En geometría y cristalografía , una red de Bravais , llamada así en honor a Auguste Bravais (1850), [1] es una matriz infinita de puntos discretos generados por un conjunto de operaciones de traslación discretas descritas en un espacio tridimensional mediante
donde n i son números enteros cualesquiera y a i son vectores de traslación primitivos o vectores primitivos que se encuentran en direcciones diferentes (no necesariamente perpendiculares entre sí) y abarcan la red. La elección de vectores primitivos para una red de Bravais dada no es única. Un aspecto fundamental de cualquier red de Bravais es que, para cualquier elección de dirección, la red parece exactamente la misma desde cada uno de los puntos discretos de la red cuando se mira en esa dirección elegida.
El concepto de red de Bravais se utiliza para definir formalmente una disposición cristalina y sus fronteras (finitas). Un cristal está formado por uno o más átomos, llamados base o motivo , en cada punto de la red. La base puede estar formada por átomos , moléculas o cadenas de polímeros de materia sólida , y la red proporciona las ubicaciones de la base.
Dos redes de Bravais suelen considerarse equivalentes si tienen grupos de simetría isomorfos . En este sentido, hay 5 redes de Bravais posibles en el espacio bidimensional y 14 redes de Bravais posibles en el espacio tridimensional. Los 14 grupos de simetría posibles de las redes de Bravais son 14 de los 230 grupos espaciales . En el contexto de la clasificación de grupos espaciales, las redes de Bravais también se denominan clases de Bravais, clases aritméticas de Bravais o bandadas de Bravais. [2]
En cristalografía, existe el concepto de celda unitaria, que comprende el espacio entre puntos reticulares adyacentes, así como todos los átomos en ese espacio. Una celda unitaria se define como un espacio que, cuando se traduce a través de un subconjunto de todos los vectores descritos por , llena el espacio reticular sin superposiciones ni huecos. (Es decir, un espacio reticular es un múltiplo de una celda unitaria). [3]
Existen principalmente dos tipos de celdas unitarias: celdas unitarias primitivas y celdas unitarias convencionales. Una celda primitiva es el componente más pequeño de una red (o cristal) que, cuando se apila junto con operaciones de traslación de red, reproduce toda la red (o cristal). [4] Nótese que las traslaciones deben ser operaciones de traslación de red que hagan que la red parezca inalterada después de la traslación. Si se permitieran traslaciones arbitrarias, se podría hacer una celda primitiva con la mitad del tamaño de la verdadera y traducir con el doble de frecuencia, por ejemplo.
Otra forma de definir el tamaño de una celda primitiva que evita invocar operaciones de traducción de red es decir que la celda primitiva es el componente más pequeño posible de una red (o cristal) que puede repetirse para reproducir toda la red (o cristal) y que contiene exactamente un punto de red. En cualquiera de las dos definiciones, la celda primitiva se caracteriza por su pequeño tamaño.
Es evidente que existen muchas opciones de celdas que pueden reproducir toda la red cuando se apilan (dos mitades de red, por ejemplo), y el requisito de tamaño mínimo distingue a la celda primitiva de todas estas otras unidades repetitivas válidas. Si la red o el cristal es bidimensional, la celda primitiva tiene un área mínima; de la misma manera, en tres dimensiones, la celda primitiva tiene un volumen mínimo.
A pesar de este requisito rígido de tamaño mínimo, no existe una única elección de celda unitaria primitiva. De hecho, todas las celdas cuyos bordes sean vectores de traducción primitivos serán celdas unitarias primitivas. El hecho de que no exista una única elección de vectores de traducción primitivos para una red dada conduce a la multiplicidad de posibles celdas unitarias primitivas. Las celdas unitarias convencionales, por otro lado, no son necesariamente celdas de tamaño mínimo. Se eligen puramente por conveniencia y a menudo se usan con fines ilustrativos. Su definición es vaga.
