Información sobre Quantum Fisher

Cuántico

La información cuántica de Fisher es una cantidad central en la metrología cuántica y es el análogo cuántico de la información clásica de Fisher . ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Es una de las cantidades centrales utilizadas para calificar la utilidad de un estado de entrada, especialmente en la estimación de fase o parámetro basada en interferómetros de Mach-Zehnder (o, equivalentemente, Ramsey) . ^{[1] [3] [6]} Se muestra que la información cuántica de Fisher también puede ser una sonda sensible de una transición de fase cuántica (por ejemplo, reconociendo la transición de fase cuántica superradiante en el modelo de Dicke ^[6] ). La información cuántica de Fisher de un estado con respecto al observable se define como ${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]}$ ${\displaystyle \varrho }$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=2\sum _{k,l}{\frac {(\lambda _{k}-\lambda _{l})^{2}}{(\lambda _{k}+\lambda _{l})}}\vert \langle k\vert A\vert l\rangle \vert ^{2},}$

donde y son los valores propios y los vectores propios de la matriz de densidad respectivamente, y la suma abarca todos los y tales que . ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle \vert k\rangle }$ ${\displaystyle \varrho ,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \lambda _{k}+\lambda _{l}>0}$

Cuando el observable genera una transformación unitaria del sistema con un parámetro del estado inicial , ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varrho _{0}}$

${\displaystyle \varrho (\theta )=\exp(-iA\theta )\varrho _{0}\exp(+iA\theta ),}$

La información cuántica de Fisher limita la precisión alcanzable en la estimación estadística del parámetro a través del límite cuántico de Cramér-Rao como ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle (\Delta \theta )^{2}\geq {\frac {1}{mF_{\rm {Q}}[\varrho ,A]}},}$

donde es el número de repeticiones independientes. ${\displaystyle m}$

A menudo es deseable estimar la magnitud de un parámetro desconocido que controla la fuerza del hamiltoniano de un sistema con respecto a un observable conocido durante un tiempo dinámico conocido . En este caso, definir , de modo que , significa que las estimaciones de se pueden traducir directamente en estimaciones de . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle H=\alpha A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta =\alpha t}$ ${\displaystyle \theta A=tH}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha }$

Conexión con información de Fisher

La información clásica de Fisher de la medición del observable en la matriz de densidad se define como , donde es la probabilidad de obtener el resultado al medir el observable en la matriz de densidad transformada . es el valor propio correspondiente al vector propio del observable . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varrho (\theta )}$ ${\displaystyle F[B,\theta ]=\sum _{b}{\frac {1}{p(b|\theta )}}\left({\frac {\partial p(b|\theta )}{\partial \theta }}\right)^{2}}$ ${\displaystyle p(b|\theta )=\langle b\vert \varrho (\theta )\vert b\rangle }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varrho (\theta )}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \vert b\rangle }$ ${\displaystyle B}$

La información cuántica de Fisher es la supremacía de la información clásica de Fisher sobre todos esos observables, ^[7]

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=\sup _{B}F[B,\theta ].}$

Relación con la derivada logarítmica simétrica

La información cuántica de Fisher es igual al valor esperado de , donde es la derivada logarítmica simétrica ${\displaystyle L_{\varrho }^{2}}$ ${\displaystyle L_{\varrho }}$

Expresiones equivalentes

Para una operación de codificación unitaria , la información cuántica de Fisher se puede calcular como una integral, ^[8] ${\displaystyle \varrho (\theta )=\exp(-iA\theta )\varrho _{0}\exp(+iA\theta ),}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=-2\int _{0}^{\infty }{\text{tr}}\left(\exp(-\rho _{0}t)[\varrho _{0},A]\exp(-\rho _{0}t)[\varrho _{0},A]\right)\ dt,}$

