Rango de un grupo abeliano

Número de elementos en un subconjunto de un grupo conmutativo

En matemáticas , el rango , rango de Prüfer o rango libre de torsión de un grupo abeliano A es la cardinalidad de un subconjunto linealmente independiente máximo. ^[1] El rango de A determina el tamaño del grupo abeliano libre más grande contenido en A. Si A no tiene torsión, entonces se incrusta en un espacio vectorial sobre los números racionales de rango de dimensión A. Para grupos abelianos generados finitamente , el rango es un invariante fuerte y cada grupo está determinado hasta el isomorfismo por su rango y subgrupo de torsión . Los grupos abelianos libres de torsión de rango 1 se han clasificado por completo. Sin embargo, la teoría de los grupos abelianos de rango superior es más complicada.

El término rango tiene un significado diferente en el contexto de los grupos abelianos elementales .

Definición

Un subconjunto { a _α } de un grupo abeliano A es linealmente independiente (sobre Z ) si la única combinación lineal de estos elementos que es igual a cero es trivial: si

${\displaystyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }a_{\alpha }=0,\quad n_{\alpha }\in \mathbb {Z} ,}$

donde todos los coeficientes n _α , excepto un número finito , son cero (de modo que la suma es, en efecto, finita), entonces todos los coeficientes son cero. Dos conjuntos linealmente independientes máximos cualesquiera en A tienen la misma cardinalidad , lo que se denomina rango de A.

El rango de un grupo abeliano es análogo a la dimensión de un espacio vectorial . La principal diferencia con el caso del espacio vectorial es la presencia de torsión . Un elemento de un grupo abeliano A se clasifica como de torsión si su orden es finito. El conjunto de todos los elementos de torsión es un subgrupo, llamado subgrupo de torsión y denotado T ( A ). Un grupo se llama libre de torsión si no tiene elementos de torsión no triviales. El grupo de factores A / T ( A ) es el único cociente máximo libre de torsión de A y su rango coincide con el rango de A.

La noción de rango con propiedades análogas se puede definir para módulos sobre cualquier dominio integral , el caso de grupos abelianos correspondientes a módulos sobre Z. Para esto, consulte el módulo generado finitamente#Rango genérico .

Propiedades

• El rango de un grupo abeliano A coincide con la dimensión del Q -espacio vectorial A ⊗ Q . Si A no tiene torsión, entonces el mapa canónico A → A ⊗ Q es inyectivo y el rango de A es la dimensión mínima del espacio vectorial Q que contiene a A como un subgrupo abeliano. En particular, cualquier grupo intermedio Z ⁿ < A < Q ⁿ tiene rango n .
• Los grupos abelianos de rango 0 son exactamente los grupos abelianos periódicos .
• El grupo Q de números racionales tiene rango 1. Los grupos abelianos libres de torsión de rango 1 se realizan como subgrupos de Q y existe una clasificación satisfactoria de ellos hasta el isomorfismo. Por el contrario, no existe una clasificación satisfactoria de los grupos abelianos libres de torsión de rango 2. ^[2]
• El rango es aditivo sobre secuencias cortas exactas : si

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0\;}$

es una secuencia corta y exacta de grupos abelianos, entonces rk  B = rk  A  + rk  C . Esto se desprende de la planitud de Q y del hecho correspondiente para espacios vectoriales.

• El rango es aditivo sobre sumas directas arbitrarias :

${\displaystyle \operatorname {rank} \left(\bigoplus _{j\in J}A_{j}\right)=\sum _{j\in J}\operatorname {rank} (A_{j}),}$

donde la suma del lado derecho usa aritmética cardinal .

Grupos de mayor rango

Los grupos abelianos de rango mayor que 1 son fuentes de ejemplos interesantes. Por ejemplo, para cada cardinal d existen grupos abelianos libres de torsión de rango d que son indescomponibles , es decir, no pueden expresarse como una suma directa de un par de sus subgrupos propios. Estos ejemplos demuestran que un grupo abeliano libre de torsión de rango mayor que 1 no puede construirse simplemente mediante sumas directas de grupos abelianos libres de torsión de rango 1, cuya teoría se comprende bien. Además, para cada número entero , hay un grupo de rango abeliano libre de torsión que es simultáneamente una suma de dos grupos indescomponibles y una suma de n grupos indescomponibles. ^{[ cita necesaria ]} Por lo tanto, incluso el número de sumandos indescomponibles de un grupo de rango par mayor o igual a 4 no está bien definido. ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle 2n-2}$

Otro resultado sobre la no unicidad de las descomposiciones de suma directa se debe a ALS Corner: dados los números enteros , existe un grupo abeliano A libre de torsión de rango n tal que para cualquier partición en k sumandos naturales, el grupo A es la suma directa de k subgrupos de rangos indescomponibles . ^{[ cita necesaria ]} Por lo tanto , la secuencia de rangos de sumandos indescomponibles en una cierta descomposición de suma directa de un grupo abeliano libre de torsión de rango finito está muy lejos de ser una invariante de A. ${\displaystyle n\geq k\geq 1}$ ${\displaystyle n=r_{1}+\cdots +r_{k}}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}}$

_{Otros ejemplos sorprendentes incluyen grupos de rango 2 libres de torsión An, my} Bn , _{m tales} que An _es isomorfo a Bn si ^y solo si n ^es divisible por m .

Para grupos abelianos de rango infinito, existe un ejemplo de un grupo K y un subgrupo G tales que

• K es indescomponible;
• K es generado por G y un solo elemento más; y
• Toda suma directa distinta de cero de G es descomponible.

Generalización

La noción de rango se puede generalizar para cualquier módulo M sobre un dominio integral R , como la dimensión sobre R ₀ , el campo cociente , del producto tensorial del módulo con el campo:

${\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\dim _{R_{0}}M\otimes _{R}R_{0}}$

Tiene sentido, ya que R ₀ es un campo y, por lo tanto, cualquier módulo (o, para ser más específico, espacio vectorial ) sobre él es libre.

Es una generalización, ya que todo grupo abeliano es un módulo sobre los números enteros. Se deduce fácilmente que la dimensión del producto sobre Q es la cardinalidad del subconjunto linealmente independiente máximo, ya que para cualquier elemento de torsión x y cualquier q racional ,

${\displaystyle x\otimes _{\mathbf {Z} }q=0.}$

Ver también

• Rango de un grupo

Referencias

1. Página 46 de Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
2. Tomás, Simón; Schneider, Scott (2012), "Relaciones de equivalencia de Borel contables", en Cummings, James; Schimmerling, Ernest (eds.), Teoría de conjuntos de los Apalaches: 2006-2012 , Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 406, Cambridge University Press, págs. 25–62, CiteSeerX 10.1.1.648.3113 , doi :10.1017/CBO9781139208574.003, ISBN  9781107608504. En P. 46, Thomas y Schneider se refieren a "...este fracaso en clasificar incluso los grupos de rango 2 de manera satisfactoria..."