Reconstrucción tomográfica

Estimar propiedades de objetos a partir de un número finito de proyecciones

Reconstrucción tomográfica: Proyección, retroproyección y retroproyección filtrada

La reconstrucción tomográfica es un tipo de problema inverso multidimensional en el que el desafío es obtener una estimación de un sistema específico a partir de un número finito de proyecciones . La base matemática de la obtención de imágenes tomográficas fue establecida por Johann Radon . Un ejemplo notable de aplicaciones es la reconstrucción de la tomografía computarizada (TC), en la que se obtienen imágenes transversales de los pacientes de manera no invasiva. Los desarrollos recientes han permitido utilizar la transformada de Radon y su inversa para tareas relacionadas con la inserción de objetos realistas necesarios para probar y evaluar el uso de la tomografía computarizada en la seguridad aeroportuaria . ^[1]

Este artículo se aplica en general a los métodos de reconstrucción para todo tipo de tomografía , pero algunos de los términos y descripciones físicas se refieren directamente a la reconstrucción de la tomografía computarizada con rayos X.

Presentando la fórmula

Figura 1: Geometría de haces paralelos utilizada en tomografía y reconstrucción tomográfica. Cada proyección, resultante de la tomografía bajo un ángulo específico, está formada por el conjunto de integrales de línea que atraviesan el objeto.

Imagen tomográfica resultante de un cráneo de plástico. Los rayos X proyectados son claramente visibles en este corte tomado con una tomografía computarizada como artefactos de imagen , debido a la cantidad limitada de cortes de proyección en los ángulos.

La proyección de un objeto, resultante del proceso de medición tomográfica en un ángulo dado , se compone de un conjunto de integrales de línea (ver Fig. 1). Un conjunto de muchas de estas proyecciones bajo diferentes ángulos organizados en 2D se denomina sinograma (ver Fig. 3). En la TC de rayos X, la integral de línea representa la atenuación total del haz de rayos X a medida que viaja en línea recta a través del objeto. Como se mencionó anteriormente, la imagen resultante es un modelo 2D (o 3D) del coeficiente de atenuación . Es decir, deseamos encontrar la imagen . La forma más simple y fácil de visualizar el método de escaneo es el sistema de proyección paralela , tal como se utilizó en los primeros escáneres. Para esta discusión, consideramos los datos que se recopilarán como una serie de rayos paralelos, en la posición , a través de una proyección en el ángulo . Esto se repite para varios ángulos. La atenuación ocurre exponencialmente en el tejido: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mu (x,y)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,ds}\right)}$

donde es el coeficiente de atenuación en función de la posición. Por lo tanto, generalmente la atenuación total de un rayo en la posición , sobre la proyección en el ángulo , viene dada por la integral de línea: ${\displaystyle \mu (x,y)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\ln \left({\frac {I}{I_{0}}}\right)=-\int \mu (x,y)\,ds}$

Utilizando el sistema de coordenadas de la Figura 1, el valor de sobre el cual se proyectará el punto en ángulo viene dado por: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta =r\ }$

Así que la ecuación anterior se puede reescribir como

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (x\cos \theta +y\sin \theta -r)\,dx\,dy}$

donde representa y es la función delta de Dirac . Esta función se conoce como transformada de Radon (o sinograma ) del objeto 2D. ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle \mu (x,y)}$ ${\displaystyle \delta ()}$

La transformada de Fourier de la proyección se puede escribir como

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\exp[-j\omega (x\cos \theta +y\sin \theta )]\,dx\,dy=F(\Omega _{1},\Omega _{2})}$donde ^[2] ${\displaystyle \Omega _{1}=\omega \cos \theta ,\Omega _{2}=\omega \sin \theta }$

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )}$representa una porción de la transformada de Fourier 2D de un ángulo . Utilizando la transformada de Fourier inversa , se puede derivar fácilmente la fórmula de la transformada de Radon inversa. ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )d\theta }$

