modelo tobit

Modelo estadístico para regresados ​​censurados

En estadística, un modelo tobit es cualquiera de una clase de modelos de regresión en los que el rango observado de la variable dependiente está censurado de alguna manera. ^[1] El término fue acuñado por Arthur Goldberger en referencia a James Tobin , ^{[2] [a]} quien desarrolló el modelo en 1958 para mitigar el problema de los datos inflados a cero para las observaciones del gasto de los hogares en bienes duraderos . ^{[3] [b]} Debido a que el método de Tobin se puede extender fácilmente para manejar muestras truncadas y otras muestras seleccionadas no aleatoriamente, ^[c] algunos autores adoptan una definición más amplia del modelo tobit que incluye estos casos. ^[4]

La idea de Tobin era modificar la función de verosimilitud para que refleje la probabilidad de muestreo desigual para cada observación dependiendo de si la variable dependiente latente caía por encima o por debajo del umbral determinado. ^[5] Para una muestra que, como en el caso original de Tobin, fue censurada desde abajo en cero, la probabilidad de muestreo para cada observación no límite es simplemente la altura de la función de densidad apropiada . Para cualquier observación de límite, es la distribución acumulativa, es decir, la integral bajo cero de la función de densidad apropiada. La función de probabilidad tobit es, por tanto, una mezcla de densidades y funciones de distribución acumulativa. ^[6]

La función de probabilidad

A continuación se muestran las funciones de probabilidad y logaritmo de probabilidad para un tobit tipo I. Este es un tobit que se censura desde abajo en el momento de la variable latente . Al escribir la función de probabilidad, primero definimos una función indicadora : ${\displaystyle y_{L}}$ ${\displaystyle y_{j}^{*}\leq y_{L}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I(y)={\begin{cases}0&{\text{if }}y\leq y_{L},\\1&{\text{if }}y>y_{L}.\end{cases}}}$

A continuación, sea la función de distribución acumulativa normal estándar y la función de densidad de probabilidad normal estándar . Para un conjunto de datos con N observaciones, la función de probabilidad para un tobit tipo I es ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\beta ,\sigma )=\prod _{j=1}^{N}\left({\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)^{I(y_{j})}\left(1-\Phi \left({\frac {X_{j}\beta -y_{L}}{\sigma }}\right)\right)^{1-I(y_{j})}}$

y la probabilidad logarítmica viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\mathcal {L}}(\beta ,\sigma )&=\sum _{j=1}^{n}I(y_{j})\log \left({\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)+(1-I(y_{j}))\log \left(1-\Phi \left({\frac {X_{j}\beta -y_{L}}{\sigma }}\right)\right)\\&=\sum _{y_{j}>y_{L}}\log \left({\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)+\sum _{y_{j}=y_{L}}\log \left(\Phi \left({\frac {y_{L}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)\end{aligned}}}$

Reparametrización

La probabilidad logarítmica, como se indicó anteriormente, no es globalmente cóncava , lo que complica la estimación de máxima verosimilitud . Olsen sugirió la reparametrización simple y , lo que resultó en una probabilidad logarítmica transformada, ${\displaystyle \beta =\delta /\gamma }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=\gamma ^{-2}}$

${\displaystyle \log {\mathcal {L}}(\delta ,\gamma )=\sum _{y_{j}>y_{L}}\left\{\log \gamma +\log \left[\varphi \left(\gamma y_{j}-X_{j}\delta \right)\right]\right\}+\sum _{y_{j}=y_{L}}\log \left[\Phi \left(\gamma y_{L}-X_{j}\delta \right)\right]}$

que es globalmente cóncavo en términos de los parámetros transformados. ^[7]

Para el modelo truncado (tobit II), Orme demostró que si bien la probabilidad logarítmica no es globalmente cóncava, sí lo es en cualquier punto estacionario bajo la transformación anterior. ^{[8] [9]}

