En geometría , un punto real es un punto en el plano proyectivo complejo con coordenadas homogéneas ( x , y , z ) para el que existe un número complejo distinto de cero λ tal que λx , λy y λz son todos números reales .
Esta definición puede ampliarse a un espacio proyectivo complejo de dimensión finita arbitraria de la siguiente manera:
son las coordenadas homogéneas de un punto real si existe un número complejo distinto de cero λ tal que las coordenadas de
Son todos reales.
Un punto que no es real se llama punto imaginario . [1]
Las geometrías que son especializaciones de la geometría proyectiva real, como la geometría euclidiana , la geometría elíptica o la geometría conforme, pueden ser complejizadas , incorporando así los puntos de la geometría en un espacio proyectivo complejo, pero conservando la identidad del espacio real original como especial. Las líneas, planos, etc. se expanden a las líneas, etc. del espacio proyectivo complejo. Al igual que con la inclusión de puntos en el infinito y la complejización de polinomios reales, esto permite que algunos teoremas se enuncien de forma más sencilla sin excepciones y para un análisis algebraico más regular de la geometría.
Visto en términos de coordenadas homogéneas , un espacio vectorial real de coordenadas homogéneas de la geometría original se complejiza. Un punto del espacio geométrico original se define por una clase de equivalencia de vectores homogéneos de la forma λu , donde λ es un valor complejo distinto de cero y u es un vector real. Un punto de esta forma (y por lo tanto pertenece al espacio real original) se denomina punto real , mientras que un punto que se ha añadido a través de la complejización y, por lo tanto, no tiene esta forma se denomina punto imaginario .
Un subespacio de un espacio proyectivo es real si está abarcado por puntos reales. Cada punto imaginario pertenece exactamente a una recta real, la recta que pasa por el punto y su conjugado complejo . [1]
