Este artículo contiene pruebas matemáticas de algunas propiedades de la suma de los números naturales : la identidad aditiva, la conmutatividad y la asociatividad. Estas pruebas se utilizan en el artículo Suma de números naturales .
Este artículo utilizará los axiomas de Peano para la definición de números naturales. Con estos axiomas, la suma se define a partir de la constante 0 y la función sucesora S(a) mediante las dos reglas
Para la prueba de conmutatividad, resulta útil dar el nombre "1" al sucesor de 0; eso es,
Por cada número natural a , se tiene
Probamos la asociatividad fijando primero los números naturales a y b y aplicando inducción al número natural c .
Para el caso base c = 0,
Cada ecuación sigue por definición [A1]; el primero con a + b , el segundo con b .
Ahora, para la inducción. Asumimos la hipótesis de inducción, es decir, asumimos que para algún número natural c ,
Luego sigue,
En otras palabras, la hipótesis de inducción es válida para S ( c ). Por tanto, la inducción sobre c es completa.
La definición [A1] establece directamente que 0 es una identidad correcta . Probamos que 0 es una identidad izquierda por inducción sobre el número natural a .
Para el caso base a = 0, 0 + 0 = 0 por definición [A1]. Ahora asumimos la hipótesis de inducción, que 0 + a = a . Entonces
Esto completa la inducción en un .
Probamos la conmutatividad ( a + b = b + a ) aplicando inducción al número natural b . Primero demostramos los casos base b = 0 y b = S (0) = 1 (es decir, demostramos que 0 y 1 conmutan con todo).
El caso base b = 0 se deriva inmediatamente de la propiedad del elemento identidad (0 es una identidad aditiva ), que se ha demostrado anteriormente: a + 0 = a = 0 + a .
A continuación demostraremos el caso base b = 1, que 1 conmuta con todo, es decir, para todos los números naturales a , tenemos a + 1 = 1 + a . Probaremos esto por inducción en a (una prueba de inducción dentro de una prueba de inducción). Hemos demostrado que 0 conmuta con todo, por lo que, en particular, 0 conmuta con 1: para a = 0, tenemos 0 + 1 = 1 + 0. Ahora, supongamos a + 1 = 1 + a . Entonces
Esto completa la inducción en a , por lo que hemos demostrado el caso base b = 1. Ahora, supongamos que para todos los números naturales a , tenemos a + b = b + a . Debemos demostrar que para todos los números naturales a , tenemos a + S ( b ) = S ( b ) + a . Tenemos
Esto completa la inducción en b .