Consistencia

Si el parámetro de relación se estima haciendo una regresión de lo observado en , el estimador de regresión de mínimos cuadrados ordinarios resultante es inconsistente . Producirá una estimación sesgada hacia abajo del coeficiente de pendiente y una estimación sesgada hacia arriba de la intersección. Takeshi Amemiya (1973) ha demostrado que el estimador de máxima verosimilitud sugerido por Tobin para este modelo es consistente. ^[10] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Interpretación

El coeficiente no debe interpretarse como el efecto de sobre , como se haría con un modelo de regresión lineal ; Es un error común. En cambio, debe interpretarse como la combinación de (1) el cambio de aquellos que están por encima del límite, ponderado por la probabilidad de estar por encima del límite; y (2) el cambio en la probabilidad de estar por encima del límite, ponderado por el valor esperado de si está por encima. ^[11] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$

Variaciones del modelo tobit

Se pueden producir variaciones del modelo tobit cambiando dónde y cuándo se produce la censura . Amemiya (1985, p. 384) clasifica estas variaciones en cinco categorías (tobit tipo I – tobit tipo V), donde el tobit tipo I representa el primer modelo descrito anteriormente. Schnedler (2005) proporciona una fórmula general para obtener estimadores de probabilidad consistentes para estas y otras variaciones del modelo tobit. ^[12]

Tipo i

El modelo Tobit es un caso especial de modelo de regresión censurado , porque la variable latente no siempre puede observarse mientras la variable independiente sí lo es. Una variación común del modelo tobit es censurar a un valor diferente de cero: ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{L}}$

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{i}^{*}>y_{L},\\y_{L}&{\text{if }}y_{i}^{*}\leq y_{L}.\end{cases}}}$

Otro ejemplo es la censura de los valores anteriores . ${\displaystyle y_{U}}$

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{i}^{*}<y_{U},\\y_{U}&{\text{if }}y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}$

Otro modelo más surge cuando se censura desde arriba y desde abajo al mismo tiempo. ${\displaystyle y_{i}}$

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{L}<y_{i}^{*}<y_{U},\\y_{L}&{\text{if }}y_{i}^{*}\leq y_{L},\\y_{U}&{\text{if }}y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}$

El resto de los modelos se presentarán acotados desde abajo en 0, aunque esto se puede generalizar como se hizo para el Tipo I.

Tipo II

Los modelos tobit tipo II introducen una segunda variable latente. ^[13]

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

En el tobit Tipo I, la variable latente absorbe tanto el proceso de participación como el resultado del interés. El tobit tipo II permite que el proceso de participación (selección) y el resultado de interés sean independientes, condicionados a datos observables.

El modelo de selección de Heckman cae dentro del tobit Tipo II, ^[14] que a veces se llama Heckit en honor a James Heckman . ^[15]

Tipo III

El tipo III introduce una segunda variable dependiente observada.

${\displaystyle y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

El modelo de Heckman entra en este tipo.

Tipo IV

El tipo IV introduce una tercera variable dependiente observada y una tercera variable latente.

${\displaystyle y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}<0.\end{cases}}}$

Tipo V

Al igual que en el Tipo II, en el Tipo V sólo se observa el signo de . ${\displaystyle y_{1i}^{*}}$

${\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0.\end{cases}}}$

Versión no paramétrica

Si la variable latente subyacente no tiene una distribución normal, se deben utilizar cuantiles en lugar de momentos para analizar la variable observable . El estimador CLAD de Powell ofrece una posible forma de lograrlo. ^[dieciséis] ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ ${\displaystyle y_{i}}$

