El tensor electromagnético es la combinación de los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico covariante cuyas entradas son cantidades de campo B. [1]
y el resultado de aumentar sus índices es
donde E es el campo eléctrico , B el campo magnético y c la velocidad de la luz .
En el lenguaje de las formas diferenciales , que proporciona la generalización a los espacios-tiempos curvos, estos son los componentes de una forma 1 y una forma 2 respectivamente. Aquí, es la derivada exterior y el producto de cuña .
El tensor de campo electromagnético F construye el tensor de energía-tensión electromagnética T mediante la ecuación: [2]
donde η es el tensor métrico de Minkowski (con signatura (+ − − −) ). Nótese que usamos el hecho de que
lo predicen las ecuaciones de Maxwell.
Ecuaciones de Maxwell en el vacío
En el vacío (o para las ecuaciones microscópicas, sin incluir descripciones de materiales macroscópicos), las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir como dos ecuaciones tensoriales.
Las dos ecuaciones de Maxwell no homogéneas, la ley de Gauss y la ley de Ampère (con la corrección de Maxwell) se combinan en (con métrica (+ − − −) ): [3]
Cada una de estas ecuaciones tensoriales corresponde a cuatro ecuaciones escalares, una para cada valor de β .
Usando la notación tensorial antisimétrica y la notación de coma para la derivada parcial (ver cálculo de Ricci ), la segunda ecuación también se puede escribir de manera más compacta como:
En ausencia de fuentes, las ecuaciones de Maxwell se reducen a:
que es una ecuación de onda electromagnética en el tensor de intensidad de campo.
En el calibre de Lorenz, las ecuaciones microscópicas de Maxwell se pueden escribir como:
Fuerza de Lorentz
Partícula cargada
Los campos electromagnéticos (EM) afectan el movimiento de la materia cargada eléctricamente : debido a la fuerza de Lorentz . De esta manera, los campos EM pueden detectarse (con aplicaciones en física de partículas y fenómenos naturales como las auroras ). En forma relativista, la fuerza de Lorentz utiliza el tensor de intensidad de campo de la siguiente manera. [4]
Expresado en términos del tiempo de coordenadas t , es:
donde p α es el cuadrimomento, q es la carga y x β es la posición.
Expresado en forma independiente del marco, tenemos la cuádruple fuerza
donde u β es la cuádruple velocidad y τ es el tiempo propio de la partícula , que está relacionado con el tiempo de coordenadas por dt = γdτ .
Continuidad de carga
La densidad de fuerza debida al electromagnetismo, cuya parte espacial es la fuerza de Lorentz, está dada por
y está relacionada con el tensor de tensión-energía electromagnética por
Utilizando las ecuaciones de Maxwell, se puede ver que el tensor de energía-tensión electromagnética (definido arriba) satisface la siguiente ecuación diferencial, relacionándolo con el tensor electromagnético y el cuatrivector de corriente
or
que expresa la conservación del momento lineal y la energía por interacciones electromagnéticas.
Objetos covariantes en la materia
Cuatro corrientes libres y ligadas
Para resolver las ecuaciones de electromagnetismo que se dan aquí, es necesario agregar información sobre cómo calcular la corriente eléctrica, J ν . Con frecuencia, es conveniente separar la corriente en dos partes, la corriente libre y la corriente ligada, que se modelan mediante ecuaciones diferentes;
donde
La corriente ligada se deriva de los campos P y M que forman un tensor de magnetización-polarización contravariante antisimétrico [1] [5] [6] [7]
que determina la corriente ligada .
Tensor de desplazamiento eléctrico
Si esto se combina con F μν obtenemos el tensor de desplazamiento electromagnético contravariante antisimétrico que combina los campos D y H de la siguiente manera:
Los tres tensores de campo están relacionados por:
lo que es equivalente a las definiciones de los campos D y H dadas anteriormente.
Las ecuaciones de Maxwell en la materia
El resultado es que la ley de Ampère y
la ley de Gauss
se combinan en una sola ecuación:
La corriente ligada y la corriente libre, tal como se definen anteriormente, se conservan de forma automática y por separado.