¿Dónde está la derivada de la transformada de Hilbert de ${\displaystyle g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )}$ ${\displaystyle p_{\theta }(r)}$

En teoría, la transformación inversa de Radon produciría la imagen original. El teorema de proyección-corte nos dice que si tuviéramos un número infinito de proyecciones unidimensionales de un objeto tomadas desde un número infinito de ángulos, podríamos reconstruir perfectamente el objeto original. Sin embargo, en la práctica solo habrá un número finito de proyecciones disponibles. ${\displaystyle f(x,y)}$

Suponiendo que tiene un diámetro efectivo y la resolución deseada es , una regla general para la cantidad de proyecciones necesarias para la reconstrucción es ^[2] ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R_{s}}$ ${\displaystyle N>\pi d/R_{s}}$

Algoritmos de reconstrucción

Se han desarrollado algoritmos de reconstrucción prácticos para implementar el proceso de reconstrucción de un objeto tridimensional a partir de sus proyecciones. ^{[3] [2]} Estos algoritmos están diseñados en gran medida con base en las matemáticas de la transformada de rayos X , el conocimiento estadístico del proceso de adquisición de datos y la geometría del sistema de imágenes de datos.

Algoritmo de reconstrucción del dominio de Fourier

La reconstrucción se puede realizar mediante interpolación. Suponga que las proyecciones de se generan en ángulos igualmente espaciados, cada una muestreada a la misma velocidad. La transformada de Fourier discreta (DFT) en cada proyección produce un muestreo en el dominio de la frecuencia. La combinación de todas las proyecciones muestreadas en frecuencia genera un ráster polar en el dominio de la frecuencia. El ráster polar es disperso, por lo que se utiliza la interpolación para completar los puntos DFT desconocidos, y la reconstrucción se puede realizar a través de la transformada de Fourier discreta inversa . ^[4] El rendimiento de la reconstrucción puede mejorar diseñando métodos para cambiar la dispersión del ráster polar, lo que facilita la eficacia de la interpolación. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x,y)}$

Por ejemplo, se puede obtener un ráster cuadrado concéntrico en el dominio de la frecuencia cambiando el ángulo entre cada proyección de la siguiente manera:

${\displaystyle \theta '={\frac {R_{0}}{\max\{|\cos \theta |,|\sin \theta |\}}}}$

¿Dónde está la frecuencia más alta a evaluar? ${\displaystyle R_{0}}$

El ráster cuadrado concéntrico mejora la eficiencia computacional al permitir que todas las posiciones de interpolación estén en una red DFT rectangular. Además, reduce el error de interpolación. ^[4] Sin embargo, el algoritmo de la transformada de Fourier tiene la desventaja de producir una salida inherentemente ruidosa.

Algoritmo de retroproyección

En la práctica de reconstrucción de imágenes tomográficas, a menudo se utiliza una versión estabilizada y discretizada de la transformada inversa de Radon, conocida como algoritmo de retroproyección filtrada . ^[2]

Con un sistema discreto muestreado, la transformada inversa de Radon es

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{i=0}^{N-1}\Delta \theta _{i}g_{\theta _{i}}(x\cos \theta _{i}+y\sin \theta _{i})}$

${\displaystyle g_{\theta }(t)=p_{\theta }(t)\cdot k(t)}$

donde es el espaciado angular entre las proyecciones y es un núcleo de Radon con respuesta de frecuencia . ${\displaystyle \Delta \theta }$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle |\omega |}$

El nombre de retroproyección proviene del hecho de que una proyección unidimensional necesita ser filtrada por un núcleo Radon unidimensional (retroproyectada) para obtener una señal bidimensional. El filtro utilizado no contiene ganancia de CC, por lo que puede ser conveniente agregar polarización de CC . La reconstrucción mediante retroproyección permite una mejor resolución que el método de interpolación descrito anteriormente. Sin embargo, induce mayor ruido porque el filtro tiende a amplificar el contenido de alta frecuencia.

