Ley de Bragg

Ley física relativa a los ángulos de dispersión de la radiación a través de un medio

En muchas áreas de la ciencia, la ley de Bragg , la condición de Wulff -Bragg o la interferencia de Laue-Bragg son un caso especial de la difracción de Laue , que proporciona los ángulos de dispersión coherente de las ondas desde una gran red cristalina. Describe cómo la superposición de frentes de onda dispersados ​​por planos de la red conduce a una relación estricta entre la longitud de onda y el ángulo de dispersión. Esta ley se formuló inicialmente para los rayos X, pero también se aplica a todos los tipos de ondas de materia, incluidas las ondas de neutrones y electrones si hay una gran cantidad de átomos, así como a la luz visible con redes artificiales periódicas a microescala.

Historia

Los rayos X interactúan con los átomos de un cristal .

La difracción de Bragg (también conocida como la formulación de Bragg de difracción de rayos X ) fue propuesta por primera vez por Lawrence Bragg y su padre, William Henry Bragg , en 1913 ^[1] después de su descubrimiento de que los sólidos cristalinos producían patrones sorprendentes de rayos X reflejados (en contraste con los producidos con, por ejemplo, un líquido). Descubrieron que estos cristales, en ciertas longitudes de onda específicas y ángulos de incidencia, producían picos intensos de radiación reflejada.

Según la desviación 2 θ , el desplazamiento de fase provoca interferencias constructivas (figura de la izquierda) o destructivas (figura de la derecha).

Lawrence Bragg explicó este resultado modelando el cristal como un conjunto de planos paralelos discretos separados por un parámetro constante d . Propuso que la radiación de rayos X incidente produciría un pico de Bragg si las reflexiones de los diversos planos interferían de forma constructiva. La interferencia es constructiva cuando la diferencia de fase entre la onda reflejada en diferentes planos atómicos es un múltiplo de 2 π ; esta condición (véase la sección de la condición de Bragg a continuación) fue presentada por primera vez por Lawrence Bragg el 11 de noviembre de 1912 a la Sociedad Filosófica de Cambridge . ^[2] Aunque simple, la ley de Bragg confirmó la existencia de partículas reales a escala atómica, además de proporcionar una nueva y poderosa herramienta para estudiar los cristales . Lawrence Bragg y su padre, William Henry Bragg, recibieron el Premio Nobel de Física en 1915 por su trabajo en la determinación de estructuras cristalinas a partir de NaCl , ZnS y diamante . ^[3] Son el único equipo padre-hijo que ganó conjuntamente.

El concepto de difracción de Bragg se aplica por igual a la difracción de neutrones ^[4] y aproximadamente a la difracción de electrones ^[5] . En ambos casos, las longitudes de onda son comparables con las distancias interatómicas (~150 pm). También se ha demostrado que muchos otros tipos de ondas de materia difractan ^{[6] [7],} y también la luz de objetos con una estructura ordenada más grande, como los ópalos ^[8] .

Condición de Bragg

Difracción de Bragg ^{[9] : 16} Dos haces con idéntica longitud de onda y fase se aproximan a un sólido cristalino y se dispersan desde dos átomos diferentes dentro de él. El haz inferior recorre una longitud adicional de 2 d sen θ . La interferencia constructiva ocurre cuando esta longitud es igual a un múltiplo entero de la longitud de onda de la radiación.

La difracción de Bragg ocurre cuando la radiación de una longitud de onda λ comparable a los espaciamientos atómicos se dispersa de manera especular (reflexión tipo espejo) por planos de átomos en un material cristalino y sufre interferencia constructiva. ^[10] Cuando las ondas dispersadas inciden en un ángulo específico, permanecen en fase e interfieren constructivamente . El ángulo de inclinación θ (ver figura a la derecha, y notar que esto difiere de la convención en la ley de Snell donde θ se mide desde la normal de la superficie), la longitud de onda λ y la "constante de rejilla" d del cristal están conectados por la relación: ^{[11] : 1026} donde es el orden de difracción ( es de primer orden, es de segundo orden, ^{[10] : 221} es de tercer orden ^{[11] : 1028} ). Esta ecuación, la ley de Bragg, describe la condición en θ para la interferencia constructiva. ^[12] $${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta }$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$

Un mapa de las intensidades de las ondas dispersas en función de su ángulo se denomina patrón de difracción. Las intensidades fuertes conocidas como picos de Bragg se obtienen en el patrón de difracción cuando los ángulos de dispersión satisfacen la condición de Bragg. Este es un caso especial de las ecuaciones de Laue más generales , y se puede demostrar que las ecuaciones de Laue se reducen a la condición de Bragg con suposiciones adicionales. ^[13]