Las celdas unitarias primitivas se definen como celdas unitarias con el menor volumen para un cristal dado. (Un cristal es una red y una base en cada punto de la red). Para tener el menor volumen de celda, una celda unitaria primitiva debe contener (1) solo un punto de la red y (2) la cantidad mínima de constituyentes de la base (por ejemplo, el número mínimo de átomos en una base). Para el primer requisito, contar el número de puntos de la red en una celda unitaria es tal que, si un punto de la red es compartido por m celdas unitarias adyacentes alrededor de ese punto de la red, entonces el punto se cuenta como 1/ m . El último requisito es necesario ya que hay cristales que pueden describirse mediante más de una combinación de una red y una base. Por ejemplo, un cristal, visto como una red con un solo tipo de átomo ubicado en cada punto de la red (la forma de base más simple), también puede verse como una red con una base de dos átomos. En este caso, una celda unitaria primitiva es una celda unitaria que tiene solo un punto reticular en la primera forma de describir el cristal para garantizar el menor volumen de celda unitaria.
Puede haber más de una forma de elegir una celda primitiva para un cristal dado y cada elección tendrá una forma de celda primitiva diferente, pero el volumen de la celda primitiva es el mismo para cada elección y cada elección tendrá la propiedad de que se puede establecer una correspondencia uno a uno entre las celdas unitarias primitivas y los puntos reticulares discretos sobre la red asociada. Todas las celdas unitarias primitivas con diferentes formas para un cristal dado tienen el mismo volumen por definición; para un cristal dado, si n es la densidad de puntos reticulares en una red que garantiza la cantidad mínima de constituyentes de base y v es el volumen de una celda primitiva elegida, entonces nv = 1, lo que resulta en v = 1/ n , por lo que cada celda primitiva tiene el mismo volumen de 1/ n . [3]
Entre todas las celdas primitivas posibles para un cristal dado, una celda primitiva obvia puede ser el paralelepípedo formado por un conjunto elegido de vectores de traslación primitivos. (De nuevo, estos vectores deben formar una red con la cantidad mínima de constituyentes de base.) [3] Es decir, el conjunto de todos los puntos donde y es el vector primitivo elegido. Esta celda primitiva no siempre muestra la simetría clara de un cristal dado. En este caso, a menudo se utiliza una celda unitaria convencional que muestra fácilmente la simetría del cristal. El volumen de la celda unitaria convencional será un múltiplo entero del volumen de la celda unitaria primitiva.
En dos dimensiones, cualquier red se puede especificar por la longitud de sus dos vectores de traslación primitivos y el ángulo entre ellos. Hay un número infinito de posibles redes que se pueden describir de esta manera. Se desea alguna forma de categorizar diferentes tipos de redes. Una forma de hacerlo es reconocer que algunas redes tienen simetría inherente. Se pueden imponer condiciones sobre la longitud de los vectores de traslación primitivos y sobre el ángulo entre ellos para producir varias redes simétricas. Estas simetrías a su vez se clasifican en diferentes tipos, como grupos de puntos (que incluyen simetrías especulares, simetrías de inversión y simetrías de rotación) y simetrías traslacionales. Por lo tanto, las redes se pueden categorizar en función de qué grupo de puntos o simetría traslacional se les aplica.
En dos dimensiones, el grupo de puntos más básico corresponde a la invariancia rotacional bajo 2π y π, o simetría rotacional uni y bidimensional. Esto en realidad se aplica automáticamente a todas las redes 2D y es el grupo de puntos más general. Las redes contenidas en este grupo (técnicamente todas las redes, pero convencionalmente todas las redes que no caen en ninguno de los otros grupos de puntos) se denominan redes oblicuas. A partir de ahí, hay 4 combinaciones más de grupos de puntos con elementos traslacionales (o equivalentemente, 4 tipos de restricción en las longitudes/ángulos de los vectores de traslación primitivos) que corresponden a las 4 categorías de redes restantes: cuadrada, hexagonal, rectangular y rectangular centrada. Por lo tanto, en total hay 5 redes de Bravais en 2 dimensiones.
Asimismo, en 3 dimensiones, existen 14 redes de Bravais: 1 categoría general de “cesta de basura” (triclínica) y 13 categorías más. Estos 14 tipos de redes se clasifican por sus grupos puntuales en 7 sistemas de redes (triclínica, monoclínica, ortorrómbica, tetragonal, cúbica, romboédrica y hexagonal).
En el espacio bidimensional hay 5 redes de Bravais, [5] agrupadas en cuatro sistemas de redes , que se muestran en la siguiente tabla. Debajo de cada diagrama se encuentra el símbolo de Pearson para esa red de Bravais.
