Trayectoria radial

En astrodinámica y mecánica celeste, una trayectoria radial es una órbita de Kepler con momento angular cero . Dos objetos en una trayectoria radial se mueven directamente uno hacia el otro o alejándose uno del otro en línea recta.

Clasificación

Hay tres tipos de trayectorias radiales (órbitas). ^[1]

• Trayectoria elíptica radial : órbita que corresponde a la parte de una elipse degenerada que va desde el momento en que los cuerpos se tocan y se alejan hasta que vuelven a tocarse. La velocidad relativa de los dos objetos es menor que la velocidad de escape . Se trata de una órbita elíptica con semieje menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad sea 1, no se trata de una órbita parabólica. Si el coeficiente de restitución de los dos cuerpos es 1 (perfectamente elástica) esta órbita es periódica. Si el coeficiente de restitución es menor que 1 (inelástica) esta órbita es no periódica.
• Trayectoria parabólica radial , órbita no periódica en la que la velocidad relativa de los dos objetos es siempre igual a la velocidad de escape. Existen dos casos: los cuerpos se alejan uno del otro o se acercan.
• Trayectoria hiperbólica radial : órbita no periódica en la que la velocidad relativa de los dos objetos siempre supera la velocidad de escape. Existen dos casos: los cuerpos se alejan uno del otro o se acercan. Se trata de una órbita hiperbólica con semieje menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad es 1, no se trata de una órbita parabólica.

A diferencia de las órbitas estándar, que se clasifican por su excentricidad orbital , las órbitas radiales se clasifican por su energía orbital específica , la suma constante de la energía cinética y potencial total, dividida por la masa reducida : donde x es la distancia entre los centros de las masas, v es la velocidad relativa y es el parámetro gravitacional estándar . $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{x}}}$$ ${\displaystyle \mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)}$

Otra constante viene dada por: $${\displaystyle w={\frac {1}{x}}-{\frac {v^{2}}{2\mu }}={\frac {-\varepsilon }{\mu }}}$$

• Para trayectorias elípticas, w es positivo. Es la inversa de la distancia de apoapsis (distancia máxima).
• Para trayectorias parabólicas, w es cero.
• Para trayectorias hiperbólicas, w es negativo, es decir donde es la velocidad a una distancia infinita. ${\displaystyle \textstyle {\frac {-v_{\infty }^{2}}{2\mu }}}$ ${\displaystyle \textstyle v_{\infty }}$

El tiempo en función de la distancia

Dada la separación y la velocidad en cualquier momento, y la masa total, es posible determinar la posición en cualquier otro momento.

El primer paso es determinar la constante w . Utilice el signo de w para determinar el tipo de órbita. donde y son la separación y la velocidad relativa en cualquier momento. $${\displaystyle w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}}$$ ${\textstyle x_{0}}$ ${\textstyle v_{0}}$

Trayectoria parabólica

$${\displaystyle t(x)={\sqrt {\frac {2x^{3}}{9\mu }}}}$$donde t es el tiempo desde o hasta el momento en que las dos masas, si fueran masas puntuales, coincidirían, y x es la separación.

Esta ecuación se aplica sólo a trayectorias parabólicas radiales, para trayectorias parabólicas generales consulte la ecuación de Barker .

Trayectoria elíptica

$${\displaystyle t(x,w)={\frac {\arcsin \left({\sqrt {w\,x}}\right)-{\sqrt {w\,x\ (1-w\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,w^{3}}}}}$$donde t es el tiempo desde o hasta el momento en que las dos masas, si fueran masas puntuales, coincidirían, y x es la separación.

Esta es la ecuación radial de Kepler . ^[2]

Trayectoria hiperbólica

$${\displaystyle t(x,w)={\frac {{\sqrt {(|w|x)^{2}+|w|x}}-\ln \left({\sqrt {|w|x}}+{\sqrt {1+|w|x}}\right)}{\sqrt {2\mu \,|w|^{3}}}}}$$donde t es el tiempo desde o hasta el momento en que las dos masas, si fueran masas puntuales, coincidirían, y x es la separación.

