Discretización

Proceso de transferencia de funciones continuas a contrapartes discretas

Una solución a una ecuación diferencial parcial discretizada, obtenida con el método de elementos finitos .

En matemáticas aplicadas , la discretización es el proceso de transferir funciones, modelos, variables y ecuaciones continuas a sus contrapartes discretas. Este proceso se lleva a cabo generalmente como un primer paso para hacerlas aptas para la evaluación numérica y la implementación en computadoras digitales. La dicotomización es el caso especial de discretización en el que el número de clases discretas es 2, lo que puede aproximar una variable continua como una variable binaria (creando una dicotomía para fines de modelado , como en la clasificación binaria ).

La discretización también está relacionada con las matemáticas discretas y es un componente importante de la computación granular . En este contexto, la discretización también puede referirse a la modificación de la granularidad de una variable o categoría , como cuando se agregan múltiples variables discretas o se fusionan múltiples categorías discretas.

Siempre que se discretizan datos continuos , existe una cierta cantidad de error de discretización . El objetivo es reducir la cantidad a un nivel que se considere insignificante para los fines del modelo en cuestión.

Los términos discretización y cuantificación suelen tener la misma denotación , pero no siempre connotaciones idénticas (en concreto, ambos términos comparten un campo semántico ). Lo mismo ocurre con el error de discretización y el error de cuantificación .

Los métodos matemáticos relacionados con la discretización incluyen el método de Euler-Maruyama y el método de orden cero .

Discretización de modelos de espacio de estados lineales

La discretización también se ocupa de la transformación de ecuaciones diferenciales continuas en ecuaciones diferenciales discretas , adecuadas para el cálculo numérico .

El siguiente modelo de espacio de estados de tiempo continuo

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)}$

donde v y w son fuentes continuas de ruido blanco de media cero con densidades espectrales de potencia

${\displaystyle \mathbf {w} (t)\sim N(0,\mathbf {Q} )}$

${\displaystyle \mathbf {v} (t)\sim N(0,\mathbf {R} )}$

se puede discretizar, asumiendo que se mantiene el orden cero para la entrada u y la integración continua para el ruido v , para

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=\mathbf {A} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {B} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {w} [k]}$

${\displaystyle \mathbf {y} [k]=\mathbf {C} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {D} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {v} [k]}$

con covarianzas

${\displaystyle \mathbf {w} [k]\sim N(0,\mathbf {Q} _{d})}$

${\displaystyle \mathbf {v} [k]\sim N(0,\mathbf {R} _{d})}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {A} _{d}=e^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}\{(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\}_{t=T}}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{d}=\left(\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }d\tau \right)\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A} _{d}-I)\mathbf {B} }$, si no es singular ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {C} _{d}=\mathbf {C} }$

${\displaystyle \mathbf {D} _{d}=\mathbf {D} }$

${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} e^{\mathbf {A} ^{\top }\tau }d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {R} _{d}=\mathbf {R} {\frac {1}{T}}}$

y es el tiempo de muestra, aunque es la matriz transpuesta de . La ecuación para el ruido de medición discretizado es una consecuencia de que el ruido de medición continuo se define con una densidad espectral de potencia. ^[1] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\top }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Un truco inteligente para calcular A _d y B _d en un solo paso es utilizar la siguiente propiedad: ^{[2] : p. 215}

${\displaystyle e^{{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}T}={\begin{bmatrix}\mathbf {A_{d}} &\mathbf {B_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$

Donde y son las matrices de espacio de estados discretizadas. ${\displaystyle \mathbf {A} _{d}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{d}}$

Discretización del ruido del proceso

La evaluación numérica de es un poco más complicada debido a la integral exponencial de la matriz. Sin embargo, se puede calcular construyendo primero una matriz y calculando su exponencial ^[3]. ${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}}$

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T}$

${\displaystyle \mathbf {G} =e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{\top }\end{bmatrix}}.}$

Luego, el ruido del proceso discretizado se evalúa multiplicando la transposición de la partición inferior derecha de G por la partición superior derecha de G :

${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=(\mathbf {A} _{d}^{\top })^{\top }(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d})=\mathbf {A} _{d}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}).}$

Derivación

Empezando con el modelo continuo

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

sabemos que la matriz exponencial es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} e^{\mathbf {A} t}=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {A} }$

y al premultiplicar el modelo obtenemos

${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

que reconocemos como

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t))=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

y mediante la integración..

${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-e^{0}\mathbf {x} (0)=\int _{0}^{t}e^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}e^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

que es una solución analítica del modelo continuo.

Ahora queremos discretizar la expresión anterior. Suponemos que u es constante durante cada paso de tiempo.

${\displaystyle \mathbf {x} [k]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)}$

${\displaystyle \mathbf {x} [k]=e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} ((k+1)T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} T}\left[e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

Reconocemos la expresión entre corchetes como , y el segundo término se puede simplificar sustituyendo por la función . Nótese que . También asumimos que es constante durante la integral , lo que a su vez da como resultado ${\displaystyle \mathbf {x} [k]}$ ${\displaystyle v(\tau )=kT+T-\tau }$ ${\displaystyle d\tau =-dv}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\end{matrix}}}$

que es una solución exacta al problema de discretización.

