Suma de Riemann

Técnica de aproximación en cálculo integral

Cuatro de los métodos para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos izquierdo y derecho realizan la aproximación utilizando los puntos finales derecho e izquierdo de cada subintervalo, respectivamente. Los métodos superior e inferior realizan la aproximación utilizando los valores de los puntos finales más grande y más pequeño de cada subintervalo, respectivamente. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos se dividen a la mitad desde la parte superior izquierda hasta la parte inferior derecha.

En matemáticas , una suma de Riemann es un cierto tipo de aproximación de una integral mediante una suma finita. Recibe su nombre del matemático alemán del siglo XIX Bernhard Riemann . Una aplicación muy común es en la integración numérica , es decir, la aproximación del área de funciones o líneas en un gráfico, donde también se conoce como la regla del rectángulo . También se puede aplicar para aproximar la longitud de curvas y otras aproximaciones.

La suma se calcula dividiendo la región en formas ( rectángulos , trapecios , parábolas o cubos , a veces infinitesimalmente pequeños) que juntas forman una región similar a la región que se está midiendo, luego se calcula el área de cada una de estas formas y, finalmente, se suman todas estas áreas pequeñas. Este enfoque se puede utilizar para encontrar una aproximación numérica para una integral definida incluso si el teorema fundamental del cálculo no facilita la búsqueda de una solución de forma cerrada .

Como la región de las formas pequeñas no suele tener exactamente la misma forma que la región que se está midiendo, la suma de Riemann será diferente del área que se está midiendo. Este error se puede reducir dividiendo la región de forma más fina, utilizando formas cada vez más pequeñas. A medida que las formas se hacen cada vez más pequeñas, la suma se aproxima a la integral de Riemann .

Definición

Sea una función definida en un intervalo cerrado de los números reales, , y como una partición de , es decir Una suma de Riemann de sobre con partición se define como donde y . ^[1] Se podrían producir diferentes sumas de Riemann dependiendo de cuáles se elijan. Al final esto no importará, si la función es integrable de Riemann , cuando la diferencia o el ancho de los sumandos se aproxima a cero. ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b.}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i},}$$ ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle \Delta x_{i}}$

Tipos de sumas de Riemann

Opciones específicas para dar diferentes tipos de sumas de Riemann: ${\displaystyle x_{i}^{*}}$

• Si para todo i , el método es la regla de la izquierda ^{[2] [3]} y da una suma de Riemann por la izquierda . ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}}$
• Si para todo i , el método es la regla correcta ^{[2] [3]} y da una suma de Riemann correcta . ${\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}}$
• Si para todo i , el método es la regla del punto medio ^{[2] [3]} y da una suma de Riemann media . ${\displaystyle x_{i}^{*}=(x_{i}+x_{i-1})/2}$
• Si (es decir, el supremo de sobre ), el método es la regla superior y da una suma de Riemann superior o una suma de Darboux superior . ${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\sup f([x_{i-1},x_{i}])}$ ${\textstyle f}$ ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$
• Si (es decir, el ínfimo de f sobre ), el método es la regla inferior y da una suma de Riemann menor o una suma de Darboux menor . ${\displaystyle f(x_{i}^{*})=\inf f([x_{i-1},x_{i}])}$ ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$

Todos estos métodos de suma de Riemann se encuentran entre las formas más básicas de lograr la integración numérica . En términos generales, una función es integrable mediante el método de Riemann si todas las sumas de Riemann convergen a medida que la partición "se vuelve cada vez más fina".

Si bien no se deriva como una suma de Riemann, tomar el promedio de las sumas de Riemann izquierda y derecha es la regla trapezoidal y da una suma trapezoidal . Es una de las formas más simples de aproximar integrales utilizando promedios ponderados. A esta le siguen en complejidad la regla de Simpson y las fórmulas de Newton-Cotes .