donde en el lado derecho se indica el conmutador. También se puede expresar en términos del producto de Kronecker y la vectorización , ^[9] ${\displaystyle [\ ,\ ]}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,A]=2\,{\text{vec}}([\varrho _{0},A])^{\dagger }{\big (}\rho _{0}^{*}\otimes {\rm {I}}+{\rm {I}}\otimes \rho _{0}{\big )}^{-1}{\text{vec}}([\varrho _{0},A]),}$

donde denota conjugado complejo , y denota transpuesta conjugada . Esta fórmula es válida para matrices de densidad invertibles. Para matrices de densidad no invertibles, la inversa anterior se sustituye por la pseudoinversa de Moore-Penrose . Alternativamente, se puede calcular la información cuántica de Fisher para el estado invertible , donde es cualquier matriz de densidad de rango completo, y luego realizar el límite para obtener la información cuántica de Fisher para . La matriz de densidad puede estar, por ejemplo, en un sistema de dimensión finita, o un estado térmico en sistemas de dimensión infinita. ${\displaystyle ^{*}}$ ${\displaystyle ^{\dagger }}$ ${\displaystyle \rho _{\nu }=(1-\nu )\rho _{0}+\nu \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \nu \rightarrow 0^{+}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\rm {Identity}}/\dim {\mathcal {H}}}$

Generalización y relaciones con la métrica de Bures y la fidelidad cuántica

Para cualquier parametrización diferenciable de la matriz de densidad por un vector de parámetros , la matriz de información cuántica de Fisher se define como ${\displaystyle \varrho ({\boldsymbol {\theta }})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=(\theta _{1},\dots ,\theta _{n})}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]=2\sum _{k,l}{\frac {\operatorname {Re} (\langle k\vert \partial _{i}\varrho \vert l\rangle \langle l\vert \partial _{j}\varrho \vert k\rangle )}{\lambda _{k}+\lambda _{l}}},}$

donde denota la derivada parcial con respecto al parámetro . La fórmula también se cumple sin tomar la parte real , porque la parte imaginaria conduce a una contribución antisimétrica que desaparece bajo la suma. Nótese que todos los valores y vectores propios de la matriz de densidad dependen potencialmente del vector de parámetros . ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle \vert k\rangle }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$

Esta definición es idéntica a cuatro veces la métrica de Bures , hasta puntos singulares donde el rango de la matriz de densidad cambia (esos son los puntos en los que de repente se vuelve cero). A través de esta relación, también se conecta con la fidelidad cuántica de dos estados infinitesimalmente cercanos, ^[10] ${\displaystyle \lambda _{k}+\lambda _{l}}$ ${\displaystyle F(\varrho ,\sigma )=\left(\mathrm {tr} \left[{\sqrt {{\sqrt {\varrho }}\sigma {\sqrt {\varrho }}}}\right]\right)^{2}}$

${\displaystyle F(\varrho _{\boldsymbol {\theta }},\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}+d{\boldsymbol {\theta }}})=1-{\frac {1}{4}}\sum _{i,j}{\Big (}F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]+2\!\!\sum _{\lambda _{k}({\boldsymbol {\theta }})=0}\!\!\partial _{i}\partial _{j}\lambda _{k}{\Big )}d\theta _{i}d\theta _{j}+{\mathcal {O}}(d\theta ^{3}),}$

donde la suma interna cubre todos los valores propios en los que . El término adicional (que sin embargo es cero en la mayoría de las aplicaciones) se puede evitar tomando una expansión simétrica de la fidelidad, ^[11] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda _{k}({\boldsymbol {\theta }})=0}$

${\displaystyle F\left(\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}-d{\boldsymbol {\theta }}/2},\varrho _{{\boldsymbol {\theta }}+d{\boldsymbol {\theta }}/2}\right)=1-{\frac {1}{4}}\sum _{i,j}F_{\rm {Q}}^{ij}[\varrho ({\boldsymbol {\theta }})]d\theta _{i}d\theta _{j}+{\mathcal {O}}(d\theta ^{3}).}$

Para una codificación unitaria, la matriz de información cuántica de Fisher se reduce a la definición original. ${\displaystyle n=1}$

