los p -grupos regulares fueron introducidos por Phillip Hall (1934).
Se dice que un p -grupo finito G es regular si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes (Hall 1959, Cap. 12.4), (Huppert 1967, Kap. III §10):
Muchos grupos p conocidos son regulares:
Sin embargo, muchos grupos p conocidos no son regulares:
Un grupo p es regular si y sólo si cada subgrupo generado por dos elementos es regular.
Todo subgrupo y grupo cociente de un grupo regular es regular, pero el producto directo de grupos regulares no necesita ser regular.
Un 2-grupo es regular si y solo si es abeliano. Un 3-grupo con dos generadores es regular si y solo si su subgrupo derivado es cíclico . Todo p -grupo de orden impar con subgrupo derivado cíclico es regular.
El subgrupo de un p -grupo G generado por los elementos de orden que dividen a p k se denota Ω k ( G ) y los grupos regulares se comportan bien en que Ω k ( G ) es precisamente el conjunto de elementos de orden que dividen a p k . El subgrupo generado por todas las p k -ésimas potencias de elementos en G se denota ℧ k ( G ) . En un grupo regular, el índice [G:℧ k ( G )] es igual al orden de Ω k ( G ). De hecho, los conmutadores y las potencias interactúan de formas particularmente simples (Huppert 1967, Kap III §10, Satz 10.8). Por ejemplo, dados los subgrupos normales M y N de un p -grupo regular G y los enteros no negativos m y n , uno tiene [℧ m ( M ),℧ n ( N )] = ℧ m + n ([ M , N ]).