Relación reflexiva

Relación binaria que relaciona cada elemento consigo mismo

En matemáticas , una relación binaria en un conjunto es reflexiva si relaciona cada elemento de un conjunto consigo mismo. ^{[1] [2]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un ejemplo de una relación reflexiva es la relación " es igual a " en el conjunto de los números reales , ya que todo número real es igual a sí mismo. Se dice que una relación reflexiva tiene la propiedad reflexiva o que posee reflexividad . Junto con la simetría y la transitividad , la reflexividad es una de las tres propiedades que definen las relaciones de equivalencia .

Definiciones

Se dice que una relación en el conjunto es reflexiva si para cada , . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (x,x)\in R}$

De manera equivalente, dejando denotar la relación de identidad en , la relación es reflexiva si . ${\displaystyle \operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\in X\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {I} _{X}\subseteq R}$

El cierre reflexivo de es la unión que puede definirse de manera equivalente como la relación reflexiva más pequeña (con respecto a ) en que es un superconjunto de Una relación es reflexiva si y solo si es igual a su cierre reflexivo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\cup \operatorname {I} _{X},}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle R}$

La reducción reflexiva o núcleo irreflexivo de es la relación más pequeña (con respecto a ) en que tiene el mismo cierre reflexivo que Es igual a La reducción reflexiva de puede, en cierto sentido, verse como una construcción que es el "opuesto" del cierre reflexivo de Por ejemplo, el cierre reflexivo de la desigualdad estricta canónica en los reales es la desigualdad no estricta habitual mientras que la reducción reflexiva de es ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle <.}$

Definiciones relacionadas

Existen varias definiciones relacionadas con la propiedad reflexiva. La relación se denomina: ${\displaystyle R}$

irreflexivo ,antirreflexivo oaliorelativo

^[3] si no relaciona ningún elemento consigo mismo; es decir, si se cumple para ningún Una relación es irreflexiva si y solo si su complemento en es reflexivo. Una relación asimétrica es necesariamente irreflexiva. Una relación transitiva e irreflexiva es necesariamente asimétrica. ${\displaystyle xRx}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X\times X}$

izquierda cuasi-reflexiva

Si siempre que son tales que entonces necesariamente ^[4] ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle xRy,}$ ${\displaystyle xRx.}$

derecho cuasi-reflexivo

si siempre son tales que entonces necesariamente ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle xRy,}$ ${\displaystyle yRy.}$

cuasi-reflexivo

si cada elemento que forma parte de alguna relación está relacionado consigo mismo. Explícitamente, esto significa que siempre que sean tales que entonces necesariamente y Equivalentemente, una relación binaria es cuasi-reflexiva si y solo si es cuasi-reflexiva izquierda y cuasi-reflexiva derecha. Una relación es cuasi-reflexiva si y solo si su cierre simétrico es cuasi-reflexivo izquierdo (o derecho). ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle xRy,}$ ${\displaystyle xRx}$ ${\displaystyle yRy.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\cup R^{\operatorname {T} }}$

antisimétrico

si siempre son tales que entonces necesariamente ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle xRy{\text{ and }}yRx,}$ ${\displaystyle x=y.}$

coreflexivo

si siempre que son tales que entonces necesariamente ^[5] Una relación es correflexiva si y sólo si su cierre simétrico es antisimétrico . ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle xRy,}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle R}$

Una relación reflexiva en un conjunto no vacío no puede ser irreflexiva, ni asimétrica ( se llama asimétrica si implica no ), ni antitransitiva ( es antitransitiva si implica no ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle yRx}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle xRy{\text{ and }}yRz}$ ${\displaystyle xRz}$

Ejemplos

Ejemplos de relaciones reflexivas incluyen:

• "es igual a" ( igualdad )
• "es un subconjunto de" (inclusión de conjuntos)
• "divide" ( divisibilidad )
• "es mayor o igual que"
• "es menor o igual a"

Ejemplos de relaciones irreflexivas incluyen:

• "no es igual a"
• "es coprimo con" en los números enteros mayores que 1
• "es un subconjunto apropiado de"
• "es mayor que"
• "es menor que"