Aplicaciones

Por ejemplo, se han aplicado modelos Tobit para estimar los factores que afectan la recepción de subvenciones, incluidas las transferencias financieras distribuidas a los gobiernos subnacionales que pueden solicitar estas subvenciones. En estos casos, los beneficiarios de las subvenciones no pueden recibir importes negativos y, por tanto, los datos se censuran a la izquierda. Por ejemplo, Dahlberg y Johansson (2002) analizan una muestra de 115 municipios (42 de los cuales recibieron una subvención). ^[17] Dubois y Fattore (2011) utilizan un modelo Tobit para investigar el papel de varios factores en la recepción de fondos de la Unión Europea aplicando los gobiernos subnacionales polacos. ^[18] Sin embargo, los datos pueden quedar censurados en un punto superior a cero, con el riesgo de que se produzcan especificaciones erróneas. Ambos estudios aplican Probit y otros modelos para comprobar la robustez. Los modelos Tobit también se han aplicado en el análisis de la demanda para dar cabida a observaciones con gastos cero en algunos bienes. En una aplicación relacionada de modelos tobit, se ha utilizado un sistema de modelos de regresión tobit no lineales para estimar conjuntamente un sistema de demanda de marca con variantes homocedásticas, heterocedásticas y heterocedásticas generalizadas. ^[19]

Ver también

• Modelo de obstáculos normal truncado
• Variable dependiente limitada
• Rectificador (redes neuronales)
• Modelo de regresión truncado
• Modelo dinámico de efectos no observados § Variable dependiente censurada
• Modelo probit , el nombre tobit es un juego de palabras tanto con Tobin, su creador, como con sus similitudes con los modelos probit.

Notas

1. Cuando se le preguntó por qué se llamaba modelo "tobit", en lugar de Tobin, James Tobin explicó que este término fue introducido por Arthur Goldberger , ya sea como un acrónimo de " el probit de Tobin ", o como una referencia a la novela The Caine Mutiny . una novela del amigo de Tobin, Herman Wouk , en la que Tobin hace un cameo como "Sr. Tobit". Tobin informa haberle preguntado a Goldberger cuál era, y el hombre se negó a responderlo. Véase Shiller, Robert J. (1999). "La entrevista ET: profesor James Tobin". Teoría econométrica . 15 (6): 867–900. doi :10.1017/S0266466699156056. S2CID  122574727.
2. Anders Hald sugirió de forma independiente un modelo casi idéntico en 1949, véase Hald, A. (1949). "Estimación de máxima verosimilitud de los parámetros de una distribución normal truncada en un punto conocido". Revista actuarial escandinava . 49 (4): 119-134. doi :10.1080/03461238.1949.10419767.
3. Una muestra se censura cuando se observa para todas las observaciones , pero el valor verdadero de se conoce solo para un rango restringido de observaciones. Si la muestra se trunca , ambos y solo se observan si se encuentran dentro del rango restringido. Véase Breen, Richard (1996). Modelos de regresión: datos censurados, muestras seleccionadas o truncados. Mil robles: salvia. págs. 2–4. ISBN ${\displaystyle (y_{i},\mathbf {x} _{i})}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ 0-8039-5710-6.