Derivación heurística

Supongamos que una onda plana (de cualquier tipo) incide sobre planos de puntos reticulares , con una separación de , en un ángulo como el que se muestra en la figura. Los puntos A y C están en un plano, y B está en el plano inferior. Los puntos ABCC' forman un cuadrilátero . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \theta }$

Habrá una diferencia de trayectoria entre el rayo que se refleja a lo largo de AC' y el rayo que se transmite a lo largo de AB y luego se refleja a lo largo de BC . Esta diferencia de trayectoria es $${\displaystyle (AB+BC)-\left(AC'\right)\,.}$$

Las dos ondas separadas llegarán a un punto (infinitamente lejos de estos planos reticulares) con la misma fase y, por lo tanto, sufrirán interferencia constructiva , si y solo si esta diferencia de trayectoria es igual a cualquier valor entero de la longitud de onda , es decir, $${\displaystyle n\lambda =(AB+BC)-\left(AC'\right)}$$

donde y son un número entero y la longitud de onda de la onda incidente respectivamente. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$

Por lo tanto, desde la geometría $${\displaystyle AB=BC={\frac {d}{\sin \theta }}{\text{ and }}AC={\frac {2d}{\tan \theta }}\,,}$$

De lo cual se sigue que $${\displaystyle AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta =\left({\frac {2d}{\sin \theta }}\cos \theta \right)\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta \,.}$$

Poniendo todo junto, $${\displaystyle n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}-{\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\left(1-\cos ^{2}\theta \right)={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta }$$

lo cual se simplifica a lo que es la ley de Bragg que se muestra arriba. ${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta \,,}$

Si sólo dos planos de átomos se difractaran, como se muestra en la Figura, entonces la transición de la interferencia constructiva a la destructiva sería gradual en función del ángulo, con máximos suaves en los ángulos de Bragg. Sin embargo, dado que en la mayoría de los materiales reales participan muchos planos atómicos, los picos agudos son típicos. ^{[5] [13]}

Está disponible una derivación rigurosa de las ecuaciones de Laue más generales (ver página: Ecuaciones de Laue ).

Más allá de la ley de Bragg

Patrón típico de difracción de electrones en un área seleccionada. Cada punto corresponde a una dirección de difracción diferente.

La condición de Bragg es correcta para cristales muy grandes. Debido a que la dispersión de rayos X y neutrones es relativamente débil, en muchos casos se utilizan cristales bastante grandes con tamaños de 100 nm o más. Si bien puede haber efectos adicionales debido a defectos en los cristales , estos suelen ser bastante pequeños. Por el contrario, los electrones interactúan miles de veces más fuertemente con los sólidos que los rayos X, ^[5] y también pierden energía ( dispersión inelástica ). ^[14] Por lo tanto, las muestras utilizadas en la difracción de electrones de transmisión son mucho más delgadas. Los patrones de difracción típicos, por ejemplo la Figura, muestran puntos para diferentes direcciones ( ondas planas ) de los electrones que salen de un cristal. Los ángulos que predice la ley de Bragg siguen siendo aproximadamente rectos, pero en general hay una red de puntos que están cerca de las proyecciones de la red recíproca que está en ángulos rectos con la dirección del haz de electrones. (En contraste, la ley de Bragg predice que solo uno o quizás dos estarían presentes, no simultáneamente decenas a cientos). Con la difracción de electrones de baja energía , donde las energías de los electrones son típicamente de 30 a 1000 electronvoltios , el resultado es similar con los electrones reflejados desde una superficie. ^[15] También similar es la difracción de electrones de alta energía por reflexión , que típicamente conduce a anillos de puntos de difracción. ^[16]

Con los rayos X, el efecto de tener cristales pequeños se describe mediante la ecuación de Scherrer . ^{[13] [17] [18]} Esto conduce a un ensanchamiento de los picos de Bragg que se pueden utilizar para estimar el tamaño de los cristales.

Dispersión de Bragg de la luz visible por coloides

Un cristal coloidal es una matriz altamente ordenada de partículas que se forma en un rango largo (desde unos pocos milímetros hasta un centímetro de longitud); los cristales coloidales tienen apariencia y propiedades aproximadamente análogas a sus contrapartes atómicas o moleculares. ^[8] Se sabe desde hace muchos años que, debido a las interacciones coulombianas repulsivas , las macromoléculas cargadas eléctricamente en un entorno acuoso pueden exhibir correlaciones de largo alcance similares a las de los cristales , con distancias de separación entre partículas que a menudo son considerablemente mayores que el diámetro de cada partícula. Las matrices periódicas de partículas esféricas dan lugar a huecos intersticiales (los espacios entre las partículas), que actúan como una rejilla de difracción natural para las ondas de luz visible , cuando el espaciamiento intersticial es del mismo orden de magnitud que la onda de luz incidente . ^{[19] [20] [21]} En estos casos, la iridiscencia brillante (o juego de colores) se atribuye a la difracción e interferencia constructiva de las ondas de luz visibles según la ley de Bragg, de manera análoga a la dispersión de rayos X en un sólido cristalino. Los efectos ocurren en longitudes de onda visibles porque el espaciamiento interplanar d es mucho mayor que en los cristales verdaderos. El ópalo precioso es un ejemplo de un cristal coloidal con efectos ópticos.