Cualquier suma de Riemann en una partición dada (es decir, para cualquier elección entre y ) está contenida entre las sumas de Darboux inferior y superior. Esto forma la base de la integral de Darboux , que en última instancia es equivalente a la integral de Riemann. ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle x_{i-1}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Métodos de suma de Riemann

Los cuatro métodos de suma de Riemann suelen abordarse mejor con subintervalos de igual tamaño. Por lo tanto, el intervalo [ a , b ] se divide en subintervalos, cada uno de longitud ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Delta x={\frac {b-a}{n}}.}$$

Los puntos en la partición serán entonces $${\displaystyle a,\;a+\Delta x,\;a+2\Delta x,\;\ldots ,\;a+(n-2)\Delta x,\;a+(n-1)\Delta x,\;b.}$$

Regla de izquierda

Suma de Riemann izquierda de x ↦ x ³ sobre [0, 2] usando 4 subintervalos

Para la regla de la izquierda, la función se aproxima por sus valores en los extremos izquierdos de los subintervalos. Esto da múltiples rectángulos con base Δ x y altura f ( a + i Δ x ) . Al hacer esto para i = 0, 1, ..., n − 1 , y sumar las áreas resultantes, se obtiene $${\displaystyle S_{\mathrm {left} }=\Delta x\left[f(a)+f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b-\Delta x)\right].}$$

La suma de Riemann por la izquierda equivale a una sobreestimación si f es monótonamente decreciente en este intervalo, y a una subestimación si es monótonamente creciente . El error de esta fórmula será donde es el valor máximo del valor absoluto de en el intervalo. $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {left} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},}$$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$

Regla correcta

Suma de Riemann derecha de x ↦ x ³ sobre [0, 2] usando 4 subintervalos

Para la regla correcta, la función se aproxima por sus valores en los extremos derechos de los subintervalos. Esto da múltiples rectángulos con base Δ x y altura f ( a + i Δ x ) . Al hacer esto para i = 1, ..., n y sumar las áreas resultantes, se obtiene $${\displaystyle S_{\mathrm {right} }=\Delta x\left[f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}$$

La suma de Riemann correcta equivale a una subestimación si f es monótonamente decreciente y a una sobreestimación si es monótonamente creciente . El error de esta fórmula será donde es el valor máximo del valor absoluto de en el intervalo. $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {right} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},}$$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$

Regla del punto medio

Suma media de Riemann de x ↦ x ³ sobre [0, 2] usando 4 subintervalos

Para la regla del punto medio, la función se aproxima por sus valores en los puntos medios de los subintervalos. Esto da f ( a + Δ x /2) para el primer subintervalo, f ( a + 3Δ x /2) para el siguiente, y así sucesivamente hasta f ( b − Δ x /2) . Sumando las áreas resultantes se obtiene $${\displaystyle S_{\mathrm {mid} }=\Delta x\left[f\left(a+{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)+f\left(a+{\tfrac {3\Delta x}{2}}\right)+\dots +f\left(b-{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)\right].}$$

El error de esta fórmula será donde es el valor máximo del valor absoluto de sobre el intervalo. Este error es la mitad del de la suma trapezoidal; por lo tanto, la suma de Riemann media es la aproximación más precisa a la suma de Riemann. $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {mid} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}},}$$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$

Regla del punto medio generalizada

Una fórmula de regla de punto medio generalizada, también conocida como integración de punto medio mejorada, se da mediante donde denota derivada par. $${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=2\sum _{m=1}^{M}{\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{{\left(2M\right)^{2n+1}}\left({2n+1}\right)!}}{{\left.f^{(2n)}(x)\right|}_{x={\frac {m-1/2}{M}}}}}}\,\,,}$$ ${\displaystyle f^{(2n)}}$

Para una función definida en el intervalo , su integral es Por lo tanto, podemos aplicar esta fórmula generalizada de integración de punto medio suponiendo que . Esta fórmula es particularmente eficiente para la integración numérica cuando el integrando es una función altamente oscilante. ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}g(t)\,dt=\int _{0}^{b-a}g(\tau +a)\,d\tau =(b-a)\int _{0}^{1}g((b-a)x+a)\,dx.}$$ ${\displaystyle f(x)=(b-a)\,g((b-a)x+a)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Regla trapezoidal

Suma trapezoidal de x ↦ x ³ sobre [0, 2] usando 4 subintervalos

Para la regla del trapezoide, la función se aproxima por el promedio de sus valores en los extremos izquierdo y derecho de los subintervalos. Utilizando la fórmula del área para un trapezoide con lados paralelos b ₁ y b ₂ y altura h y sumando las áreas resultantes se obtiene ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}h(b_{1}+b_{2})}$ $${\displaystyle S_{\mathrm {trap} }={\tfrac {1}{2}}\Delta x\left[f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}$$

El error de esta fórmula será donde es el valor máximo del valor absoluto de . $${\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {trap} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},}$$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle f''(x)}$

La aproximación obtenida con la suma trapezoidal de una función es la misma que el promedio de las sumas de la izquierda y la derecha de esa función.

