Función pseudoconvexa

En el análisis convexo y el cálculo de variaciones , ambas ramas de las matemáticas , una función pseudoconvexa es una función que se comporta como una función convexa con respecto a la búsqueda de sus mínimos locales , pero que no necesita ser convexa en realidad. De manera informal, una función diferenciable es pseudoconvexa si es creciente en cualquier dirección en la que tenga una derivada direccional positiva . La propiedad debe cumplirse en todo el dominio de la función, y no solo para los puntos cercanos.

Definición formal

Consideremos una función diferenciable , definida en un conjunto abierto convexo (no vacío) del espacio euclidiano de dimensión finita . Se dice que esta función es pseudoconvexa si se cumple la siguiente propiedad: ^[1] ${\displaystyle f:X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Para todos . ${\displaystyle x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x)}$

Equivalentemente:

Para todos . ${\displaystyle x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0}$

Aquí está el gradiente de , definido por: ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}$

Nótese que la definición también puede enunciarse en términos de la derivada direccional de , en la dirección dada por el vector . Esto se debe a que, como es diferenciable, esta derivada direccional viene dada por: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v=y-x}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial v}}(x)=\nabla f(x)\cdot v=\nabla f(x)\cdot (y-x).}$

Propiedades

Relación con otros tipos de “convexidad”

Toda función convexa es pseudoconvexa, pero la inversa no es cierta. Por ejemplo, la función es pseudoconvexa pero no convexa. De manera similar, cualquier función pseudoconvexa es cuasiconvexa ; pero la inversa no es cierta, ya que la función es cuasiconvexa pero no pseudoconvexa. Esto se puede resumir esquemáticamente como: ${\displaystyle f(x)=x+x^{3}}$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

convexo pseudoconvexo cuasiconvexo ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

Funciones x^3 (cuasiconvexa pero no pseudoconvexa) y x^3 + x (pseudoconvexa y, por lo tanto, cuasiconvexa). Ninguna de ellas es convexa.

Para ver que no es pseudoconvexa, considere su derivada en : . Entonces, si fuera pseudoconvexa, deberíamos tener: ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f^{\prime }(0)=0}$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

${\displaystyle f^{\prime }(0)(y-0)=0\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(0),\quad \forall \,y\in \mathbb {R} .}$

En particular, debería ser cierto para . Pero no lo es, ya que: . ${\displaystyle y=-1}$ ${\displaystyle f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0}$

Condición de optimalidad suficiente

Para cualquier función diferenciable, tenemos la condición necesaria de optimalidad del teorema de Fermat , que establece que: si tiene un mínimo local en en un dominio abierto , entonces debe ser un punto estacionario de (es decir: ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f(x^{*})=0}$

La pseudoconvexidad es de gran interés en el área de optimización , porque la inversa también es cierta para cualquier función pseudoconvexa. Es decir: ^[2] si es un punto estacionario de una función pseudoconvexa , entonces tiene un mínimo global en . Nótese también que el resultado garantiza un mínimo global (no solo local). ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x^{*}}$

Este último resultado también es válido para una función convexa, pero no para una función cuasiconvexa. Consideremos, por ejemplo, la función cuasiconvexa:

${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{e^{x}}}}$.

Esta función no es pseudoconvexa, sino cuasiconvexa. Además, el punto es un punto crítico de , ya que . Sin embargo, no tiene un mínimo global en (ni siquiera un mínimo local). ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{\prime }(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x=0}$

Ejemplo de una función cuasiconvexa que no es pseudoconvexa. La función tiene un punto crítico en , pero este no es un mínimo. ${\displaystyle x=0}$

Por último, cabe señalar que una función pseudoconvexa puede no tener ningún punto crítico. Tomemos como ejemplo la función pseudoconvexa: , cuya derivada es siempre positiva: . ${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}+1>0,\,\forall \,x\in \mathbb {R} }$

Ejemplos

Un ejemplo de una función que es pseudoconvexa, pero no convexa, es: La figura muestra esta función para el caso en que . Este ejemplo se puede generalizar a dos variables como: ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+k}},\,k>0.}$ ${\displaystyle k=0.2}$

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+k}},\,k>0.}$

Función pseudoconvexa que no es convexa.