La matriz de información de Fisher cuántica es parte de una familia más amplia de distancias estadísticas cuánticas. ^[12]

Relación con la susceptibilidad a la fidelidad

Suponiendo que es un estado fundamental de un hamiltoniano no degenerado dependiente de parámetros , cuatro veces la información cuántica de Fisher de este estado se denomina susceptibilidad de fidelidad y se denota ^[13] ${\displaystyle \vert \psi _{0}(\theta )\rangle }$ ${\displaystyle H(\theta )}$

${\displaystyle \chi _{F}=4F_{Q}(\vert \psi _{0}(\theta )\rangle ).}$

La susceptibilidad de fidelidad mide la sensibilidad del estado fundamental al parámetro, y su divergencia indica una transición de fase cuántica. Esto se debe a la conexión antes mencionada con la fidelidad: una información de Fisher cuántica divergente significa que y son ortogonales entre sí, para cualquier cambio infinitesimal en el parámetro , y por lo tanto se dice que experimentan una transición de fase en el punto . ${\displaystyle \vert \psi _{0}(\theta )\rangle }$ ${\displaystyle \vert \psi _{0}(\theta +d\theta )\rangle }$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \theta }$

Propiedades de convexidad

La información cuántica de Fisher es igual a cuatro veces la varianza de los estados puros.

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\vert \Psi \rangle ,H]=4(\Delta H)_{\Psi }^{2}}$.

Para estados mixtos, cuando las probabilidades son independientes de los parámetros, es decir, cuando , la información cuántica de Fisher es convexa: ${\displaystyle p(\theta )=p}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[p\varrho _{1}(\theta )+(1-p)\varrho _{2}(\theta ),H]\leq pF_{\rm {Q}}[\varrho _{1}(\theta ),H]+(1-p)F_{\rm {Q}}[\varrho _{2}(\theta ),H].}$

La información cuántica de Fisher es la función más grande que es convexa y que es igual a cuatro veces la varianza para estados puros, es decir, es igual a cuatro veces el techo convexo de la varianza ^{[14] [15]}

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]=4\inf _{\{p_{k},\vert \Psi _{k}\rangle \}}\sum _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2},}$

donde el ínfimo está sobre todas las descomposiciones de la matriz de densidad

${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .}$

Tenga en cuenta que no son necesariamente ortogonales entre sí. La optimización anterior se puede reescribir como una optimización sobre el espacio de dos copias como ^[16] ${\displaystyle \vert \Psi _{k}\rangle }$

${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,H]=\min _{\varrho _{12}}2{\rm {Tr}}[(H\otimes {\rm {Identity}}-{\rm {Identity}}\otimes H)^{2}\varrho _{12}],}$

tal que es un estado separable simétrico y ${\displaystyle \varrho _{12}}$

${\displaystyle {\rm {Tr}}_{1}(\varrho _{12})={\rm {Tr}}_{2}(\varrho _{12})=\varrho .}$

Más tarde, la afirmación anterior se ha demostrado incluso para el caso de una minimización sobre estados separables generales (no necesariamente simétricos). ^[17]

Cuando las probabilidades son -dependientes, se ha demostrado una relación de convexidad extendida: ^[18] ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}{\Big [}\sum _{i}p_{i}(\theta )\varrho _{i}(\theta ){\Big ]}\leq \sum _{i}p_{i}(\theta )F_{\rm {Q}}[\varrho _{i}(\theta )]+F_{\rm {C}}[\{p_{i}(\theta )\}],}$

donde es la información clásica de Fisher asociada a las probabilidades que contribuyen a la descomposición convexa. El primer término, en el lado derecho de la desigualdad anterior, puede considerarse como la información cuántica promedio de Fisher de las matrices de densidad en la descomposición convexa. ${\displaystyle F_{\rm {C}}[\{p_{i}(\theta )\}]=\sum _{i}{\frac {\partial _{\theta }p_{i}(\theta )^{2}}{p_{i}(\theta )}}}$

Desigualdades para sistemas compuestos

Necesitamos comprender el comportamiento de la información cuántica de Fisher en sistemas compuestos para estudiar la metrología cuántica de sistemas de muchas partículas. ^[19] Para los estados del producto,

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho _{1}\otimes \varrho _{2},H_{1}\otimes {\rm {Identity}}+{\rm {Identity}}\otimes H_{2}]=F_{\rm {Q}}[\varrho _{1},H_{1}]+F_{\rm {Q}}[\varrho _{2},H_{2}]}$

sostiene.

