Cálculo diferencial cuántico

En geometría cuántica o geometría no conmutativa, un cálculo diferencial cuántico o una estructura diferencial no conmutativa en un álgebra sobre un cuerpo significa la especificación de un espacio de formas diferenciales sobre el álgebra. El álgebra aquí se considera como un anillo de coordenadas , pero es importante que pueda ser no conmutativa y, por lo tanto, no un álgebra real de funciones de coordenadas en ningún espacio real, por lo que esto representa un punto de vista que reemplaza la especificación de una estructura diferenciable para un espacio real. En geometría diferencial ordinaria, uno puede multiplicar 1-formas diferenciales por funciones de la izquierda y de la derecha, y existe una derivada exterior. En consecuencia, un cálculo diferencial cuántico de primer orden significa al menos lo siguiente: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$

1. Un - -bimódulo sobre , es decir, se pueden multiplicar elementos de por elementos de de forma asociativa: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle a(\omega b)=(a\omega )b,\ \forall a,b\in A,\ \omega \in \Omega ^{1}.}$$
2. Un mapa lineal que obedece la regla de Leibniz ${\displaystyle {\rm {d}}:A\to \Omega ^{1}}$ $${\displaystyle {\rm {d}}(ab)=a({\rm {d}}b)+({\rm {d}}a)b,\ \forall a,b\in A}$$
3. ${\displaystyle \Omega ^{1}=\{a({\rm {d}}b)\ |\ a,b\in A\}}$
4. (condición de conectividad opcional) ${\displaystyle \ker \ {\rm {d}}=k1}$

La última condición no siempre se impone, pero se cumple en la geometría ordinaria cuando la variedad es conexa. Dice que las únicas funciones que se eliminan son las funciones constantes. ${\displaystyle {\rm {d}}}$

Una estructura de álgebra exterior o álgebra diferencial graduada significa una extensión compatible para incluir análogos de formas diferenciales de orden superior. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$

$${\displaystyle \Omega =\oplus _{n}\Omega ^{n},\ {\rm {d}}:\Omega ^{n}\to \Omega ^{n+1}}$$

obedeciendo una regla graduada de Leibniz con respecto a un producto asociativo en y obedeciendo . Aquí y se requiere generalmente que se genere por . El producto de formas diferenciales se denomina producto exterior o producto de cuña y a menudo se denota . La cohomología no conmutativa o cuántica de De Rham se define como la cohomología de este complejo. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\rm {d}}^{2}=0}$ ${\displaystyle \Omega ^{0}=A}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A,\Omega ^{1}}$ ${\displaystyle \wedge }$

Un cálculo diferencial de orden superior puede significar un álgebra exterior, o puede significar la especificación parcial de una, hasta un grado más alto, y con productos que darían como resultado que un grado más allá del más alto no estuviera especificado.

La definición anterior se encuentra en la encrucijada de dos enfoques de la geometría no conmutativa. En el enfoque de Connes, un objeto más fundamental es un reemplazo del operador de Dirac en forma de una triple espectral y se puede construir un álgebra exterior a partir de estos datos. En el enfoque de grupos cuánticos de la geometría no conmutativa, se comienza con el álgebra y una elección de cálculo de primer orden, pero limitada por la covarianza bajo una simetría de grupo cuántico.

Nota

La definición anterior es mínima y ofrece algo más general que el cálculo diferencial clásico, incluso cuando el álgebra es conmutativa o funciona en un espacio real. Esto se debe a que no exigimos que ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle a({\rm {d}}b)=({\rm {d}}b)a,\ \forall a,b\in A}$$

ya que esto implicaría que , lo que violaría el axioma 4 cuando el álgebra fuera no conmutativa. Como subproducto, esta definición ampliada incluye cálculos de diferencias finitas y cálculos diferenciales cuánticos sobre conjuntos finitos y grupos finitos ( teoría del álgebra de Lie de grupos finitos ). ${\displaystyle {\rm {d}}(ab-ba)=0,\ \forall a,b\in A}$

Ejemplos

1. Para el álgebra de polinomios en una variable, los cálculos diferenciales cuánticos covariantes de traducción están parametrizados por y toman la forma Esto muestra cómo las diferencias finitas surgen naturalmente en la geometría cuántica. Solo el límite tiene funciones que conmutan con formas 1, que es el caso especial del cálculo diferencial de la escuela secundaria. ${\displaystyle A={\mathbb {C} }[x]}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \Omega ^{1}={\mathbb {C} }.{\rm {d}}x,\quad ({\rm {d}}x)f(x)=f(x+\lambda )({\rm {d}}x),\quad {\rm {d}}f={f(x+\lambda )-f(x) \over \lambda }{\rm {d}}x}$$ ${\displaystyle \lambda \to 0}$
2. Para el álgebra de funciones en un círculo algebraico, los cálculos diferenciales covariantes de traslación (es decir, rotación del círculo) están parametrizados por y toman la forma Esto muestra cómo los diferenciales surgen naturalmente en la geometría cuántica. ${\displaystyle A={\mathbb {C} }[t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle q\neq 0\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \Omega ^{1}={\mathbb {C} }.{\rm {d}}t,\quad ({\rm {d}}t)f(t)=f(qt)({\rm {d}}t),\quad {\rm {d}}f={f(qt)-f(t) \over q(t-1)}\,{\rm {dt}}}$$ ${\displaystyle q}$
3. Para cualquier álgebra se tiene un cálculo diferencial universal definido por donde es el producto algebraico. Por el axioma 3., cualquier cálculo de primer orden es un cociente de esto. ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \Omega ^{1}=\ker(m:A\otimes A\to A),\quad {\rm {d}}a=1\otimes a-a\otimes 1,\quad \forall a\in A}$$ ${\displaystyle m}$

Véase también

• Geometría cuántica
• Geometría no conmutativa
• Cálculo cuántico
• Grupo cuántico
• Espacio-tiempo cuántico

Lectura adicional

• Connes, A. (1994), Geometría no conmutativa , Academic Press , ISBN 0-12-185860-X
• Majid, S. (2002), Introducción a los grupos cuánticos , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 292, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511549892, ISBN 978-0-521-01041-2, Sr.  1904789