Cuando es singular, la última expresión todavía se puede utilizar reemplazándola por su expansión de Taylor , ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}}$

${\displaystyle e^{{\mathbf {A} }T}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}({\mathbf {A} }T)^{k}.}$

Esto produce

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{{\mathbf {A} }T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{{\mathbf {A} }v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}({\mathbf {A} }T)^{k}\right)\mathbf {x} [k]+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\mathbf {A} }^{k-1}T^{k}\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k],\end{matrix}}}$

que es la forma utilizada en la práctica.

Aproximaciones

A veces, la discretización exacta puede resultar inviable debido a las pesadas operaciones matriciales exponenciales e integrales involucradas. Es mucho más fácil calcular un modelo discreto aproximado, basado en el modelo para intervalos de tiempo pequeños . La solución aproximada se convierte entonces en: ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T}$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {B} \mathbf {u} [k]}$

Esto también se conoce como el método de Euler , que también se conoce como el método de Euler hacia adelante. Otras aproximaciones posibles son , también conocido como el método de Euler hacia atrás y , que se conoce como la transformada bilineal o transformada de Tustin. Cada una de estas aproximaciones tiene diferentes propiedades de estabilidad. La transformada bilineal preserva la inestabilidad del sistema de tiempo continuo. ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} -\mathbf {A} T\right)^{-1}}$ ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)\left(\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)^{-1}}$

Discretización de características continuas

En estadística y aprendizaje automático, la discretización se refiere al proceso de convertir características o variables continuas en características discretizadas o nominales. Esto puede resultar útil al crear funciones de masa de probabilidad.

Discretización de funciones suaves

En la teoría de funciones generalizadas , la discretización surge como un caso particular del Teorema de Convolución en distribuciones templadas.

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*\operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot \operatorname {III} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{\alpha \cdot \operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*\operatorname {III} }$

donde es el peine de Dirac , es discretización, es periodización , es una distribución templada de rápida disminución (por ejemplo, una función delta de Dirac o cualquier otra función con soporte compacto ), es una función ordinaria suave de crecimiento lento ( por ejemplo, la función que es constante o cualquier otra función limitada por banda ) y es la transformada de Fourier (unitaria, de frecuencia ordinaria) . Las funciones que no son suaves se pueden suavizar utilizando un suavizador antes de la discretización. ${\displaystyle \operatorname {III} }$ ${\displaystyle \cdot \operatorname {III} }$ ${\displaystyle *\operatorname {III} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Como ejemplo, la discretización de la función que es constante produce la secuencia que, interpretada como los coeficientes de una combinación lineal de funciones delta de Dirac , forma un peine de Dirac . Si además se aplica el truncamiento , se obtienen secuencias finitas, por ejemplo . Son discretas tanto en tiempo como en frecuencia. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [..,1,1,1,..]}$ ${\displaystyle [1,1,1,1]}$

Véase también

• Simulación de eventos discretos
• Espacio discreto
• Tiempo discreto y tiempo continuo
• Método de diferencias finitas
• Método de volumen finito para flujo inestable
• Suavizado
• Simulación estocástica
• Cálculo de escala temporal

Referencias

1. Analytic Sciences Corporation. Personal técnico. (1974). Estimación óptima aplicada . Gelb, Arthur, 1937-. Cambridge, Mass.: MIT Press. pp. 121. ISBN. 0-262-20027-9.OCLC 960061  .
2. Raymond DeCarlo: Sistemas lineales: un enfoque de variable de estado con implementación numérica , Prentice Hall, NJ, 1989
3. Charles Van Loan: Cálculo de integrales que involucran la matriz exponencial , IEEE Transactions on Automatic Control. 23 (3): 395–404, 1978

Lectura adicional

• Robert Grover Brown y Patrick YC Hwang (1997). Introducción a las señales aleatorias y filtrado de Kalman aplicado (3.ª ed.). ISBN 978-0471128397.
• Chi-Tsong Chen (1984). Teoría y diseño de sistemas lineales . Filadelfia, Pensilvania, EE. UU.: Saunders College Publishing. ISBN 978-0030716911.
• C. Van Loan (junio de 1978). "Cálculo de integrales que involucran la matriz exponencial" (PDF) . IEEE Transactions on Automatic Control . 23 (3): 395–404. doi :10.1109/TAC.1978.1101743. hdl : 1813/7095 .
• RH Middleton y GC Goodwin (1990). Control digital y estimación: un enfoque unificado . Prentice Hall. pág. 33 y siguientes. ISBN 978-0132116657.

Enlaces externos

• Discretización en geometría y dinámica: investigación sobre la discretización de la geometría diferencial y la dinámica