Nota: En los diagramas de celdas unitarias de la siguiente tabla, los puntos de la red se representan mediante círculos negros y las celdas unitarias se representan mediante paralelogramos (que pueden ser cuadrados o rectángulos) delineados en negro. Aunque cada una de las cuatro esquinas de cada paralelogramo se conecta a un punto de la red, solo uno de los cuatro puntos de la red pertenece técnicamente a una celda unitaria determinada y cada uno de los otros tres puntos de la red pertenece a una de las celdas unitarias adyacentes. Esto se puede ver imaginando mover el paralelogramo de la celda unitaria ligeramente hacia la izquierda y ligeramente hacia abajo mientras se dejan fijos todos los círculos negros de los puntos de la red.
Las celdas unitarias se especifican de acuerdo con las longitudes relativas de los bordes de la celda ( a y b ) y el ángulo entre ellos ( θ ) . El área de la celda unitaria se puede calcular evaluando la norma ‖a × b‖ , donde a y b son los vectores de la red. Las propiedades de los sistemas de red se dan a continuación:
En el espacio tridimensional existen 14 redes de Bravais. Éstas se obtienen combinando uno de los siete sistemas de redes con uno de los tipos de centrado. Los tipos de centrado identifican las ubicaciones de los puntos de la red en la celda unitaria de la siguiente manera:
No se necesitan todas las combinaciones de sistemas reticulares y tipos de centrado para describir todas las redes posibles, ya que se puede demostrar que varias de ellas son, de hecho, equivalentes entre sí. Por ejemplo, la red monoclínica I puede describirse mediante una red monoclínica C mediante una elección diferente de los ejes cristalinos. De manera similar, todas las redes centradas en A o B pueden describirse mediante un centrado en C o P. Esto reduce el número de combinaciones a 14 redes Bravais convencionales, que se muestran en la tabla siguiente. [6] : 744 Debajo de cada diagrama se encuentra el símbolo de Pearson para esa red Bravais.
Nota: En los diagramas de celdas unitarias de la siguiente tabla se muestran todos los puntos de la red en el límite de la celda (esquinas y caras); sin embargo, no todos estos puntos de la red pertenecen técnicamente a la celda unitaria dada. Esto se puede ver imaginando mover la celda unitaria ligeramente en la dirección negativa de cada eje mientras se mantienen fijos los puntos de la red. En términos generales, esto se puede pensar como mover la celda unitaria ligeramente hacia la izquierda, ligeramente hacia abajo y ligeramente hacia afuera de la pantalla. Esto muestra que solo uno de los ocho puntos de la red en las esquinas (específicamente el frontal, el izquierdo y el inferior) pertenece a la celda unitaria dada (los otros siete puntos de la red pertenecen a celdas unitarias adyacentes). Además, solo uno de los dos puntos de la red que se muestran en la cara superior e inferior en la columna Centrada en la base pertenece a la celda unitaria dada. Finalmente, solo tres de los seis puntos de la red en las caras en la columna Centrada en la cara pertenecen a la celda unitaria dada.
Las celdas unitarias se especifican de acuerdo con seis parámetros de red que son las longitudes relativas de los bordes de la celda ( a , b , c ) y los ángulos entre ellos ( α , β , γ ), donde α es el ángulo entre b y c , β es el ángulo entre a y c , y γ es el ángulo entre a y b . El volumen de la celda unitaria se puede calcular evaluando el producto triple a · ( b × c ) , donde a , b y c son los vectores de red. Las propiedades de los sistemas de red se dan a continuación:
En el diagrama que aparece al principio de esta página se resume cierta información básica sobre los sistemas reticulares y las redes de Bravais en tres dimensiones. El polígono de siete lados (heptágono) y el número 7 en el centro indican los siete sistemas reticulares. Los heptágonos interiores indican los ángulos reticulares, los parámetros reticulares, las redes de Bravais y las notaciones de Schöenflies para los respectivos sistemas reticulares.
En cuatro dimensiones, hay 64 redes de Bravais. De ellas, 23 son primitivas y 41 centradas. Diez redes de Bravais se dividen en pares enantiomórficos . [7]