Conexión con la integración

Para una suma de Riemann unidimensional sobre el dominio , a medida que el tamaño máximo de un subintervalo se reduce a cero (es decir, el límite de la norma de los subintervalos tiende a cero), algunas funciones tendrán todas las sumas de Riemann convergentes al mismo valor. Este valor límite, si existe, se define como la integral de Riemann definida de la función sobre el dominio, ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\|\Delta x\|\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}.}$$

Para un dominio de tamaño finito, si el tamaño máximo de un subintervalo se reduce a cero, esto implica que el número de subintervalos tiende a infinito. Para particiones finitas, las sumas de Riemann son siempre aproximaciones al valor límite y esta aproximación mejora a medida que la partición se hace más fina. Las siguientes animaciones ayudan a demostrar cómo el aumento del número de subintervalos (mientras se reduce el tamaño máximo del subintervalo) aproxima mejor el "área" bajo la curva:

• 
  Suma de Riemann a la izquierda
• 
  Suma de Riemann correcta
• 
  Suma media de Riemann

Dado que aquí se supone que la función roja es una función suave , las tres sumas de Riemann convergerán al mismo valor a medida que el número de subintervalos tiende a infinito.

Ejemplo

Comparación de la suma de Riemann derecha con la integral de x ↦ x ² sobre . ${\textstyle [0,2]}$

Tomando un ejemplo, el área bajo la curva y = x ² sobre [0, 2] se puede calcular procedimentalmente utilizando el método de Riemann.

El intervalo [0, 2] se divide en primer lugar en n subintervalos, a cada uno de los cuales se le asigna un ancho de ; estos son los anchos de los rectángulos de Riemann (en adelante, "cajas"). Como se va a utilizar la suma de Riemann correcta, la secuencia de coordenadas x para las cajas será . Por lo tanto, la secuencia de las alturas de las cajas será . Es un hecho importante que , y . ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{1}^{2},x_{2}^{2},\ldots ,x_{n}^{2}}$ ${\displaystyle x_{i}={\tfrac {2i}{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}=2}$

El área de cada caja será y por lo tanto la n- ésima suma de Riemann derecha será: ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}\times x_{i}^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {2}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2i}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2n}{n}}\right)^{2}\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left(1+\dots +i^{2}+\dots +n^{2}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Si se considera el límite como n → ∞, se puede concluir que la aproximación se aproxima al valor real del área bajo la curva a medida que aumenta el número de casillas. Por lo tanto: $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\right)={\frac {8}{3}}.}$$

Este método concuerda con la integral definida calculada de formas más mecánicas: $${\displaystyle \int _{0}^{2}x^{2}\,dx={\frac {8}{3}}.}$$

Como la función es continua y aumenta monótonamente en el intervalo, una suma de Riemann derecha sobreestima la integral en la cantidad máxima (mientras que una suma de Riemann izquierda subestimaría la integral en la cantidad máxima). Este hecho, que se desprende intuitivamente de los diagramas, muestra cómo la naturaleza de la función determina la precisión con la que se estima la integral. Aunque son simples, las sumas de Riemann derecha e izquierda suelen ser menos precisas que las técnicas más avanzadas de estimación de una integral, como la regla del trapezoide o la regla de Simpson .

La función de ejemplo tiene una antiderivada fácil de encontrar, por lo que estimar la integral mediante sumas de Riemann es principalmente un ejercicio académico; sin embargo, debe recordarse que no todas las funciones tienen antiderivadas, por lo que estimar sus integrales mediante suma es prácticamente importante.

Dimensiones superiores

La idea básica de una suma de Riemann es "dividir" el dominio en partes mediante una partición, multiplicar el "tamaño" de cada parte por algún valor que la función tome en esa parte y sumar todos estos productos. Esto se puede generalizar para permitir sumas de Riemann para funciones en dominios de más de una dimensión.