Forma universal (cualquier trayectoria)

La ecuación radial de Kepler puede hacerse "universal" (aplicable a todas las trayectorias): o expandiéndola en una serie de potencias: $${\displaystyle t(x,w)=\lim _{u\to w}{\frac {\arcsin \left({\sqrt {u\,x}}\right)-{\sqrt {u\,x\ (1-u\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,u^{3}}}}}$$ $${\displaystyle t(x,w)={\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}\left.\left({\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{5}}wx^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{28}}w^{2}x^{\frac {7}{2}}+{\frac {5}{72}}w^{3}x^{\frac {9}{2}}+{\frac {35}{704}}w^{4}x^{\frac {11}{2}}\cdots \right)\right|_{-1<w\cdot x<1}}$$

El problema radial de Kepler (distancia en función del tiempo)

El problema de hallar la separación de dos cuerpos en un momento dado, dada su separación y velocidad en otro momento, se conoce como problema de Kepler . En esta sección se resuelve el problema de Kepler para órbitas radiales.

El primer paso es determinar la constante . Utilice el signo de para determinar el tipo de órbita. Donde y son la separación y la velocidad en cualquier momento. ${\textstyle w}$ ${\textstyle w}$ $${\displaystyle w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}}$$ ${\textstyle x_{0}}$ ${\textstyle v_{0}}$

Trayectoria parabólica

$${\displaystyle x(t)=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac {1}{3}}}$$

Forma universal (cualquier trayectoria)

Se utilizan dos cantidades intermedias: w y la separación que tendrían en el instante t los cuerpos si estuvieran en una trayectoria parabólica, p . $${\displaystyle w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}\quad {\text{and}}\quad p=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{1/3}}$$

Donde t es el tiempo, es la posición inicial, es la velocidad inicial y . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)}$

La ecuación radial inversa de Kepler es la solución al problema radial de Kepler: $${\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{r\to 0}\left[{\frac {w^{n-1}p^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} r^{n-1}}}\left(r^{n}\left[{\frac {3}{2}}\left(\arcsin \left[{\sqrt {r}}\right]-{\sqrt {r-r^{2}}}\right)\right]^{-{\frac {2}{3}}n}\right)\right]\right)}$$

Evaluando esto obtenemos: $${\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}wp^{2}-{\frac {3}{175}}w^{2}p^{3}-{\frac {23}{7875}}w^{3}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}w^{4}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}w^{5}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}w^{6}p^{7}\cdots }$$

Las series de potencias se pueden diferenciar fácilmente término por término. La diferenciación repetida proporciona las fórmulas para la velocidad, la aceleración, el tirón, el chasquido, etc.

Órbita dentro de un eje radial

La órbita dentro de un eje radial en un cuerpo esférico uniforme ^[3] sería un movimiento armónico simple , porque la gravedad dentro de dicho cuerpo es proporcional a la distancia al centro. Si el cuerpo pequeño entra y/o sale del cuerpo grande por su superficie, la órbita cambia de o hacia una de las analizadas anteriormente. Por ejemplo, si el eje se extiende de superficie a superficie, es posible una órbita cerrada que consta de partes de dos ciclos de movimiento armónico simple y partes de dos órbitas elípticas radiales diferentes (pero simétricas).

Véase también

• Ecuación de Kepler
• Problema de Kepler
• Lista de órbitas

Referencias

• Cowell, Peter (1993), Resolviendo la ecuación de Kepler a lo largo de tres siglos, William Bell.

1. Thomson, William Tyrrell; Introducción a la dinámica espacial , Dover, 1986
2. Brown, Kevin; Páginas de matemáticas
3. En sentido estricto, esto es una contradicción. Sin embargo, se supone que el eje tiene una influencia insignificante en la gravedad.

Enlaces externos

• La ecuación de Kepler en Mathworld [1]