Rejillas de Bragg de volumen

Las rejillas de Bragg de volumen (VBG) o rejillas holográficas de volumen (VHG) consisten en un volumen en el que hay un cambio periódico en el índice de refracción . Dependiendo de la orientación de la modulación del índice de refracción, las VBG se pueden utilizar para transmitir o reflejar un pequeño ancho de banda de longitudes de onda . ^[22] La ley de Bragg (adaptada para el holograma de volumen) dicta qué longitud de onda se difractará: ^[23]

$${\displaystyle 2\Lambda \sin(\theta +\varphi )=m\lambda _{B}\,,}$$

donde m es el orden de Bragg (un entero positivo), λ _B la longitud de onda difractada , Λ el espaciado de la franja de la rejilla, θ el ángulo entre el haz incidente y la normal ( N ) de la superficie de entrada y φ el ángulo entre la normal y el vector de rejilla ( K _G ). La radiación que no coincide con la ley de Bragg pasará a través del VBG sin difractarse. La longitud de onda de salida se puede ajustar en unos pocos cientos de nanómetros cambiando el ángulo incidente ( θ ). Los VBG se están utilizando para producir una fuente láser ampliamente ajustable o realizar imágenes hiperespectrales globales (ver Photon etc. ). ^[23]

Reglas de selección y cristalografía práctica

La medición de los ángulos se puede utilizar para determinar la estructura cristalina, consulte cristalografía de rayos X para obtener más detalles. ^{[5] [13]} Como ejemplo simple, la ley de Bragg, como se indicó anteriormente, se puede utilizar para obtener el espaciado reticular de un sistema cúbico particular a través de la siguiente relación:

$${\displaystyle d={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}\,,}$$

donde es el espaciamiento reticular del cristal cúbico , y h , k y ℓ son los índices de Miller del plano de Bragg. Combinando esta relación con la ley de Bragg se obtiene: ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \left({\frac {\lambda }{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {\lambda }{2d}}\right)^{2}{\frac {1}{h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}$$

Se pueden derivar reglas de selección para los índices de Miller para diferentes redes de Bravais cúbicas , así como para muchas otras; algunas de las reglas de selección se dan en la siguiente tabla.

Estas reglas de selección se pueden utilizar para cualquier cristal con la estructura cristalina dada. KCl tiene una red de Bravais cúbica centrada en las caras . Sin embargo, el ion K ⁺ y el Cl− ^tienen el mismo número de electrones y son bastante similares en tamaño, de modo que el patrón de difracción se vuelve esencialmente el mismo que para una estructura cúbica simple con la mitad del parámetro de red. Las reglas de selección para otras estructuras se pueden consultar en otro lugar o se pueden derivar . El espaciado de la red para los otros sistemas cristalinos se puede encontrar aquí .

Véase también

• Avión Bragg
• Red cristalina
• Difracción
• Reflector Bragg distribuido
  • Rejilla de Bragg de fibra
• Teoría dinámica de la difracción
• Difracción de electrones
• Georg Wulff
• Límite de Henderson
• Condiciones de Laue
• Difracción de polvo
• Ángeles del radar
• Factor de estructura
• Cristalografía de rayos X