Si bien intuitivamente el proceso de partición del dominio es fácil de entender, los detalles técnicos de cómo se puede dividir el dominio se vuelven mucho más complicados que en el caso unidimensional e involucran aspectos de la forma geométrica del dominio. ^[4]

Dos dimensiones

En dos dimensiones, el dominio puede dividirse en varias celdas bidimensionales de manera que . Cada celda puede interpretarse como si tuviera un "área" denotada por . ^[5] La suma de Riemann bidimensional es donde . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\textstyle A=\bigcup _{i}A_{i}}$ ${\displaystyle \Delta A_{i}}$ $${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*})\,\Delta A_{i},}$$ ${\displaystyle (x_{i}^{*},y_{i}^{*})\in A_{i}}$

Tres dimensiones

En tres dimensiones, el dominio se divide en varias celdas tridimensionales de manera que . Cada celda puede interpretarse como si tuviera un "volumen" denotado por . La suma de Riemann tridimensional es ^[6] donde . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\textstyle V=\bigcup _{i}V_{i}}$ ${\displaystyle \Delta V_{i}}$ $${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*},z_{i}^{*})\,\Delta V_{i},}$$ ${\displaystyle (x_{i}^{*},y_{i}^{*},z_{i}^{*})\in V_{i}}$

Número arbitrario de dimensiones

Las sumas de Riemann de dimensiones superiores siguen un patrón similar. Una suma de Riemann de dimensión n es donde , es decir, es un punto en la celda de dimensión n con volumen de dimensión n . $${\displaystyle S=\sum _{i}f(P_{i}^{*})\,\Delta V_{i},}$$ ${\displaystyle P_{i}^{*}\in V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \Delta V_{i}}$

Generalización

En términos generales, las sumas de Riemann se pueden escribir donde representa cualquier punto arbitrario contenido en el conjunto y es una medida del conjunto subyacente. En términos generales, una medida es una función que da un "tamaño" de un conjunto, en este caso el tamaño del conjunto ; en una dimensión esto a menudo se puede interpretar como una longitud, en dos dimensiones como un área, en tres dimensiones como un volumen, y así sucesivamente. $${\displaystyle S=\sum _{i}f(P_{i}^{*})\mu (V_{i}),}$$ ${\displaystyle P_{i}^{*}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle V_{i}}$

Véase también

• Antiderivada
• Método de Euler y método del punto medio , métodos relacionados para resolver ecuaciones diferenciales
• Integración de Lebesgue
• Integral de Riemann , límite de las sumas de Riemann a medida que la partición se vuelve infinitamente fina
• Regla de Simpson , un método numérico poderoso más poderoso que las sumas básicas de Riemann o incluso la regla del trapezoide
• Regla del trapecio , método numérico basado en el promedio de la suma de Riemann izquierda y derecha

Referencias

1. Hughes-Hallett, Deborah; McCullum, William G.; et al. (2005). Cálculo (4.ª ed.). Wiley. pág. 252.(Entre muchas variaciones equivalentes de la definición, esta referencia se parece mucho a la que se da aquí.)
2. Hughes-Hallett, Deborah; McCullum, William G.; et al. (2005). Cálculo (4.ª ed.). Wiley. pág. 340. Hasta ahora, tenemos tres formas de estimar una integral utilizando una suma de Riemann: 1. La regla de la izquierda utiliza el punto extremo izquierdo de cada subintervalo. 2. La regla de la derecha utiliza el punto extremo derecho de cada subintervalo. 3. La regla del punto medio utiliza el punto medio de cada subintervalo.
3. Ostebee, Arnold; Zorn, Paul (2002). Cálculo desde puntos de vista gráfico, numérico y simbólico (segunda edición). pág. M-33. Las sumas aproximadas por regla de la izquierda, regla de la derecha y regla del punto medio se ajustan a esta definición.
4. Swokowski, Earl W. (1979). Cálculo con geometría analítica (segunda edición). Boston, MA: Prindle, Weber & Schmidt. pp. 821–822. ISBN 0-87150-268-2.
5. Ostebee, Arnold; Zorn, Paul (2002). Cálculo desde puntos de vista gráfico, numérico y simbólico (segunda ed.). pág. M-34. Dividimos la región plana R en m regiones más pequeñas R ₁ , R ₂ , R ₃ , ..., R _m , quizás de diferentes tamaños y formas. El 'tamaño' de una subregión R _i se toma ahora como su área , denotada por Δ A _i .
6. Swokowski, Earl W. (1979). Cálculo con geometría analítica (segunda edición). Boston, MA: Prindle, Weber & Schmidt. pp. 857–858. ISBN 0-87150-268-2.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Suma de Riemann". MundoMatemático .
• Una simulación que muestra la convergencia de las sumas de Riemann