Algoritmo de reconstrucción iterativa

El algoritmo iterativo es computacionalmente intensivo pero permite la inclusión de información a priori sobre el sistema . ^[2] ${\displaystyle f(x,y)}$

Sea el número de proyecciones y el operador de distorsión para la proyección tomada en un ángulo . son un conjunto de parámetros para optimizar la conversión de iteraciones. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$

${\displaystyle f_{0}(x,y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{\theta _{i}}(r)}$

Reconstrucción en abanico del fantasma de Shepp-Logan con diferentes distancias entre los sensores. Una distancia menor entre los sensores permite una reconstrucción más precisa. La figura se generó con MATLAB.

${\displaystyle f_{k}(x,y)=f_{k-1}(x,y)+\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}[p_{\theta _{i}}(r)-D_{i}f_{k-1}(x,y)]}$

Una familia alternativa de algoritmos de reconstrucción tomográfica recursiva son las técnicas de reconstrucción algebraica y de varianza mínima asintótica dispersa iterativa .

Reconstrucción con vigas en abanico

El uso de un haz en abanico no colimado es común, ya que es difícil obtener un haz de radiación colimado . Los haces en abanico generarán series de integrales de línea, no paralelas entre sí, como proyecciones. El sistema de haz en abanico requiere un rango de ángulos de 360 ​​grados, lo que impone restricciones mecánicas, pero permite un tiempo de adquisición de señal más rápido, lo que puede ser ventajoso en ciertos entornos, como en el campo de la medicina. La retroproyección sigue un procedimiento similar de dos pasos que produce una reconstrucción mediante el cálculo de retroproyecciones de suma ponderada obtenidas a partir de proyecciones filtradas.

Reconstrucción mediante aprendizaje profundo

La influencia del ruido de Poisson en la reconstrucción de aprendizaje profundo, donde el ruido de Poisson hace que U-Net no pueda reconstruir un objeto existente de alto contraste similar a una lesión.

Los métodos de aprendizaje profundo se aplican ampliamente a la reconstrucción de imágenes en la actualidad y han logrado resultados impresionantes en varias tareas de reconstrucción de imágenes, incluida la eliminación de ruido de baja dosis, la reconstrucción de vista dispersa, la tomografía de ángulo limitado y la reducción de artefactos metálicos. Se puede encontrar una excelente descripción general en el número especial ^[5] de IEEE Transaction on Medical Imaging. Un grupo de algoritmos de reconstrucción de aprendizaje profundo aplica redes neuronales de posprocesamiento para lograr una reconstrucción de imagen a imagen, donde las imágenes de entrada se reconstruyen mediante métodos de reconstrucción convencionales. La reducción de artefactos utilizando U-Net en la tomografía de ángulo limitado es un ejemplo de aplicación. ^[6] Sin embargo, pueden ocurrir estructuras incorrectas en una imagen reconstruida por un método completamente basado en datos, ^[7] como se muestra en la figura. Por lo tanto, la integración de operadores conocidos en el diseño de la arquitectura de las redes neuronales parece beneficiosa, como se describe en el concepto de aprendizaje de precisión. ^[8] Por ejemplo, la reconstrucción directa de imágenes a partir de datos de proyección se puede aprender del marco de la retroproyección filtrada. ^[9] Otro ejemplo es construir redes neuronales mediante el desarrollo de algoritmos de reconstrucción iterativos. ^[10] A excepción del aprendizaje de precisión, el uso de métodos de reconstrucción convencionales con reconstrucción previa de aprendizaje profundo ^[11] también es un enfoque alternativo para mejorar la calidad de imagen de la reconstrucción de aprendizaje profundo.

Software de reconstrucción tomográfica

Los sistemas tomográficos presentan una variabilidad significativa en sus aplicaciones y geometrías (ubicación de fuentes y detectores). Esta variabilidad crea la necesidad de implementaciones muy específicas y personalizadas de los algoritmos de procesamiento y reconstrucción. Por lo tanto, la mayoría de los fabricantes de TC proporcionan su propio software propietario personalizado. Esto se hace no solo para proteger la propiedad intelectual, sino también para que lo exija una agencia reguladora gubernamental. De todos modos, hay una serie de paquetes de software de reconstrucción tomográfica de propósito general que se han desarrollado durante las últimas dos décadas, tanto comerciales como de código abierto.

