En matemáticas , un q -análogo de un teorema, identidad o expresión es una generalización que involucra un nuevo parámetro q que devuelve el teorema, identidad o expresión original en el límite como q → 1 . Normalmente, los matemáticos están interesados en q -análogos que surgen naturalmente, en lugar de idear arbitrariamente q -análogos de resultados conocidos. El primer análogo q estudiado en detalle es la serie hipergeométrica básica , que se introdujo en el siglo XIX. [1]
Los análogos q se estudian con mayor frecuencia en los campos matemáticos de la combinatoria y las funciones especiales . En estos entornos, el límite q → 1 suele ser formal, ya que q suele tener un valor discreto (por ejemplo, puede representar una potencia prima ).Los q -análogos encuentran aplicaciones en varias áreas, incluido el estudio de fractales y medidas multifractales, y expresiones para la entropía de sistemas dinámicos caóticos . La relación con los fractales y los sistemas dinámicos resulta del hecho de que muchos patrones fractales tienen las simetrías de los grupos fucsianos en general (ver, por ejemplo, las perlas de Indra y la junta apolínea ) y el grupo modular en particular. La conexión pasa por la geometría hiperbólica y la teoría ergódica , donde las integrales elípticas y las formas modulares juegan un papel destacado; las propias series q están estrechamente relacionadas con las integrales elípticas.
Los q -análogos también aparecen en el estudio de grupos cuánticos y en q -superálgebras deformadas . La conexión aquí es similar, en el sentido de que gran parte de la teoría de cuerdas se establece en el lenguaje de las superficies de Riemann , lo que resulta en conexiones con curvas elípticas , que a su vez se relacionan con las series q .
La teoría q clásica comienza con los q -análogos de los números enteros no negativos. [2] La igualdad
sugiere que definamos el q -análogo de n , también conocido como q -bracket o q -número de n , como
Por sí sola, la elección de este q -análogo particular entre las muchas opciones posibles no está motivada. Sin embargo, aparece de forma natural en varios contextos. Por ejemplo, habiendo decidido usar [ n ] q como el q -análogo de n , se puede definir el q -análogo del factorial , conocido como q -factorial , por
Este q -análogo aparece naturalmente en varios contextos. En particular, mientras n ! cuenta el número de permutaciones de longitud n , [ n ] q ! cuenta permutaciones mientras realiza un seguimiento del número de inversiones . Es decir, si inv( w ) denota el número de inversiones de la permutación w y S n denota el conjunto de permutaciones de longitud n , tenemos
En particular, se recupera el factorial habitual tomando el límite como .
El factorial q también tiene una definición concisa en términos del símbolo q -Pochhammer , un componente básico de todas las teorías q :
A partir de los q -factoriales, se puede pasar a definir los q -coeficientes binomiales , también conocidos como coeficientes gaussianos, polinomios gaussianos o coeficientes binomiales gaussianos :
El q -exponencial se define como:
En este contexto se han definido funciones q -trigonométricas, junto con una transformada q -Fourier.
Los coeficientes gaussianos cuentan subespacios de un espacio vectorial finito . Sea q el número de elementos en un cuerpo finito . (El número q es entonces una potencia de un número primo , q = p e , por lo que usar la letra q es especialmente apropiado). Entonces, el número de subespacios k -dimensionales del espacio vectorial n -dimensional sobre el campo del elemento q es igual
Si q se aproxima a 1, obtenemos el coeficiente binomial
o en otras palabras, el número de k -subconjuntos de elementos de un n -conjunto de elementos.
Por tanto, se puede considerar un espacio vectorial finito como una q -generalización de un conjunto, y los subespacios como la q -generalización de los subconjuntos del conjunto. Este ha sido un punto de vista fructífero para encontrar nuevos teoremas interesantes. Por ejemplo, existen q -análogos del teorema de Sperner y la teoría de Ramsey . [ cita necesaria ]
Sea q = ( e 2 π i / n ) d la d -ésima potencia de una primitiva n -ésima raíz de la unidad. Sea C un grupo cíclico de orden n generado por un elemento c . Sea X el conjunto de k subconjuntos de elementos del conjunto de n elementos {1, 2, ..., n }. El grupo C tiene una acción canónica sobre X dada al enviar c a la permutación cíclica (1, 2, ..., n ). Entonces el número de puntos fijos de c d en X es igual a
Por el contrario, al dejar que q varíe y ver los q -análogos como deformaciones, se puede considerar el caso combinatorio de q = 1 como un límite de q -análogos como q → 1 (a menudo no se puede simplemente dejar q = 1 en las fórmulas, de ahí la hay que poner un límite).
Esto se puede formalizar en el campo con un elemento , que recupera la combinatoria como álgebra lineal sobre el campo con un elemento: por ejemplo, los grupos de Weyl son grupos algebraicos simples sobre el campo con un elemento.
Los análogos q se encuentran a menudo en soluciones exactas de problemas de muchos cuerpos. [ cita necesaria ] En tales casos, el límite q → 1 generalmente corresponde a una dinámica relativamente simple, por ejemplo, sin interacciones no lineales, mientras que q < 1 da una idea del complejo régimen no lineal con retroalimentaciones.
Un ejemplo de la física atómica es el modelo de creación de condensado molecular a partir de un gas atómico fermiónico ultrafrío durante el barrido de un campo magnético externo a través de la resonancia de Feshbach . [3] Este proceso se describe mediante un modelo con una versión q -deformada del álgebra de operadores SU(2), y su solución se describe mediante distribuciones binomiales y exponenciales q -deformadas.
![{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54905ab6a45450b4e798ef991a9f7c6cd65711db)
![{\displaystyle {\begin{alineado}{\big [}n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q} \cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}} \cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1 \cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9aca08867b8fd46c5c717a2a8aca39c294faf0)
![{\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4252d6492812e127a6fd91f3dba0c85d9b6f58ab)
![{\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee6a1e12939e2d9c21567ce00527543674ba70d6)
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[nk]_{q}![k]_{q}!}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2d350cdfdff22544fac702c5d397578cde0d44)
![{\displaystyle e_{q}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c538265eca689ae51c68d9491d0061f95aa741b5)