Un ejemplo de una relación irreflexiva, que significa que no relaciona ningún elemento consigo mismo, es la relación "mayor que" ( ) sobre los números reales . No toda relación que no sea reflexiva es irreflexiva; es posible definir relaciones donde algunos elementos están relacionados consigo mismos pero otros no (es decir, ni todos ni ninguno lo están). Por ejemplo, la relación binaria "el producto de y es par" es reflexiva sobre el conjunto de los números pares , irreflexiva sobre el conjunto de los números impares y ni reflexiva ni irreflexiva sobre el conjunto de los números naturales . ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Un ejemplo de una relación cuasireflexiva es "tiene el mismo límite que" en el conjunto de secuencias de números reales: no toda secuencia tiene un límite y, por lo tanto, la relación no es reflexiva, pero si una secuencia tiene el mismo límite que alguna secuencia, entonces tiene el mismo límite que ella misma. Un ejemplo de una relación cuasireflexiva izquierda es una relación euclidiana izquierda , que siempre es cuasireflexiva izquierda pero no necesariamente cuasireflexiva derecha y, por lo tanto, no necesariamente cuasireflexiva. ${\displaystyle R}$

Un ejemplo de una relación correflexiva es la relación entre números enteros en la que cada número impar está relacionado consigo mismo y no existen otras relaciones. La relación de igualdad es el único ejemplo de una relación reflexiva y correflexiva, y cualquier relación correflexiva es un subconjunto de la relación de identidad. La unión de una relación correflexiva y una relación transitiva en el mismo conjunto siempre es transitiva.

Número de relaciones reflexivas

El número de relaciones reflexivas en un conjunto de elementos es ^[6] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n^{2}-n}.}$

Téngase en cuenta que S ( n , k ) se refiere a números de Stirling del segundo tipo .

Lógica filosófica

Los autores de lógica filosófica suelen utilizar una terminología diferente. Las relaciones reflexivas en el sentido matemático se denominan totalmente reflexivas en lógica filosófica, y las relaciones cuasi-reflexivas se denominan reflexivas . ^{[7] [8]}

Notas

1. Levy 1979, pág. 74
2. Schmidt 2010
3. Este término se debe a CS Peirce ; véase Russell 1920, pág. 32. Russell también introduce dos términos equivalentes que están contenidos en o implican diversidad .
4. La Enciclopedia Británica llama a esta propiedad cuasi-reflexividad.
5. Fonseca de Oliveira y Pereira Cunha Rodrigues 2004, p. 337
6. Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros A053763
7. Hausman, Kahane y Tidman 2013, págs. 327-328
8. Clarke y Behling 1998, pág. 187

Referencias

• Clarke, DS; Behling, Richard (1998). Lógica deductiva: una introducción a las técnicas de evaluación y la teoría lógica . University Press of America. ISBN 0-7618-0922-8.
• Fonseca de Oliveira, José Nuño; Pereira Cunha Rodrigues, César de Jesus (2004), "Transposición de relaciones: de funciones Maybe a tablas hash", Matemáticas de la construcción de programas , Springer: 334–356
• Hausman, Alan; Kahane, Howard; Tidman, Paul (2013). Lógica y filosofía: una introducción moderna . Wadsworth. ISBN 1-133-05000-X.
• Levy, A. (1979), Teoría básica de conjuntos , Perspectivas en lógica matemática, Dover, ISBN 0-486-42079-5
• Lidl, R.; Pilz, G. (1998), Álgebra abstracta aplicada , Textos de pregrado en matemáticas , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98290-6
• Quine, WV (1951), Lógica matemática , Edición revisada, reimpresa en 2003, Harvard University Press, ISBN 0-674-55451-5
• Russell, Bertrand (1920). Introducción a la filosofía matemática (PDF) (2.ª ed.). Londres: George Allen & Unwin, Ltd. (Edición corregida en línea, febrero de 2010)
• Schmidt, Gunther (2010), Matemáticas relacionales , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7

Enlaces externos

• "Reflexividad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]