En geometría diferencial , los puntos conjugados o puntos focales [1] [2] son, a grandes rasgos, puntos que casi pueden unirse mediante una familia de geodésicas de 1 parámetro . Por ejemplo, en una esfera , el polo norte y el polo sur están conectados por cualquier meridiano . Otro punto de vista es que los puntos conjugados indican cuándo las geodésicas no logran minimizar la longitud. Todas las geodésicas minimizan la longitud localmente , pero no globalmente. Por ejemplo, en una esfera, cualquier geodésica que pase por el polo norte se puede extender para alcanzar el polo sur y, por lo tanto, cualquier segmento geodésico que conecte los polos no minimiza (exclusivamente) globalmente la longitud. Esto nos dice que cualquier par de puntos antípodas en la 2 esfera estándar son puntos conjugados. [3]
Supongamos que p y q son puntos en una variedad pseudo-riemanniana y es una geodésica que conecta p y q . Entonces p y q son puntos conjugados a lo largo si existe un campo de Jacobi distinto de cero que desaparece en p y q .
Recuerde que cualquier campo de Jacobi puede escribirse como la derivada de una variación geodésica (consulte el artículo sobre campos de Jacobi ). Por lo tanto, si p y q están conjugados a lo largo de , se puede construir una familia de geodésicas que comiencen en p y casi terminen en q . En particular, si es la familia de geodésicas cuya derivada en s at genera el campo de Jacobi J , entonces el punto final de la variación, es decir , es el punto q sólo hasta el primer orden en s . Por tanto, si dos puntos son conjugados, no es necesario que existan dos geodésicas distintas que los unan.
Para las geometrías riemannianas, más allá de un punto conjugado, la geodésica ya no es localmente el camino más corto entre puntos, ya que hay caminos cercanos que son más cortos. Esto es análogo a la superficie de la Tierra, donde la geodésica entre dos puntos a lo largo de un círculo máximo es la ruta más corta sólo hasta la antípoda; más allá de eso, hay caminos más cortos.
Más allá de un punto conjugado, una geodésica en geometría lorentziana puede no maximizar el tiempo adecuado (para geodésicas temporales), y la geodésica puede ingresar a una región donde ya no es única ni está bien definida. Para geodésicas nulas, los puntos más allá del punto conjugado ahora están separados en el tiempo.
Hasta el primer punto conjugado, una geodésica entre dos puntos es única. Más allá de esto, puede haber múltiples geodésicas que conecten dos puntos.
Supongamos que tenemos una variedad lorentziana con congruencia geodésica . Luego, en un punto conjugado, el parámetro de expansión θ en la ecuación de Raychaudhuri se vuelve infinito negativo en una cantidad finita de tiempo adecuado, lo que indica que las geodésicas se están enfocando en un punto. Esto se debe a que el área de la sección transversal de la congruencia se vuelve cero y, por lo tanto, la tasa de cambio de esta área (que es lo que representa θ) diverge negativamente.