Ecuaciones constitutivas
Vacío
En el vacío, las relaciones constitutivas entre el tensor de campo y el tensor de desplazamiento son:
La antisimetría reduce estas 16 ecuaciones a sólo seis ecuaciones independientes. Como es habitual definir F μν por
las ecuaciones constitutivas, en el vacío se pueden combinar con la ley de Gauss-Ampère para obtener:
El tensor de energía-esfuerzo electromagnético en función del desplazamiento es:
donde δ α π es el delta de Kronecker . Cuando el índice superior se reduce con η , se vuelve simétrico y forma parte de la fuente del campo gravitacional.
Materia lineal, no dispersiva
De este modo, hemos reducido el problema de modelar la corriente, J ν a dos problemas (con suerte) más sencillos: modelar la corriente libre, J ν libre y modelar la magnetización y la polarización, . Por ejemplo, en los materiales más simples a bajas frecuencias, uno tiene
donde uno está en el marco inercial instantáneamente comóvil del material, σ es su conductividad eléctrica , χ e es su susceptibilidad eléctrica y χ m es su susceptibilidad magnética .
Las relaciones constitutivas entre los tensores y F , propuestas por Minkowski para materiales lineales (es decir, E es proporcional a D y B proporcional a H ), son:
donde u es la velocidad cuadrática del material, ε y μ son respectivamente la permitividad y la permeabilidad propias del material (es decir, en el marco de reposo del material), y denota el operador de estrella de Hodge .
Lagrangiano para la electrodinámica clásica
Vacío
La densidad lagrangiana para la electrodinámica clásica está compuesta por dos componentes: un componente de campo y un componente de fuente:
En el término de interacción, la cuatro-corriente debe entenderse como una abreviatura de muchos términos que expresan las corrientes eléctricas de otros campos cargados en términos de sus variables; la cuatro-corriente no es en sí misma un campo fundamental.
Las ecuaciones de Lagrange para la densidad lagrangiana electromagnética se pueden establecer de la siguiente manera:
Observando
la expresión dentro del corchete es
El segundo término es
Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento del campo electromagnético son
la ecuación de Gauss-Ampère anterior.
Asunto
Separando las corrientes libres de las corrientes ligadas, otra forma de escribir la densidad lagrangiana es la siguiente:
Utilizando la ecuación de Lagrange, se pueden derivar las ecuaciones de movimiento para .
La expresión equivalente en notación vectorial es:
^
Este artículo utiliza el tratamiento clásico de los tensores y la convención de suma de Einstein en todo momento, y la métrica de Minkowski tiene la forma diag(+1, −1, −1, −1) . Cuando se especifica que las ecuaciones se mantienen en el vacío, se las podría considerar como la formulación de las ecuaciones de Maxwell en términos de carga y corriente totales .
Referencias
^ ab Vanderlinde, Jack (2004), teoría electromagnética clásica, Springer, págs. 313–328, ISBN9781402026997
^ Electrodinámica clásica de Jackson, 3.ª edición, Capítulo 11 Teoría especial de la relatividad
^ Se supone que no existen fuerzas distintas de las que se originan en E y B , es decir, no existen fuerzas gravitacionales , débiles o fuertes .
^ Sin embargo, la suposición de que , , e incluso , son tensores relativistas en un medio polarizable carece de fundamento. La cantidad no es un vector cuaternario en un medio polarizable, por lo que no produce un tensor.
^ Franklin, Jerrold, ¿Pueden los campos electromagnéticos formar tensores en un medio polarizable?
^ Gonano, Carlo, Definición de polarización P y magnetización M totalmente consistente con las ecuaciones de Maxwell
Lectura adicional
Las conferencias de Feynman sobre física, vol. II, cap. 25: Electrodinámica en notación relativista
Einstein, A. (1961). Relatividad: teoría especial y general . Nueva York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.
Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
Landau, LD; Lifshitz, EM (1975). Teoría clásica de campos (cuarta edición revisada en inglés). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.
RP Feynman; FB Moringo; WG Wagner (1995). Conferencias de Feynman sobre gravitación . Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.