factor de Lorentz

Cantidad en física relativista

El factor de Lorentz o término de Lorentz (también conocido como factor gamma ^[1] ) es una cantidad que expresa cuánto cambian las medidas de tiempo, longitud y otras propiedades físicas de un objeto mientras ese objeto se mueve. La expresión aparece en varias ecuaciones de la relatividad especial y surge en derivaciones de las transformaciones de Lorentz . El nombre proviene de su aparición anterior en la electrodinámica lorentziana , en honor al físico holandés Hendrik Lorentz . ^[2]

Generalmente se denota por γ (la letra minúscula griega gamma ). A veces (especialmente en la discusión sobre el movimiento superluminal ) el factor se escribe como Γ (gamma mayúscula griega) en lugar de γ .

Definición

El factor de Lorentz γ se define como ^[3]

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\sqrt {\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }},}$$

• v es la velocidad relativa entre sistemas de referencia inerciales,
• c es la velocidad de la luz en el vacío,
• β es la relación de v a c ,
• t es el tiempo coordinado ,
• τ es el tiempo adecuado para un observador (midiendo intervalos de tiempo en el propio marco del observador).

Esta es la forma más utilizada en la práctica, aunque no la única (consulte a continuación las formas alternativas).

Para complementar la definición, algunos autores definen el recíproco ^[4]

$${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ ={\sqrt {1-{\beta }^{2}}};}$$

fórmula de suma de velocidades

Ocurrencia

A continuación se muestra una lista de fórmulas de la relatividad especial que utilizan γ como abreviatura: ^{[3] [5]}

• La transformación de Lorentz : el caso más simple es un impulso en la dirección x (formas más generales que incluyen direcciones y rotaciones arbitrarias que no se enumeran aquí), que describe cómo las coordenadas del espacio-tiempo cambian desde un marco inercial usando coordenadas ( x , y , z , t ) a otro ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) con velocidad relativa v :
  $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {vx}{c^{2}}}\right),\\[1ex]x'&=\gamma \left(x-vt\right).\end{aligned}}}$$

Los corolarios de las transformaciones anteriores son los resultados:

• Dilatación del tiempo : el tiempo ( ∆ t ′ ) entre dos tics, medido en el cuadro en el que se mueve el reloj, es más largo que el tiempo ( ∆ t ) entre estos tics, medido en el cuadro de reposo del reloj:
  $${\displaystyle \Delta t'=\gamma \Delta t.}$$
• Contracción de longitud : La longitud ( ∆ x ′ ) de un objeto medida en el marco en el que se mueve, es más corta que su longitud ( ∆ x ) en su propio marco de reposo:
  $${\displaystyle \Delta x'=\Delta x/\gamma .}$$

La aplicación de la conservación del momento y la energía conduce a estos resultados:

• Masa relativista : La masa m de un objeto en movimiento depende dey la masa en reposo m ₀ : ${\displaystyle \gamma }$
  $${\displaystyle m=\gamma m_{0}.}$$
• Momento relativista : La relación de momento relativista toma la misma forma que para el momento clásico, pero usando la masa relativista anterior:
  $${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.}$$
• Energía cinética relativista : La relación de energía cinética relativistatoma la forma ligeramente modificada:
  $${\displaystyle E_{k}=E-E_{0}=(\gamma -1)m_{0}c^{2}}$$
  Como es función de , el límite no relativista da , como se esperaba de las consideraciones newtonianas. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {v}{c}}}$ ${\textstyle \lim _{v/c\to 0}E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$

Valores numéricos

Factor de Lorentz γ en función de la velocidad. Su valor inicial es 1 (cuando v = 0 ); y a medida que la velocidad se acerca a la velocidad de la luz ( v → c ), γ aumenta sin límite ( γ → ∞) .

α (factor inverso de Lorentz) en función de la velocidad: un arco circular

En la siguiente tabla, la columna de la izquierda muestra las velocidades como diferentes fracciones de la velocidad de la luz (es decir, en unidades de c ). La columna del medio muestra el factor de Lorentz correspondiente, la final es el recíproco. Los valores en negrita son exactos.

Representaciones alternativas

Hay otras formas de escribir el factor. Anteriormente se utilizó la velocidad v , pero también pueden ser convenientes variables relacionadas como el impulso y la rapidez .