El ejemplo anterior puede modificarse para obtener una función que no sea convexa, ni pseudoconvexa, sino cuasiconvexa:

${\displaystyle f(x)={\frac {|x|^{p}}{|x|^{p}+k}},\,k>0,\,p\in (0,1).}$

La figura muestra esta función para el caso en que . Como se puede ver, esta función no es convexa debido a la concavidad, y no es pseudoconvexa porque no es diferenciable en . ${\displaystyle k=0.5,p=0.6}$ ${\displaystyle x=0}$

Función cuasiconvexa que no es convexa, ni pseudoconvexa.

Generalización a funciones no diferenciables

La noción de pseudoconvexidad se puede generalizar a funciones no diferenciables de la siguiente manera. ^[3] Dada cualquier función , podemos definir la derivada de Dini superior de mediante: ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f^{+}(x,u)=\limsup _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+hu)-f(x)}{h}};}$

donde u es cualquier vector unitario . Se dice que la función es pseudoconvexa si es creciente en cualquier dirección donde la derivada superior de Dini es positiva. Más precisamente, esto se caracteriza en términos del subdiferencial de la siguiente manera: ${\displaystyle \partial f}$

Para todos : si es tal que , entonces , para todos ; ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle x^{*}\in \partial f(x)}$ ${\displaystyle \langle x^{*},y-x\rangle \geq 0}$ ${\displaystyle f(x)\leq f(z)}$ ${\displaystyle z\in [x,y]}$

donde denota el segmento de línea adyacente a x e y . ${\displaystyle [x,y]}$

Nociones relacionadas

ALa función pseudocóncava es una función cuyo negativo es pseudoconvexo.Una función pseudolineal es una función que es a la vez pseudoconvexa y pseudocóncava.^[4]Por ejemplo,los programas lineales-fraccionalestienenfunciones objetivoyrestricciones de desigualdad lineal. Estas propiedades permiten resolver problemas fraccionarios-lineales mediante una variante delalgoritmo simplex(deGeorge B. Dantzig).^[5][6][7]

Dada una función con valores vectoriales , existe una noción más general de -pseudoconvexidad ^{[8] [9]} y -pseudolinealidad; donde la pseudoconvexidad y la pseudolinealidad clásicas pertenecen al caso cuando . ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta (x,y)=y-x}$

Véase también

• Pseudoconvexidad
• Función convexa
• Función cuasiconvexa
• Función Invex

Notas

1. Mangasarian 1965
2. Mangasarian 1965
3. Floudas y Pardalos 2001
4. Rapcsak 1991
5. Capítulo cinco: Craven, BD (1988). Programación fraccionaria . Serie Sigma en Matemáticas Aplicadas. Vol. 4. Berlín: Heldermann Verlag. p. 145. ISBN 3-88538-404-3.Sr .  0949209.
6. Kruk, Serge; Wolkowicz, Henry (1999). "Programación pseudolineal". SIAM Review . 41 (4): 795–805. Código Bibliográfico :1999SIAMR..41..795K. doi :10.1137/S0036144598335259. JSTOR  2653207. MR  1723002.
7. Mathis, Frank H.; Mathis, Lenora Jane (1995). "Un algoritmo de programación no lineal para la gestión hospitalaria". SIAM Review . 37 (2): 230–234. doi :10.1137/1037046. JSTOR  2132826. MR  1343214. S2CID  120626738.
8. Ansari, Qamrul Hasan; Lalitha, CS; Mehta, Monika (2013). Convexidad generalizada, desigualdades variacionales no uniformes y optimización no uniforme. CRC Press. p. 107. ISBN 9781439868218. Recuperado el 15 de julio de 2019 .
9. Mishra, Shashi K.; Giorgi, Giorgio (2008). Invexidad y optimización. Springer Science & Business Media. pág. 39. ISBN 9783540785613. Recuperado el 15 de julio de 2019 .

Referencias

• Floudas, Christodoulos A. ; Pardalos, Panos M. (2001), "Mapas multivaluados monótonos generalizados", Enciclopedia de optimización , Springer, p. 227, ISBN 978-0-7923-6932-5.
• Mangasarian, OL (enero de 1965). "Funciones pseudoconvexas". Revista de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Serie A. 3 ( 2): 281–290. doi :10.1137/0303020. ISSN  0363-0129..
• Rapcsak, T. (15 de febrero de 1991). "Sobre funciones pseudolineales". Revista Europea de Investigación Operativa . 50 (3): 353–360. doi :10.1016/0377-2217(91)90267-Y. ISSN  0377-2217.