En geometría , el circuncentro de masa es un centro asociado a un polígono que comparte muchas de las propiedades del centro de masa . De manera más general, el circuncentro de masa puede definirse para politopos simples y también en las geometrías esférica e hiperbólica .
En el caso especial en que el politopo es un cuadrilátero o un hexágono , el circuncentro de masa se ha denominado "cuasicircuncentro" y se ha utilizado para definir una línea de Euler de un cuadrilátero. [1] [2] El circuncentro de masa nos permite definir una línea de Euler para politopos simples.
Sea un polígono orientado (con vértices contados contracíclicamente) en el plano con vértices y sea un punto arbitrario que no se encuentra sobre los lados (o sus extensiones ). Considérese la triangulación de por los triángulos orientados (el índice se considera módulo ). Asocie a cada uno de estos triángulos su circuncentro con peso igual a su área orientada (positiva si su secuencia de vértices es contracíclica; negativa en caso contrario). El circuncentro de masa de es el centro de masa de estos circuncentros ponderados. El resultado es independiente de la elección del punto . [3]
En el caso especial de que el polígono sea cíclico , el circuncentro de masa coincide con el circuncentro .
El circuncentro de masa satisface un análogo del Lema de Arquímedes, que establece que si un polígono se descompone en dos polígonos más pequeños, entonces el circuncentro de masa de ese polígono es una suma ponderada de los circuncentros de masa de los dos polígonos más pequeños. En consecuencia, cualquier triangulación con triángulos no degenerados puede utilizarse para definir el circuncentro de masa.
En el caso de un polígono equilátero , el circuncentro de masas y el centro de masas coinciden. En términos más generales, el circuncentro de masas y el centro de masas coinciden en el caso de un politopo simplicial en el que cada cara tiene la suma de los cuadrados de sus aristas como una constante. [4]
El circuncentro de masas es invariante bajo la operación de "recorte" de polígonos. [5] y la transformación de Bicycle (Darboux) discreta; en otras palabras, la imagen de un polígono bajo estas operaciones tiene el mismo circuncentro de masas que el polígono original. La línea de Euler generalizada hace otras apariciones en la teoría de sistemas integrables. [6]
Sean los vértices de y denotemos su área. El circuncentro de masa del polígono viene dado por la fórmula
El circuncentro de masas puede extenderse a curvas suaves mediante un procedimiento de limitación. Este límite continuo coincide con el centro de masas de la lámina homogénea delimitada por la curva.
Según supuestos naturales, los centros de los polígonos que satisfacen el lema de Arquímedes son precisamente los puntos de su línea de Euler. En otras palabras, los únicos centros "de buen comportamiento" que satisfacen el lema de Arquímedes son las combinaciones afines del circuncentro de masas y el centro de masas.
El circuncentro de masa permite definir una línea de Euler para cualquier polígono (y, de manera más general, para un politopo simple). Esta línea de Euler generalizada se define como el espacio afín entre el centro de masa y el circuncentro de masa del politopo.
