Conjunto rectificable

En matemáticas , un conjunto rectificable es un conjunto que es uniforme en un cierto sentido de la teoría de la medida . Es una extensión de la idea de una curva rectificable a dimensiones superiores; en términos generales, un conjunto rectificable es una formulación rigurosa de un conjunto uniforme por partes. Como tal, tiene muchas de las propiedades deseables de las variedades uniformes , incluidos los espacios tangentes que se definen casi en todas partes . Los conjuntos rectificables son el objeto de estudio subyacente en la teoría de la medida geométrica .

Definición

Se dice que un subconjunto de Borel del espacio euclidiano es un conjunto rectificable si tiene dimensión de Hausdorff y existe una colección contable de mapas continuamente diferenciables. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}}$

${\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

de modo que la medida de Hausdorff de ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$

${\displaystyle E\setminus \bigcup _{i=0}^{\infty }f_{i}\left(\mathbb {R} ^{m}\right)}$

es cero. La barra invertida aquí denota la diferencia de conjuntos . De manera equivalente, se puede tomar como Lipschitz continuo sin alterar la definición. ^{[1] [2] [3]} Otros autores tienen definiciones diferentes, por ejemplo, no requieren que sea -dimensional, sino que requieren que sea una unión contable de conjuntos que son la imagen de un mapa de Lipschitz de algún subconjunto acotado de . ^[4] ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Se dice que un conjunto es puramente -irrectificable si para cada (continuo, diferenciable) , se tiene ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\left(E\cap f\left(\mathbb {R} ^{m}\right)\right)=0.}$

Un ejemplo estándar de un conjunto puramente 1-irrectificable en dos dimensiones es el producto cartesiano del conjunto Smith-Volterra-Cantor por sí mismo.

Conjuntos rectificables en espacios métricos

Federer (1969, pp. 251–252) da la siguiente terminología para conjuntos m -rectificables E en un espacio métrico general X.

1. E es rectificable cuando existe una función de Lipschitz para algún subconjunto acotado de sobre . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f:K\to E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle E}$
2. E es contablemente rectificable ${\displaystyle m}$ cuando E es igual a la unión de una familia contable de conjuntos rectificables. ${\displaystyle m}$
3. E es contablemente rectificable ${\displaystyle (\phi ,m)}$ cuando es una medida en X y hay un conjunto contablemente rectificable F tal que . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \phi (E\setminus F)=0}$
4. E es rectificable cuando E es rectificable contablemente y ${\displaystyle (\phi ,m)}$ ${\displaystyle (\phi ,m)}$ ${\displaystyle \phi (E)<\infty }$
5. E es puramente irrectifable ${\displaystyle (\phi ,m)}$ cuando es una medida en X y E no incluye ningún conjunto rectificable F con . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \phi (F)>0}$

La definición 3 es la que más se acerca a la definición anterior para subconjuntos de espacios euclidianos. ${\displaystyle \phi ={\mathcal {H}}^{m}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$

Notas

1. Simon 1984, p. 58, llama a esta definición "contablemente m -rectificable".
2. "Conjunto rectificable", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
3. Weisstein, Eric W. "Conjunto rectificable". MathWorld . Consultado el 17 de abril de 2020 .
4. Federer (1969, págs. 3.2.14)

Referencias

• Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 153, Nueva York: Springer-Verlag, págs. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, Sr.  0257325
• TCO'Neil (2001) [1994], "Teoría de la medida geométrica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Simon, Leon (1984), Lectures on Geometric Measure Theory , Actas del Centro de Análisis Matemático, vol. 3, Canberra : Centro de Matemáticas y sus Aplicaciones (CMA), Universidad Nacional Australiana , págs. VII+272 (erratas sueltas), ISBN 0-86784-429-9, Zbl  0546.49019

Enlaces externos

• Conjunto rectificable en Enciclopedia de Matemáticas