Función Invex

En cálculo vectorial , una función invex es una función diferenciable de a para la cual existe una función con valor vectorial tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle f(x)-f(u)\geq \eta (x,u)\cdot \nabla f(u),\,}$

para todos x y u .

Las funciones invexas fueron introducidas por Hanson como una generalización de las funciones convexas . ^[1] Ben-Israel y Mond proporcionaron una prueba simple de que una función es invexa si y solo si cada punto estacionario es un mínimo global , un teorema enunciado por primera vez por Craven y Glover. ^{[2] [3]}

Hanson también demostró que si el objetivo y las restricciones de un problema de optimización son invexos con respecto a la misma función , entonces las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son suficientes para un mínimo global. ${\displaystyle \eta (x,u)}$

Funciones invex de tipo I

Una ligera generalización de las funciones invex, llamadas funciones invex de tipo I, son la clase más general de funciones para las que las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son necesarias y suficientes para un mínimo global. ^[4] Consideremos un programa matemático de la forma

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\min &f(x)\\{\text{s.t.}}&g(x)\leq 0\end{array}}}$

donde y son funciones diferenciables. Sea la región factible de este programa. La función es una función objetivo de tipo I y la función es una función de restricción de tipo I en con respecto a si existe una función vectorial definida en tal que ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle F=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\;|\;g(x)\leq 0\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq \eta (x)\cdot \nabla {f(x_{0})}}$

y

${\displaystyle -g(x_{0})\geq \eta (x)\cdot \nabla {g(x_{0})}}$

para todos . ^[5] Nótese que, a diferencia de la invexidad, la invexidad Tipo I se define en relación con un punto . ${\displaystyle x\in {F}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Teorema (Teorema 2.1 en ^[4] ): Si y son invexos de tipo I en un punto con respecto a , y las condiciones de Karush–Kuhn–Tucker se satisfacen en , entonces es un minimizador global de sobre . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$

Función e-invex

Sea de a y de a una función -diferenciable en un conjunto abierto no vacío . Entonces se dice que es una función E-invexa en si existe una función con valores vectoriales tal que ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {M} \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle (f\circ E)(x)-(f\circ E)(u)\geq \nabla (f\circ E)(u)\cdot \eta (E(x),E(u)),\,}$

para todos y en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$

Las funciones E-invexas fueron introducidas por Abdulaleem como una generalización de funciones convexas diferenciables . ^[6]

Véase también

• Función convexa
• Función pseudoconvexa
• Función cuasiconvexa

Referencias

1. Hanson, Morgan A. (1981). "Sobre la suficiencia de las condiciones de Kuhn-Tucker". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 80 (2): 545–550. doi :10.1016/0022-247X(81)90123-2. hdl : 10338.dmlcz/141569 . ISSN  0022-247X.
2. Ben-Israel, A.; Mond, B. (1986). "¿Qué es la invexidad?". Revista ANZIAM . 28 (1): 1–9. doi : 10.1017/S0334270000005142 . ISSN  1839-4078.
3. Craven, BD; Glover, BM (1985). "Funciones invexas y dualidad". Revista de la Sociedad Matemática Australiana . 39 (1): 1–20. doi : 10.1017/S1446788700022126 . ISSN  0263-6115.
4. Hanson, Morgan A. (1999). "Invexidad y el teorema de Kuhn-Tucker". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 236 (2): 594–604. doi : 10.1006/jmaa.1999.6484 . ISSN  0022-247X.
5. Hanson, MA; Mond, B. (1987). "Condiciones necesarias y suficientes en optimización restringida". Programación matemática . 37 (1): 51–58. doi :10.1007/BF02591683. ISSN  1436-4646. S2CID  206818360.
6. Abdulaleem, Najeeb (2019). "E-invexidad y E-invexidad generalizada en programación multiobjetivo E-diferenciable". ITM Web of Conferences . 24 (1) 01002. doi : 10.1051/itmconf/20192401002 .

Lectura adicional

• SK Mishra y G. Giorgi, Invexidad y optimización, Optimización no convexa y sus aplicaciones, Vol. 88 , Springer-Verlag, Berlín, 2008.
• SK Mishra, S.-Y. Wang y KK Lai, Convexidad generalizada y optimización vectorial, Springer, Nueva York, 2009.