Para el estado reducido, tenemos

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho _{12},H_{1}\otimes {\rm {Identity}}_{2}]\geq F_{\rm {Q}}[\varrho _{1},H_{1}],}$

dónde . ${\displaystyle \varrho _{1}={\rm {Tr}}_{2}(\varrho _{12})}$

Relación con el enredo

Existen fuertes vínculos entre la metrología cuántica y la ciencia de la información cuántica . Para un sistema multipartículas de espín 1/2 ^[20] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq N}$

se aplica a estados separables, donde

${\displaystyle J_{z}=\sum _{n=1}^{N}j_{z}^{(n)},}$

y es un componente de momento angular de una sola partícula. El máximo para estados cuánticos generales viene dado por ${\displaystyle j_{z}^{(n)}}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq N^{2}.}$

Por lo tanto, se necesita el entrelazamiento cuántico para alcanzar la máxima precisión en metrología cuántica. Además, para estados cuánticos con una profundidad de entrelazamiento , ${\displaystyle k}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq sk^{2}+r^{2}}$

se cumple, donde es el entero más grande menor o igual a y es el resto de dividir por . Por lo tanto, se necesitan niveles cada vez más altos de entrelazamiento multipartito para lograr una mejor y mejor precisión en la estimación de parámetros. ^{[21] [22]} Es posible obtener un límite más débil pero más simple ^[23] ${\displaystyle s=\lfloor N/k\rfloor }$ ${\displaystyle N/k,}$ ${\displaystyle r=N-sk}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]\leq Nk.}$

Por lo tanto, se obtiene un límite inferior para la profundidad del entrelazamiento como

${\displaystyle {\frac {F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]}{N}}\leq k.}$

Un concepto relacionado es la ganancia metrológica cuántica , que para un hamiltoniano dado se define como la relación entre la información cuántica de Fisher de un estado y el máximo de la información cuántica de Fisher para el mismo hamiltoniano para estados separables.

${\displaystyle g_{\mathcal {H}}(\varrho )={\frac {{\mathcal {F}}_{Q}[\varrho ,{\mathcal {H}}]}{{\mathcal {F}}_{Q}^{({\rm {sep}})}({\mathcal {H}})}},}$

donde esta el hamiltoniano

${\displaystyle {\mathcal {H}}=h_{1}+h_{2}+...+h_{N},}$

y actúa sobre el n-ésimo espín. La ganancia metrológica se define mediante una optimización sobre todos los hamiltonianos locales como ${\displaystyle h_{n}}$

${\displaystyle g(\varrho )=\max _{\mathcal {H}}g_{\mathcal {H}}(\varrho ).}$

Medición de la información de Fisher

La fórmula de propagación de errores proporciona un límite inferior para la información cuántica de Fisher

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]\geq {\frac {\langle i[H,M]\rangle _{\varrho }^{2}}{(\Delta M)^{2}}}}$,

donde es un operador. Esta fórmula se puede utilizar para poner un valor inferior a la información cuántica de Fisher a partir de resultados experimentales. ^[24] Si es igual a la derivada logarítmica simétrica, entonces la desigualdad está saturada. ^[25] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

En el caso de la dinámica unitaria, la información cuántica de Fisher es el techo convexo de la varianza. Con base en ello, se pueden obtener límites inferiores para ella, en función de algunos valores esperados del operador dados, utilizando programación semidefinida. El enfoque considera una optimización en el espacio de dos copias. ^[26]