La mayoría de los paquetes de software comerciales que se encuentran disponibles para su compra se centran en el procesamiento de datos para sistemas de TC de haz cónico de sobremesa. Algunos de estos paquetes de software incluyen Volume Graphics, InstaRecon, iTomography, Livermore Tomography Tools (LTT) y Cone Beam Software Tools (CST).

Algunos ejemplos notables de software de reconstrucción de código abierto incluyen: Reconstruction Toolkit (RTK), ^[12] CONRAD, ^[13] TomoPy, ^[14] la caja de herramientas ASTRA, ^{[15] [16]} PYRO-NN, ^[17] ODL, ^[18] TIGRE, ^[19] y LEAP. ^[20]

Galería

En la galería se muestra el proceso completo para una tomografía de un objeto simple y la posterior reconstrucción tomográfica basada en ART.

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  Fig. 2: Objeto fantasma , dos cuadrados en ángulo.
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  Fig. 3: Sinograma del objeto fantasma (Fig.2) resultante de la tomografía. Se tomaron 50 cortes de proyección en un ángulo de 180 grados, muestreados equidistantemente (solo por coincidencia el eje x marca un desplazamiento en -50/50 unidades).
• Fig.4: Reconstrucción tomográfica basada en ART del sinograma de la Fig.3, presentada como animación a lo largo del proceso de reconstrucción iterativa. El objeto original se pudo reconstruir de forma aproximada, ya que la imagen resultante tiene algunos artefactos visuales .

Véase también

• Funcionamiento de la tomografía computarizada#Reconstrucción tomográfica
• Reconstrucción con haz cónico
• Tomografía computarizada industrial
• Sistemas de tomografía industrial plc