Referencias

1. Bragg, WH ; Bragg, WL (1913). "La reflexión de rayos X por cristales". Proc. R. Soc. Lond. A . 88 (605): 428–38. Código Bibliográfico :1913RSPSA..88..428B. doi :10.1098/rspa.1913.0040. S2CID  13112732.
2. Hay algunas fuentes, como la Academic American Encyclopedia , que atribuyen el descubrimiento de la ley tanto a W. L. Bragg como a su padre WH Bragg, pero el sitio oficial del Premio Nobel y las biografías escritas sobre él ("Light Is a Messenger: The Life and Science of William Lawrence Bragg", Graeme K. Hunter, 2004 y "Great Solid State Physicists of the 20th Century", Julio Antonio Gonzalo, Carmen Aragó López) hacen una declaración clara de que Lawrence Bragg fue el único que derivó la ley.
3. "El Premio Nobel de Física 1915".
4. Shull, Clifford G. (1995). "Desarrollo temprano de la dispersión de neutrones". Reseñas de Física Moderna . 67 (4): 753–757. Bibcode :1995RvMP...67..753S. doi :10.1103/revmodphys.67.753. ISSN  0034-6861.
5. John M. Cowley (1975) Física de difracción (Holanda del Norte, Ámsterdam) ISBN 0-444-10791-6 . 
6. Estermann, yo; Popa, O. (1930). "Beugung von Molekularstrahlen". Zeitschrift für Physik (en alemán). 61 (1–2): 95–125. Código Bib : 1930ZPhy...61...95E. doi :10.1007/BF01340293. ISSN  1434-6001. S2CID  121757478.
7. Arndt, Markus; Nairz, Olaf; Vos-Andreae, Julián; Keller, Claudia; van der Zouw, Gerbrand; Zeilinger, Antón (1999). "Dualidad onda-partícula de moléculas C60". Naturaleza . 401 (6754): 680–682. doi :10.1038/44348. ISSN  0028-0836. PMID  18494170. S2CID  4424892.
8. Pieranski, P (1983). "Cristales coloidales". Contemporary Physics . 24 : 25–73. Código Bibliográfico :1983ConPh..24...25P. doi :10.1080/00107518308227471.
9. Bragg, WH; Bragg, WL (1915). Rayos X y estructura cristalina. G. Bell and Sons, Ltd.
10. Moseley, Henry HGJ; Darwin, Charles G. (julio de 1913). "sobre la reflexión de los rayos X" (PDF) . The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . 26 (151): 210–232. doi :10.1080/14786441308634968 . Consultado el 27 de abril de 2021 .
11. Moseley, Henry GJ (1913). "Los espectros de alta frecuencia de los elementos". Revista filosófica y revista científica de Londres, Edimburgo y Dublín . 6. 26. Bibliotecas Smithsonian. Londres-Edimburgo: Londres: Taylor & Francis: 1024–1034. doi :10.1080/14786441308635052.
12. HP Myers (2002). Introducción a la física del estado sólido . Taylor & Francis. ISBN 0-7484-0660-3.
13. Warren, Bertram Eugene (1990). Difracción de rayos X. Libros de Dover sobre física y química. Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-66317-3.
14. Egerton, RF (2009). "Espectroscopia de pérdida de energía de electrones en el TEM". Informes sobre el progreso en física . 72 (1): 016502. Bibcode :2009RPPh...72a6502E. doi :10.1088/0034-4885/72/1/016502. S2CID  120421818.
15. Moritz, Wolfgang; Van Hove, Michel (2022). Determinación de la estructura de la superficie mediante LEED y rayos X. Cambridge, Reino Unido. ISBN 978-1-108-28457-8.OCLC 1293917727  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
16. Ichimiya, Ayahiko; Cohen, Philip (2004). Difracción de electrones de alta energía por reflexión. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-45373-9.OCLC 54529276  .
17. Scherrer, P. (1918). "Bestimmung der Größe und der Inneren Struktur von Kolloidteilchen mittels Röntgenstrahlen". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse . 1918 : 98-100.
18. Patterson, AL (1939). "La fórmula de Scherrer para la determinación del tamaño de partículas mediante rayos X". Physical Review . 56 (10): 978–982. Bibcode :1939PhRv...56..978P. doi :10.1103/PhysRev.56.978.
19. Hiltner, PA; IM Krieger (1969). "Difracción de la luz por suspensiones ordenadas". Revista de química física . 73 (7): 2386–2389. doi :10.1021/j100727a049.
20. Aksay, IA (1984). "Control microestructural mediante consolidación coloidal". Actas de la Sociedad Cerámica Americana . 9 : 94.
21. Suerte, Werner; Klier, Manfred; Wesslau, Hermann (1963). "Über Bragg-Reflexe mit sichtbarem Licht an monodispersen Kunststofflatices. II". Berichte der Bunsengesellschaft für physikalische Chemie . 67 (1): 84–85. doi :10.1002/bbpc.19630670114. ISSN  0005-9021.
22. Barden, SC; Williams, JB; Arns, JA; Colburn, WS (2000). "Rejillas sintonizables: imágenes del universo en 3-D con rejillas holográficas de volumen-fase (revisión)". ASP Conf. Ser . 195 : 552. Código Bibliográfico :2000ASPC..195..552B.
23. C. Kress, Bernard; Meyruels, Patrick (2009). Óptica digital aplicada: de la microóptica a la nanofotónica (PDF) . Wiley. pp. Cap. 8. ISBN. 978-0-470-02263-4.

Lectura adicional

• Neil W. Ashcroft y N. David Mermin, Física del estado sólido (Harcourt: Orlando, 1976).
• Bragg W (1913). "La difracción de ondas electromagnéticas cortas por un cristal". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 17 : 43–57.

Enlaces externos

• Premio Nobel de Física – 1915
• https://web.archive.org/web/20110608141639/http://www.physics.uoguelph.ca/~detong/phys3510_4500/xray.pdf
• Aprendiendo cristalografía