Existen métodos numéricos que proporcionan un límite inferior óptimo para la información cuántica de Fisher basándose en los valores esperados para algunos operadores, utilizando la teoría de las transformadas de Legendre y no la programación semidefinida. ^[27] En algunos casos, los límites pueden incluso obtenerse analíticamente. Por ejemplo, para un estado Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) de -qubit ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {F_{\rm {Q}}[\varrho ,J_{z}]}{N^{2}}}\geq (1-2F_{\rm {GHZ}})^{2},}$

¿Dónde está la fidelidad con respecto al estado GHZ?

${\displaystyle F_{\rm {GHZ}}={\rm {Tr}}(\varrho |{\rm {GHZ}}\rangle \langle {\rm {GHZ}}|)\geq 1/2}$

se cumple, de lo contrario el límite inferior óptimo es cero.

Hasta ahora, hemos analizado la limitación de la información cuántica de Fisher para una dinámica unitaria. También es posible limitar la información cuántica de Fisher para la dinámica más general, no unitaria. ^[28] El enfoque se basa en la relación entre la fidelidad y la información cuántica de Fisher y en que la fidelidad se puede calcular con base en la programación semidefinida.

Para sistemas en equilibrio térmico, la información cuántica de Fisher se puede obtener a partir de la susceptibilidad dinámica. ^[29]

Relación con la información de sesgo de Wigner-Yanase

La información de sesgo de Wigner-Yanase se define como ^[30]

${\displaystyle I(\varrho ,H)={\rm {Tr}}(H^{2}\varrho )-{\rm {Tr}}(H{\sqrt {\varrho }}H{\sqrt {\varrho }}).}$

De ello se deduce que es convexo en ${\displaystyle I(\varrho ,H)}$ ${\displaystyle \varrho .}$

Para la información cuántica de Fisher y la información sesgada de Wigner-Yanase, la desigualdad

${\displaystyle F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]\geq 4I(\varrho ,H)}$

se cumple, donde hay una igualdad para los estados puros.

Relación con la varianza

Para cualquier descomposición de la matriz de densidad dada por y la relación ^[14] ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle \vert \Psi _{k}\rangle }$

${\displaystyle (\Delta H)^{2}\geq \sum _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2}\geq {\frac {1}{4}}F_{\rm {Q}}[\varrho ,H]}$

Se cumple, donde ambas desigualdades son estrictas. Es decir, hay una descomposición para la cual la segunda desigualdad está saturada, lo que es lo mismo que afirmar que la información cuántica de Fisher es el techo convexo de la varianza sobre cuatro, discutido anteriormente. También hay una descomposición para la cual la primera desigualdad está saturada, lo que significa que la varianza es su propio techo cóncavo ^[14]

${\displaystyle (\Delta H)^{2}=\sup _{\{p_{k},\vert \Psi _{k}\rangle \}}\sum _{k}p_{k}(\Delta H)_{\Psi _{k}}^{2}.}$

Relaciones de incertidumbre con la información cuántica de Fisher y la varianza

Sabiendo que la información cuántica de Fisher es el techo convexo de la varianza multiplicada por cuatro, obtenemos la relación ^[31] que es más fuerte que la relación de incertidumbre de Heisenberg . Para una partícula de espín- se cumple la siguiente relación de incertidumbre donde son componentes del momento angular. La relación se puede fortalecer como ^{[32] [33]} $${\displaystyle (\Delta A)^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq \vert \langle i[A,B]\rangle \vert ^{2},}$$ ${\displaystyle j,}$ $${\displaystyle (\Delta J_{x})^{2}+(\Delta J_{y})^{2}+(\Delta J_{z})^{2}\geq j,}$$ ${\displaystyle J_{l}}$ $${\displaystyle (\Delta J_{x})^{2}+(\Delta J_{y})^{2}+F_{Q}[\varrho ,J_{z}]/4\geq j.}$$

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