Referencias

1. Hayashi, Fumio (2000). Econometría . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 518–521. ISBN 0-691-01018-8.
2. Goldberger, Arthur S. (1964). Teoría econométrica . Nueva York: J. Wiley. págs. 253–55. ISBN 9780471311010.
3. Tobin, James (1958). "Estimación de relaciones para variables dependientes limitadas" (PDF) . Econométrica . 26 (1): 24–36. doi :10.2307/1907382. JSTOR  1907382.
4. Amemiya, Takeshi (1984). "Modelos Tobit: una encuesta". Revista de Econometría . 24 (1–2): 3–61. doi :10.1016/0304-4076(84)90074-5.
5. Kennedy, Peter (2003). Una guía de econometría (Quinta ed.). Cambridge: Prensa del MIT. págs. 283–284. ISBN 0-262-61183-X.
6. Bierens, Herman J. (2004). Introducción a los fundamentos matemáticos y estadísticos de la econometría . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 207.
7. Olsen, Randall J. (1978). "Nota sobre la unicidad del estimador de máxima verosimilitud para el modelo Tobit". Econométrica . 46 (5): 1211-1215. doi :10.2307/1911445. JSTOR  1911445.
8. Orme, Chris (1989). "Sobre la unicidad del estimador de máxima verosimilitud en modelos de regresión truncados". Revisiones econométricas . 8 (2): 217–222. doi :10.1080/07474938908800171.
9. Iwata, Shigeru (1993). "Una nota sobre las múltiples raíces de la probabilidad del registro Tobit". Revista de Econometría . 56 (3): 441–445. doi :10.1016/0304-4076(93)90129-S.
10. Amemiya, Takeshi (1973). "Análisis de regresión cuando la variable dependiente se trunca a la normalidad". Econométrica . 41 (6): 997–1016. doi :10.2307/1914031. JSTOR  1914031.
11. McDonald, John F.; Moffit, Robert A. (1980). "Los usos del análisis Tobit". La Revista de Economía y Estadística . 62 (2): 318–321. doi :10.2307/1924766. JSTOR  1924766.
12. Schnedler, Wendelin (2005). "Estimación de verosimilitud para vectores aleatorios censurados" (PDF) . Revisiones econométricas . 24 (2): 195–217. doi :10.1081/ETC-200067925. hdl :10419/127228. S2CID  55747319.
13. Amemiya, Takeshi (1985). "Modelos Tobit". Econometría avanzada . Cambridge, Masa: Harvard University Press. pag. 384.ISBN​ 0-674-00560-0. OCLC  11728277.
14. Heckman, James J. (1979). "Sesgo de selección de muestra como error de especificación". Econométrica . 47 (1): 153–161. doi :10.2307/1912352. ISSN  0012-9682. JSTOR  1912352.
15. Sigelman, Lee; Zeng, Langche (1999). "Análisis de datos censurados y seleccionados de muestra con modelos Tobit y Heckit". Análisis Político . 8 (2): 167–182. doi : 10.1093/oxfordjournals.pan.a029811. ISSN  1047-1987. JSTOR  25791605.
16. Powell, James L (1 de julio de 1984). "Estimación de las desviaciones mínimas absolutas para el modelo de regresión censurado". Revista de Econometría . 25 (3): 303–325. CiteSeerX 10.1.1.461.4302 . doi :10.1016/0304-4076(84)90004-6. 
17. Dahlberg, Matz; Johansson, Eva (1 de marzo de 2002). "Sobre el comportamiento de compra de votos de los gobiernos en ejercicio". Revista estadounidense de ciencias políticas . 96 (1): 27–40. CiteSeerX 10.1.1.198.4112 . doi :10.1017/S0003055402004215. ISSN  1537-5943. S2CID  12718473. 
18. Dubois, Hans FW; Fattore, Giovanni (1 de julio de 2011). "Asignación de Fondos Públicos mediante Evaluación de Proyectos". Estudios regionales y federales . 21 (3): 355–374. doi :10.1080/13597566.2011.578827. ISSN  1359-7566. S2CID  154659642.
19. Baltas, George (2001). "Sistemas de demanda de marca coherentes con la utilidad con consumo de categoría endógena: principios y aplicaciones de marketing". Ciencias de la decisión . 32 (3): 399–422. doi :10.1111/j.1540-5915.2001.tb00965.x. ISSN  0011-7315.

Otras lecturas

• Amemiya, Takeshi (1985). "Modelos Tobit". Econometría avanzada . Oxford: Albahaca Blackwell. págs. 360–411. ISBN 0-631-13345-3.
• Breen, Richard (1996). "El modelo Tobit para datos censurados". Modelos de regresión: datos censurados, muestras seleccionadas o truncados . Mil robles: salvia. págs. 12-33. ISBN 0-8039-5710-6.
• Gouriéroux, Christian (2000). "El modelo Tobit". Econometría de Variables Cualitativas Dependientes . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 170-207. ISBN 0-521-58985-1.
• Rey, Gary (1989). "Modelos con selección no aleatoria". Metodología política unificadora: la teoría de la probabilidad de la inferencia estadística . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 208-230. ISBN 0-521-36697-6.
• Maddala, GS (1983). "Modelos de regresión censurados y truncados". Variables cualitativas y dependientes limitadas en econometría . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 149-196. ISBN 0-521-24143-X.