Referencias

1. Najla Megherbi; Toby P. Breckon; Greg T. Flitton; Andre Mouton (octubre de 2013). "Generación de artefactos metálicos basados ​​en la transformada de radón en la proyección de imágenes de amenazas en 3D" (PDF) . Proc. SPIE Óptica y fotónica para la lucha contra el terrorismo, la lucha contra el crimen y la defensa . Vol. 8901. SPIE. págs. 1–7. doi :10.1117/12.2028506. S2CID  14001672 . Consultado el 5 de noviembre de 2013 .
2. Dudgeon y Mersereau (1984). Procesamiento de señales digitales multidimensionales . Prentice-Hall.
3. Herman, GT, Fundamentos de la tomografía computarizada: reconstrucción de imágenes a partir de proyecciones, 2.ª edición, Springer, 2009
4. R. Mersereau, A. Oppenheim (1974). "Reconstrucción digital de señales multidimensionales a partir de sus proyecciones". Actas del IEEE . 62 (10): 1319–1338. doi :10.1109/proc.1974.9625. hdl : 1721.1/13788 .
5. Wang, Ge; Ye, Jong Chu; Mueller, Klaus; Fessler, Jeffrey A (2018). "La reconstrucción de imágenes es una nueva frontera del aprendizaje automático". IEEE Transactions on Medical Imaging . 37 (6): 1289–1296. doi :10.1109/TMI.2018.2833635. PMID  29870359. S2CID  46931303.
6. Gu, Jawook; Ye, Jong Chul (2017). Aprendizaje residual del dominio wavelet en múltiples escalas para reconstrucción de TC de ángulo limitado . Fully3D. págs. 443–447.
7. Yixing Huang; Tobias Würfl; Katharina Breininger; Ling Liu; Günter Lauritsch; Andreas Maier (2018). Algunas investigaciones sobre la robustez del aprendizaje profundo en la tomografía de ángulo limitado . MICCAI. doi :10.1007/978-3-030-00928-1_17.
8. Maier, Andreas K; Syben, Christopher; Stimpel, Bernhard; Wuerfl, Tobias; Hoffmann, Mathis; Schebesch, Frank; Fu, Weilin; Mill, Leonid; Kling, Lasse; Christiansen, Silke (2019). "El aprendizaje con operadores conocidos reduce los límites máximos de error". Nature Machine Intelligence . 1 (8): 373–380. arXiv : 1907.01992 . doi :10.1038/s42256-019-0077-5. PMC 6690833 . PMID  31406960. 
9. Tobias Wuerfl; Mathis Hoffmann; Vincent Christlein; Katharina Breininger; Yixing Huang; Mathias Unberath; Andreas Maier (2018). "Tomografía computarizada de aprendizaje profundo: aprendizaje de pesos del dominio de proyección a partir del dominio de la imagen en problemas de ángulo limitado". IEEE Transactions on Medical Imaging . 37 (6): 1454–1463. doi :10.1109/TMI.2018.2833499. PMID  29870373. S2CID  46935914.
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11. Yixing Huang; Alexander Preuhs; Guenter Lauritsch; Michael Manhart; Xiaolin Huang; Andreas Maier (2019). Reducción de artefactos consistente con datos para tomografía de ángulo limitado con aprendizaje profundo previo . Aprendizaje automático para reconstrucción de imágenes médicas. arXiv : 1908.06792 . doi :10.1007/978-3-030-33843-5_10.
12. Kit de herramientas para la reconstrucción (RTK)
13. Maier, Andrés; Hofmann, Hannes G.; Berger, Martín; Fischer, Peter; Schwemmer, Chris; Wu, Haibo; Müller, Kerstin; Hornegger, Joaquín; Choi, Jang-Hwan; Riess, cristiano; Keil, Andreas; Fahrig, Rebecca (2013). "CONRAD: un marco de software para imágenes de haz cónico en radiología". Física Médica . 40 (11): 111914. Código bibliográfico : 2013MedPh..40k1914M. doi : 10.1118/1.4824926. PMC 3820625 . PMID  24320447. 
14. Gürsoy, Doǧa; De Carlo, Francesco; Xiao, Xianghui; Jacobsen, Chris (2014). "TomoPy: Un marco para el análisis de datos tomográficos de sincrotrón". Revista de Radiación Sincrotrón . 22 (5): 1188–1193. Bibcode :2014SPIE.9212E..0NG. doi :10.1107/S1600577514013939. PMC 4181643 . PMID  25178011. 
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20. [1] Kim, Hyojin; Champley, Kyle (2023). "Proyector delantero diferenciable para tomografía computarizada con rayos X". ICML . arXiv : 2307.05801 .

Lectura adicional

• Avinash Kak y Malcolm Slaney (1988), Principios de imágenes tomográficas computarizadas, IEEE Press, ISBN 0-87942-198-3 . 
• Bruyant, PP "Algoritmos de reconstrucción analítica e iterativa en SPECT" Journal of Nuclear Medicine 43(10):1343-1358, 2002

Enlaces externos

• Slaney, AC Kak y Malcolm. "Principios de la tomografía computarizada". Slaney.org . Consultado el 7 de septiembre de 2018 .
• Insight ToolKit; software de soporte tomográfico de código abierto
• "TomoPy — Documentación de TomoPy 1.1.3". Tomopy.readthedocs.org . Consultado el 7 de septiembre de 2018 .
• Caja de herramientas ASTRA (All Scales Tomographic Reconstruction Antwerp): software de código abierto muy flexible y rápido para reconstrucción tomográfica computarizada
• NiftyRec; software integral de reconstrucción tomográfica de código abierto; programable en Matlab y Python
• Herramienta de visualización y reconstrucción tomográfica de código abierto
• "ITS plc - Tomografía de procesos eléctricos para visualización industrial". Itoms.com . Consultado el 7 de septiembre de 2018 .