Sea un espacio mensurable y sea una función mensurable desde hacia sí misma. Se dice que una medida en es invariante en si, para cada conjunto mensurable en
La colección de medidas (generalmente medidas de probabilidad ) que son invariantes a veces se denota como la colección de medidas ergódicas , es un subconjunto de Además, cualquier combinación convexa de dos medidas invariantes también es invariante, al igual que un conjunto convexo ; consiste precisamente en los puntos extremos de
En el caso de un sistema dinámico donde hay un espacio medible como antes, es un monoide y es el mapa de flujo, se dice que una medida es una medida invariante si es una medida invariante para cada mapa. Explícitamente, es invariante si y sólo si
Dicho de otra manera, es una medida invariante para una secuencia de variables aleatorias (quizás una cadena de Markov o la solución de una ecuación diferencial estocástica ) si, siempre que la condición inicial se distribuya de acuerdo con lo es para cualquier momento posterior
Cuando el sistema dinámico puede ser descrito por un operador de transferencia , entonces la medida invariante es un vector propio del operador, correspondiente a un valor propio de este siendo el valor propio más grande dado por el teorema de Frobenius-Perron .
De manera más general, en el espacio euclidiano -dimensional con su habitual álgebra σ de Borel, la medida de Lebesgue -dimensional es una medida invariante para cualquier isometría del espacio euclidiano, es decir, un mapa que se puede escribir como para alguna matriz ortogonal y un vector.
La medida invariante en el primer ejemplo es única hasta una renormalización trivial con un factor constante. Este no tiene por qué ser necesariamente el caso: considere un conjunto que consta de sólo dos puntos y el mapa de identidad que deja cada punto fijo. Entonces cualquier medida de probabilidad es invariante. Tenga en cuenta que trivialmente tiene una descomposición en componentes invariantes y