stringtranslate.com

Inversa generalizada

En matemáticas , y en particular, en álgebra , una inversa generalizada (o g-inversa ) de un elemento x es un elemento y que tiene algunas propiedades de un elemento inverso , pero no necesariamente todas. El propósito de construir una inversa generalizada de una matriz es obtener una matriz que pueda servir como inversa en algún sentido para una clase más amplia de matrices que las matrices invertibles . Las inversas generalizadas se pueden definir en cualquier estructura matemática que involucre una multiplicación asociativa , es decir, en un semigrupo . Este artículo describe las inversas generalizadas de una matriz .

Una matriz es una inversa generalizada de una matriz si [1] [2] [3] Existe una inversa generalizada para una matriz arbitraria, y cuando una matriz tiene una inversa regular, esta inversa es su única inversa generalizada. [1]

Motivación

Consideremos el sistema lineal

donde es una matriz y el espacio columna de . Si y no es singular entonces será la solución del sistema. Nótese que, si no es singular, entonces

Ahora supongamos que es rectangular ( ), o cuadrada y singular. Entonces necesitamos un candidato correcto de orden tal que para todos

[4]

Es decir, es una solución del sistema lineal . Equivalentemente, necesitamos una matriz de orden tal que

Por lo tanto, podemos definir la inversa generalizada de la siguiente manera: Dada una matriz , se dice que una matriz es una inversa generalizada de si ‍ [ 1] [2] [3] Algunos autores han denominado a la matriz una inversa regular de . [5]

Tipos

Los tipos importantes de inversa generalizada incluyen:

Algunas inversas generalizadas se definen y clasifican según las condiciones de Penrose:

donde denota transpuesta conjugada. Si satisface la primera condición, entonces es una inversa generalizada de . Si satisface las dos primeras condiciones, entonces es una inversa generalizada reflexiva de . Si satisface las cuatro condiciones, entonces es la pseudoinversa de , que se denota por y también se conoce como la inversa de Moore-Penrose , después de los trabajos pioneros de EH Moore y Roger Penrose . [2] [7] [8] [9] [10] [11] Es conveniente definir una -inversa de como una inversa que satisface el subconjunto de las condiciones de Penrose enumeradas anteriormente. Se pueden establecer relaciones, como , entre estas diferentes clases de -inversas. [1]

Cuando no es singular, cualquier inversa generalizada y, por lo tanto, es única. Para un singular , algunas inversas generalizadas, como la inversa de Drazin y la inversa de Moore-Penrose, son únicas, mientras que otras no están necesariamente definidas de manera única.

Ejemplos

Inversa generalizada reflexiva

Dejar

Dado que , es singular y no tiene inversa regular. Sin embargo, y satisfacen las condiciones de Penrose (1) y (2), pero no (3) ni (4). Por lo tanto, es una inversa generalizada reflexiva de .

Inversa unilateral

Dejar

Como no es cuadrada, no tiene inversa regular. Sin embargo, es inversa derecha de . La matriz no tiene inversa izquierda.

Inversa de otros semigrupos (o anillos)

El elemento b es un inverso generalizado de un elemento a si y sólo si , en cualquier semigrupo (o anillo , ya que la función de multiplicación en cualquier anillo es un semigrupo).

Los inversos generalizados del elemento 3 en el anillo son 3, 7 y 11, ya que en el anillo :

Los inversos generalizados del elemento 4 en el anillo son 1, 4, 7 y 10, ya que en el anillo :

Si un elemento a en un semigrupo (o anillo) tiene un inverso, el inverso debe ser el único inverso generalizado de este elemento, como los elementos 1, 5, 7 y 11 en el anillo .

En el anillo , cualquier elemento es un inverso generalizado de 0, sin embargo, 2 no tiene inverso generalizado, ya que no hay b en tal que .

Construcción

Las siguientes caracterizaciones son fáciles de verificar:

Usos

Se puede utilizar cualquier inversa generalizada para determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene alguna solución y, en caso afirmativo, proporcionarlas todas. Si existen soluciones para el sistema lineal n × m

,

con vector de incógnitas y vector de constantes, todas las soluciones están dadas por

,

paramétrica sobre el vector arbitrario , donde es cualquier inversa generalizada de . Existen soluciones si y solo si es una solución, es decir, si y solo si . Si A tiene rango de columna completo, la expresión entre corchetes en esta ecuación es la matriz cero y, por lo tanto, la solución es única. [12]

Inversas generalizadas de matrices

Las inversas generalizadas de matrices se pueden caracterizar de la siguiente manera. Sea , y

sea ​​su descomposición en valores singulares . Entonces, para cualquier inversa generalizada , existen [1] matrices , , y tales que

Por el contrario, cualquier elección de , , y para una matriz de esta forma es una inversa generalizada de . [1] Las -inversas son exactamente aquellas para las que , las -inversas son exactamente aquellas para las que , y las -inversas son exactamente aquellas para las que . En particular, la pseudoinversa está dada por :

Propiedades de consistencia de transformación

En aplicaciones prácticas es necesario identificar la clase de transformaciones matriciales que deben ser preservadas por una inversa generalizada. Por ejemplo, la inversa de Moore-Penrose satisface la siguiente definición de consistencia con respecto a las transformaciones que involucran matrices unitarias U y V :

.

La inversa de Drazin satisface la siguiente definición de consistencia con respecto a las transformaciones de similitud que involucran una matriz no singular S :

.

La inversa consistente en unidades (UC), [13] satisface la siguiente definición de consistencia con respecto a las transformaciones que involucran matrices diagonales no singulares D y E :

.

El hecho de que la inversa de Moore-Penrose proporcione consistencia con respecto a las rotaciones (que son transformaciones ortonormales) explica su uso generalizado en física y otras aplicaciones en las que deben conservarse las distancias euclidianas. La inversa UC, por el contrario, es aplicable cuando se espera que el comportamiento del sistema sea invariante con respecto a la elección de unidades en diferentes variables de estado, por ejemplo, millas frente a kilómetros.

Véase también

Citas

  1. ^ abcdef Ben-Israel y Greville 2003, págs. 2, 7
  2. ^ abc Nakamura 1991, págs. 41-42
  3. ^ ab Rao y Mitra 1971, págs. vii, 20
  4. ^ Rao y Mitra 1971, pág. 24
  5. ^ Rao y Mitra 1971, págs. 19-20
  6. ^ abc Rao y Mitra 1971, pág. 19
  7. ^ Rao y Mitra 1971, págs.20, 28, 50–51
  8. ^ Ben-Israel y Greville 2003, pág. 7
  9. ^ Campbell y Meyer 1991, pág. 10
  10. ^ James 1978, pág. 114
  11. ^ Nakamura 1991, pág. 42
  12. ^ James 1978, págs. 109-110
  13. ^ Uhlmann 2018

Fuentes

Libro de texto

Publicación