Impulso

Resolver la ecuación de momento relativista anterior para γ conduce a

$${\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.}$$

distribución de Maxwell-Jüttner^[6]

Rapidez

Aplicando la definición de rapidez como ángulo hiperbólico : ^[7] ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \tanh \varphi =\beta }$$

γidentidades hiperbólicas

$${\displaystyle \gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}$$

Utilizando la propiedad de la transformación de Lorentz , se puede demostrar que la rapidez es aditiva, una propiedad útil que la velocidad no tiene. Así, el parámetro de rapidez forma un grupo de un solo parámetro , una base para los modelos físicos.

función de Bessel

La identidad de Bunney representa el factor de Lorentz en términos de una serie infinita de funciones de Bessel : ^[8]

$${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(J_{m-1}^{2}(m\beta )+J_{m+1}^{2}(m\beta )\right)={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}$$

Expansión en serie (velocidad)

El factor Lorentz tiene la serie de Maclaurin :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\[1ex]&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\[1ex]&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+{\tfrac {63}{256}}\beta ^{10}+\cdots ,\end{aligned}}}$$

serie binomial

La aproximación se puede utilizar para calcular efectos relativistas a bajas velocidades. Se mantiene dentro de un error del 1% para v  < 0,4  c ( v  < 120.000 km/s) y dentro de un error del 0,1% para v  < 0,22  c ( v  < 66.000 km/s). ${\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$

Las versiones truncadas de esta serie también permiten a los físicos demostrar que la relatividad especial se reduce a la mecánica newtoniana a bajas velocidades. Por ejemplo, en la relatividad especial, se cumplen las dos ecuaciones siguientes:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=\gamma m\mathbf {v} ,\\E&=\gamma mc^{2}.\end{aligned}}}$$

Para y , respectivamente, estos se reducen a sus equivalentes newtonianos: ${\displaystyle \gamma \approx 1}$ ${\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=m\mathbf {v} ,\\E&=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}.\end{aligned}}}$$

La ecuación del factor de Lorentz también se puede invertir para producir

$${\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}.}$$

$${\displaystyle \beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots \,.}$$

Los dos primeros términos se utilizan ocasionalmente para calcular rápidamente velocidades a partir de valores grandes de γ . La aproximación se mantiene dentro de una tolerancia del 1 % para γ > 2 y dentro de una tolerancia del 0,1 % para γ > 3,5 . ${\textstyle \beta \approx 1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}}$

Aplicaciones en astronomía

El modelo estándar de estallidos de rayos gamma (GRB) de larga duración sostiene que estas explosiones son ultrarelativistas ( γ inicial mayor que aproximadamente 100), lo que se invoca para explicar el llamado problema de la "compacidad": en ausencia de este ultrarelativista En expansión, la eyección sería ópticamente gruesa para emparejar la producción con energías espectrales máximas típicas de unos pocos 100 keV, mientras que se observa que la emisión inmediata no es térmica. ^[9]

Los muones , una partícula subatómica, viajan a una velocidad tal que tienen un factor de Lorentz relativamente alto y, por tanto, experimentan una dilatación del tiempo extrema . Dado que los muones tienen una vida media de sólo 2,2  μs , los muones generados por colisiones de rayos cósmicos a 10 km (6,2 millas) de altura en la atmósfera terrestre no deberían ser detectables en el suelo debido a su tasa de desintegración. Sin embargo, aproximadamente el 10% de los muones de estas colisiones todavía son detectables en la superficie, lo que demuestra los efectos de la dilatación del tiempo en su tasa de desintegración. ^[10]

Ver también

• Marco de referencia inercial
• Velocidad adecuada
• pseudorapidez

Referencias

1. "El factor gamma". webs.morningside.edu . Consultado el 14 de enero de 2024 .
2. Tyson, Neil deGrasse ; Liu, Charles Tsun-Chu ; Irión, Robert. "La teoría especial de la relatividad". Un Universo . Academias Nacionales de Ciencias, Ingeniería y Medicina . Archivado desde el original el 25 de julio de 2021 . Consultado el 6 de enero de 2024 .
3. Forshaw, Jeffrey; Smith, Gavin (2014). Dinámica y Relatividad. John Wiley e hijos . ISBN 978-1-118-93329-9.
4. Yaakov Friedman, Aplicaciones físicas de bolas homogéneas , Progreso en física matemática 40 Birkhäuser, Boston, 2004, páginas 1-21.
5. Joven; Hombre libre (2008). Física universitaria de Sears y Zemansky (12ª ed.). Pearson Ed. y Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-50130-1.
6. Synge, JL (1957). El gas relativista. Serie en física. Holanda del Norte. LCCN 57-003567
7. Cinemática Archivado el 21 de noviembre de 2014 en Wayback Machine , por JD Jackson . Consulte la página 7 para conocer la definición de rapidez.
8. Cameron RD Bunney y Jorma Louko Clase 2023. Gravedad cuántica. 40 155001
9. Cenko, SB; et al. (2015). "iPTF14yb: el primer descubrimiento de un resplandor de explosión de rayos gamma independiente de un disparador de alta energía". Cartas de diarios astrofísicos (L24): 803.
10. "Experimento de muones en relatividad". HyperPhysics.Phy-Astr.GSU.edu . Consultado el 6 de enero de 2024 .

enlaces externos

• Merrifield, Michael. "γ - Factor de Lorentz (y dilatación del tiempo)". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .
• Merrifield, Michael. "γ2 - Gamma recargada". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .